🔌 회로이론 이론 정리
핵심 공식 · 원리 · 암기 포인트 · 주의 사항
직류회로(DC Circuit)는 시간에 따라 방향이 변하지 않는 전류가 흐르는 회로입니다.
옴의 법칙, 키르히호프 법칙, 테브난·노턴 정리가 핵심이며 교류·3상 이해의 기초가 됩니다.
📌 핵심 공식
옴의 법칙
$$V = IR$$
V [V]: 전압, I [A]: 전류, R [Ω]: 저항
\(I = V/R\), \(R = V/I\)
전력: \(P = VI = I^2R = V^2/R\) [W]
\(I = V/R\), \(R = V/I\)
전력: \(P = VI = I^2R = V^2/R\) [W]
저항 연결
$$R_{직렬} = \sum R_i$$
병렬: \(\dfrac{1}{R_{eq}} = \sum \dfrac{1}{R_i}\)
2저항 병렬: \(R_{eq} = \dfrac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}\)
직렬 → 같은 전류, 병렬 → 같은 전압
2저항 병렬: \(R_{eq} = \dfrac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}\)
직렬 → 같은 전류, 병렬 → 같은 전압
분압·분류
$$V_2 = V \cdot \frac{R_2}{R_1+R_2}$$
분류기: \(I_2 = I \cdot \dfrac{R_1}{R_1+R_2}\)
⚠️ 분류는 반대편 저항에 비례!
저항 작은 쪽에 전류 많이 흐름
⚠️ 분류는 반대편 저항에 비례!
저항 작은 쪽에 전류 많이 흐름
키르히호프 법칙
$$\sum V = 0 \quad \sum I = 0$$
KVL: 폐루프 전압 대수합 = 0
KCL: 노드 전류 대수합 = 0
에너지 보존·전하 보존 법칙에 기반
KCL: 노드 전류 대수합 = 0
에너지 보존·전하 보존 법칙에 기반
테브난 / 노턴 정리
$$I_N = \frac{V_{th}}{R_{th}}$$
테브난: \(V_{th}\)(개방전압) + \(R_{th}\)(등가저항)
노턴: \(I_N\)(단락전류) + \(R_{th}\)(병렬)
\(R_{th}\): 독립 전원 0으로 만든 후 측정
노턴: \(I_N\)(단락전류) + \(R_{th}\)(병렬)
\(R_{th}\): 독립 전원 0으로 만든 후 측정
최대 전력 전달
$$P_{max} = \frac{V_{th}^2}{4R_{th}}$$
조건: \(R_L = R_{th}\)일 때 최대
이때 효율 = 50% (내부 50% 소비)
통신·음향 시스템에서 중요한 개념
이때 효율 = 50% (내부 50% 소비)
통신·음향 시스템에서 중요한 개념
🖼️ 개념 이해
직렬 vs 병렬 비교
KVL 적용 (루프 방정식)
테브난 등가회로 변환
⚠️ 자주 틀리는 포인트
분류기 공식 혼동 — \\(I_2 = I \\times \\dfrac{R_1}{R_1+R_2}\\)처럼 반대편 저항!
전류는 저항이 작은 쪽으로 더 많이 흐릅니다. 분압과 반대 방향으로 기억하세요.
중첩 정리 적용 시 전원 처리 — 전압원 제거 시 단락(0Ω 와이어), 전류원 제거 시 개방(무한 저항).
반대로 하면 완전히 다른 값이 나옵니다!
테브난 저항 구하기 — 독립 전원만 0으로 만들고, 종속 전원은 그대로 유지!
독립 전압원=단락, 독립 전류원=개방으로 처리 후 A-B 단자에서 저항 측정.
최대 전력 전달 조건 — \\(R_L = R_{th}\\)일 때 최대 전력. 효율은 50%입니다.
효율 최대(100%)와 전력 최대는 다른 조건!
💡 암기 팁
저항 연결 기억법
직렬: 저항이 더해진다 (R1+R2)
병렬: 저항이 작아진다 (항상 각각보다 작음)
2저항 병렬 = "곱/합"으로 기억
병렬: 저항이 작아진다 (항상 각각보다 작음)
2저항 병렬 = "곱/합"으로 기억
KVL vs KCL
KVL = Kirchhoff's Voltage Law → 루프(폐경로)
KCL = Kirchhoff's Current Law → 노드(접합점)
V=루프, C=노드로 연결해서 기억
KCL = Kirchhoff's Current Law → 노드(접합점)
V=루프, C=노드로 연결해서 기억
전력 3가지 표현
P = VI = I²R = V²/R
I를 알면 I²R, V를 알면 V²/R 사용
"세 가지 중 편한 것 골라 쓰기"
I를 알면 I²R, V를 알면 V²/R 사용
"세 가지 중 편한 것 골라 쓰기"
최대 전력 공식 유도
\(P = I^2 R_L = \left(\dfrac{V_{th}}{R_{th}+R_L}\right)^2 R_L\)
dP/dR_L = 0 → R_L = R_th
대입하면 P_max = V_th²/(4R_th)
dP/dR_L = 0 → R_L = R_th
대입하면 P_max = V_th²/(4R_th)
교류회로(AC Circuit)는 전압·전류가 정현파로 시간에 따라 변하는 회로입니다.
임피던스, 역률, 공진이 핵심 개념이며 전력계통·전자기기 설계의 기반이 됩니다.
📌 핵심 공식
정현파 기본값
$$V_{rms} = \frac{V_m}{\sqrt{2}}$$
\(V_m\): 최대값(진폭), \(V_{rms}\): 실효값
평균값: \(V_{avg} = \dfrac{2}{\pi}V_m \approx 0.637 V_m\)
파고율 = \(V_m/V_{rms} = \sqrt{2} \approx 1.414\)
평균값: \(V_{avg} = \dfrac{2}{\pi}V_m \approx 0.637 V_m\)
파고율 = \(V_m/V_{rms} = \sqrt{2} \approx 1.414\)
임피던스 (R, L, C)
$$Z_R=R,\; Z_L=j\omega L,\; Z_C=\frac{1}{j\omega C}$$
\(X_L = \omega L = 2\pi fL\) [Ω]: 유도 리액턴스
\(X_C = \dfrac{1}{\omega C} = \dfrac{1}{2\pi fC}\) [Ω]: 용량 리액턴스
주파수↑ → XL↑, XC↓
\(X_C = \dfrac{1}{\omega C} = \dfrac{1}{2\pi fC}\) [Ω]: 용량 리액턴스
주파수↑ → XL↑, XC↓
직렬 RLC 임피던스
$$|Z| = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$$
위상각: \(\theta = \arctan\dfrac{X_L - X_C}{R}\)
\(\theta > 0\): 유도성(전류 지상)
\(\theta < 0\): 용량성(전류 진상)
\(\theta > 0\): 유도성(전류 지상)
\(\theta < 0\): 용량성(전류 진상)
공진 주파수
$$f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$$
공진 조건: \(X_L = X_C\)
직렬 공진: Z = R (최소), I 최대
병렬 공진: Z 최대, I 최소
직렬 공진: Z = R (최소), I 최대
병렬 공진: Z 최대, I 최소
역률
$$\cos\theta = \frac{R}{|Z|} = \frac{P}{S}$$
역률각 θ: 전압과 전류의 위상차
역률 = 1: 순저항 (전압·전류 동위상)
역률 개선: 콘덴서를 병렬 추가
역률 = 1: 순저항 (전압·전류 동위상)
역률 개선: 콘덴서를 병렬 추가
교류 전력
$$P = VI\cos\theta,\quad S = VI$$
P [W]: 유효전력 (저항 소비)
Q [VAR]: 무효전력 (L·C 교환)
S [VA]: 피상전력, \(S = \sqrt{P^2+Q^2}\)
Q [VAR]: 무효전력 (L·C 교환)
S [VA]: 피상전력, \(S = \sqrt{P^2+Q^2}\)
🖼️ 개념 이해
임피던스 페이저 다이어그램
전력 삼각형
R, L, C 주파수 특성
| 소자 | 직류(f=0) | 고주파(f→∞) |
|---|---|---|
| R | R (불변) | R (불변) |
| L | 단락(0Ω) | 개방(∞Ω) |
| C | 개방(∞Ω) | 단락(0Ω) |
X_L=2πfL (f↑ 코일 차단) · X_C=1/2πfC (f↑ 콘덴서 통과)
직렬 RLC 공진 특성
⚠️ 자주 틀리는 포인트
실효값과 최대값 혼동 — 전압계·전류계는 실효값 표시. 최대값 = 실효값 × √2.
220V 콘센트의 최대 전압 = 220 × 1.414 = 311V.
XL과 XC의 주파수 의존성 — XL은 주파수에 비례, XC는 주파수에 반비례.
"코일은 고주파 차단, 콘덴서는 고주파 통과" — 필터 설계의 기본!
역률 개선 방향 — 유도성 부하(전동기 등)에는 콘덴서(C)를 병렬 추가.
콘덴서의 진상 무효전력이 코일의 지상 무효전력을 상쇄합니다.
피상전력 계산 — S = √(P² + Q²), 절대로 P+Q가 아님!
유효전력 800W + 무효전력 600VAR → 피상전력 = √(800²+600²) = 1000VA.
💡 암기 팁
실효값 공식 암기
정현파 실효값 = 최대값 / √2 ≈ 최대값 × 0.707
반대로: 최대값 = 실효값 × √2 ≈ 실효값 × 1.414
"√2 = 1.414" 외워두면 모든 계산 가능
반대로: 최대값 = 실효값 × √2 ≈ 실효값 × 1.414
"√2 = 1.414" 외워두면 모든 계산 가능
ICE-ELI 법칙
ICE: C(콘덴서)에서 I(전류)가 E(전압) 앞선다 (진상)
ELI: L(코일)에서 E(전압)가 I(전류) 앞선다 (지상)
"ICE 먼저, ELI 나중"으로 기억
ELI: L(코일)에서 E(전압)가 I(전류) 앞선다 (지상)
"ICE 먼저, ELI 나중"으로 기억
공진 주파수 계산
f₀ = 1/(2π√LC)
L과 C의 단위에 주의: H와 F, mH와 μF 등
L=1mH, C=1μF → f₀=159kHz (라디오 주파수)
L과 C의 단위에 주의: H와 F, mH와 μF 등
L=1mH, C=1μF → f₀=159kHz (라디오 주파수)
전력 단위 구별
P [W] 와트: 유효(실제 소비)
Q [VAR] 바르: 무효(반환)
S [VA] 볼트암페어: 피상(공급)
"W·VAR·VA 단위가 다르다!"
Q [VAR] 바르: 무효(반환)
S [VA] 볼트암페어: 피상(공급)
"W·VAR·VA 단위가 다르다!"
3상 회로(Three-Phase Circuit)는 120°씩 위상이 다른 3개의 교류 전원으로 구성됩니다.
단상 대비 같은 전력을 더 적은 선로 손실로 전송할 수 있어 발전소-변전소 전력 계통에 사용됩니다.
📌 핵심 공식
Y결선 (성형 결선)
$$V_L = \sqrt{3}\,V_P$$
\(V_L\): 선간전압, \(V_P\): 상전압
선전류 = 상전류: \(I_L = I_P\)
예: 상전압 220V → 선간전압 380V
선전류 = 상전류: \(I_L = I_P\)
예: 상전압 220V → 선간전압 380V
Δ결선 (삼각 결선)
$$I_L = \sqrt{3}\,I_P$$
선간전압 = 상전압: \(V_L = V_P\)
\(I_L\): 선전류, \(I_P\): 상전류
선전류가 상전류보다 √3 배 큼
\(I_L\): 선전류, \(I_P\): 상전류
선전류가 상전류보다 √3 배 큼
3상 전력
$$P = \sqrt{3}\,V_L I_L \cos\theta$$
Y·Δ 공통으로 적용되는 공식
무효전력: \(Q = \sqrt{3}V_L I_L \sin\theta\)
피상전력: \(S = \sqrt{3}V_L I_L\)
무효전력: \(Q = \sqrt{3}V_L I_L \sin\theta\)
피상전력: \(S = \sqrt{3}V_L I_L\)
Y ↔ Δ 변환
$$R_\Delta = 3R_Y$$
Y→Δ: \(R_\Delta = 3R_Y\)
Δ→Y: \(R_Y = R_\Delta / 3\)
평형 3상 회로에서만 성립
Δ→Y: \(R_Y = R_\Delta / 3\)
평형 3상 회로에서만 성립
3상 전력계 (2전력계법)
$$P = W_1 + W_2$$
3상 3선식: 전력계 2개로 측정
역률: \(\cos\theta = \dfrac{W_1+W_2}{\sqrt{(W_1+W_2)^2+3(W_1-W_2)^2}}\)
역률각: \(\tan\theta = \dfrac{\sqrt{3}(W_1-W_2)}{W_1+W_2}\)
역률: \(\cos\theta = \dfrac{W_1+W_2}{\sqrt{(W_1+W_2)^2+3(W_1-W_2)^2}}\)
역률각: \(\tan\theta = \dfrac{\sqrt{3}(W_1-W_2)}{W_1+W_2}\)
단상 vs 3상 비교
$$\frac{P_{3\phi}}{P_{1\phi}} = 3$$
같은 선간전압·전류에서 3상 전력 = 단상의 3배
선로 손실은 단상의 3/4 수준
3상이 대용량 전력 전송에 유리한 이유
선로 손실은 단상의 3/4 수준
3상이 대용량 전력 전송에 유리한 이유
🖼️ 개념 이해
Y결선 구조
Δ결선 구조
Y·Δ 결선 핵심 비교
| 구분 | Y 결선 | Δ 결선 |
|---|---|---|
| 전압 관계 | V_L=√3·V_P | V_L = V_P |
| 전류 관계 | I_L = I_P | I_L=√3·I_P |
| 중성선 | 있음 | 없음 |
| 접지 | 용이 | 곤란 |
3상 전력 √3·V_L·I_L·cosθ (Y·Δ 공통)
⚠️ 자주 틀리는 포인트
Y와 Δ 공식 혼동 — Y결선: VL=√3·VP (전압이 커짐), Δ결선: IL=√3·IP (전류가 커짐).
"Y는 전압에 √3, Δ는 전류에 √3"으로 기억하세요.
3상 전력 공식 √3 — P = √3·VL·IL·cosθ에서 VL과 IL은 반드시 선간전압·선전류.
상전압·상전류를 넣으면 틀립니다 (상 전력 × 3으로 계산하면 맞음).
Y↔Δ 변환 방향 — Y를 Δ로 바꾸면 저항이 3배. Δ를 Y로 바꾸면 1/3.
"Δ는 삼각형이라 더 복잡 → 저항이 더 큼"으로 기억.
국내 배전 전압 — 변전소에서 가정으로: 선간전압 380V, 상전압(중성선-선) 220V.
Y결선: 220 × √3 = 380V. 실무에서 자주 나오는 숫자입니다.
💡 암기 팁
Y vs Δ 기억법
Y결선 = Y자 모양 → 중성점에서 뻗어나감
VL = √3·VP (전압이 √3배 커짐)
Δ결선 = 삼각형 → IL = √3·IP (전류가 √3배 커짐)
VL = √3·VP (전압이 √3배 커짐)
Δ결선 = 삼각형 → IL = √3·IP (전류가 √3배 커짐)
√3 값 암기
√3 = 1.732
220 × 1.732 = 381 ≈ 380 [V]
380 / 1.732 = 219 ≈ 220 [V]
"380과 220은 √3 관계" — 실생활 예시!
220 × 1.732 = 381 ≈ 380 [V]
380 / 1.732 = 219 ≈ 220 [V]
"380과 220은 √3 관계" — 실생활 예시!
3상 전력 = 단상 × 3
상전력 Pph = Vph·Iph·cosθ
3상 전력 P = 3Pph = 3·Vph·Iph·cosθ
Y결선 대입: P = 3·(VL/√3)·IL·cosθ = √3·VL·IL·cosθ
3상 전력 P = 3Pph = 3·Vph·Iph·cosθ
Y결선 대입: P = 3·(VL/√3)·IL·cosθ = √3·VL·IL·cosθ
2전력계법 역률
W1=W2이면 역률=1 (순저항)
W2=0이면 역률=0.5 (θ=60°)
W1·W2 부호 반대이면 역률 0.5 이하
W2=0이면 역률=0.5 (θ=60°)
W1·W2 부호 반대이면 역률 0.5 이하
과도현상(Transient Response)은 회로에 전원이 인가되거나 스위치 전환 직후, 정상 상태에 도달하기까지의 과정입니다.
인덕터(L)와 콘덴서(C)의 에너지 저장 특성이 과도응답을 만듭니다.
📌 핵심 공식
RC 회로 충전
$$v_C(t) = V\!\left(1 - e^{-t/\tau}\right)$$
\(\tau = RC\) [s]: RC 시정수
\(i(t) = \dfrac{V}{R}e^{-t/\tau}\)
t=τ: vC = 0.632V (63.2% 충전)
\(i(t) = \dfrac{V}{R}e^{-t/\tau}\)
t=τ: vC = 0.632V (63.2% 충전)
RC 회로 방전
$$v_C(t) = V_0\,e^{-t/\tau}$$
\(V_0\): 초기 전압
\(i(t) = -\dfrac{V_0}{R}e^{-t/\tau}\)
t=τ: vC = 0.368V₀ (36.8% 남음)
\(i(t) = -\dfrac{V_0}{R}e^{-t/\tau}\)
t=τ: vC = 0.368V₀ (36.8% 남음)
RL 회로 응답
$$i(t) = \frac{V}{R}\!\left(1 - e^{-t/\tau}\right)$$
\(\tau = L/R\) [s]: RL 시정수
\(v_L(t) = V\,e^{-t/\tau}\)
정상 상태(t→∞): i = V/R
\(v_L(t) = V\,e^{-t/\tau}\)
정상 상태(t→∞): i = V/R
시정수와 도달 시간
$$\tau = RC = \frac{L}{R}$$
1τ: 최종값의 63.2% 도달
2τ: 86.5%, 3τ: 95.0%
5τ: 99.3% (실용적 정상 상태)
2τ: 86.5%, 3τ: 95.0%
5τ: 99.3% (실용적 정상 상태)
L, C 초기·최종 조건
$$i_L(0^+) = i_L(0^-)$$
인덕터: 전류 불연속 불가
콘덴서: 전압 불연속 불가
\(v_C(0^+) = v_C(0^-)\)
콘덴서: 전압 불연속 불가
\(v_C(0^+) = v_C(0^-)\)
정상 상태 조건
$$\text{DC 정상: }v_L=0,\; i_C=0$$
직류 정상 상태에서:
인덕터 → 단락(도선처럼)
콘덴서 → 개방(전류 차단)
인덕터 → 단락(도선처럼)
콘덴서 → 개방(전류 차단)
🖼️ 개념 이해
RC 충전 곡선
RL 전류 응답
초기·정상 상태 분석법
스위치 ON 직전(t=0⁻)
→ 회로가 이미 정상이었다면
iL과 vC 값 기록
스위치 ON 직후(t=0⁺)
→ iL과 vC는 변하지 않음!
→ 이 값을 초기조건으로 사용
t → ∞ (정상 상태)
→ 인덕터: 단락 (V=0)
→ 콘덴서: 개방 (I=0)
→ 직류회로로 분석
⚠️ 자주 틀리는 포인트
시정수 공식 혼동 — RC: τ=RC, RL: τ=L/R. 단위가 모두 [초, s].
RC는 곱하기, RL은 나누기입니다. "R과 다른 걸 쓰면 나누기"로 기억.
인덕터·콘덴서 정상 상태 처리 — 직류 정상에서 L=단락, C=개방.
과도해석에서 가장 자주 실수하는 부분. "L은 도선, C는 구멍"으로 암기.
초기조건 불연속성 — 스위치 전환 순간 iL과 vC는 갑자기 변하지 않습니다.
다른 전압·전류는 불연속이 가능하지만 iL과 vC는 항상 연속!
5τ 이후 정상 상태 — 정확히는 영원히 접근하지만 5τ에서 99.3% 도달.
실용적으로 "5τ ≈ 정상 상태"로 취급합니다.
💡 암기 팁
시정수 1τ = 63.2%
e⁻¹ = 0.368 → 1 - e⁻¹ = 0.632
"1τ에서 약 2/3 도달, 나머지 1/3 남음"
5τ면 거의 다 찼다 (99.3%)
"1τ에서 약 2/3 도달, 나머지 1/3 남음"
5τ면 거의 다 찼다 (99.3%)
L과 C 이중성
L(인덕터): 전류 연속, 정상=단락
C(콘덴서): 전압 연속, 정상=개방
L↔C는 듀얼(쌍대)관계: i↔v, L↔C, R↔G
C(콘덴서): 전압 연속, 정상=개방
L↔C는 듀얼(쌍대)관계: i↔v, L↔C, R↔G
과도응답 3단계 분석
① t=0⁻ 초기 상태 (스위치 전 회로)
② t=0⁺ 직후 조건 (iL, vC 불변)
③ t→∞ 정상 상태 (L=단락, C=개방)
→ 지수함수로 연결!
② t=0⁺ 직후 조건 (iL, vC 불변)
③ t→∞ 정상 상태 (L=단락, C=개방)
→ 지수함수로 연결!
RC vs RL 비교
RC: τ=RC, C 전압 상승
RL: τ=L/R, L 전류 상승
둘 다 지수 함수 (1-e^{-t/τ}) 형태
"형태는 같고 시정수만 다르다"
RL: τ=L/R, L 전류 상승
둘 다 지수 함수 (1-e^{-t/τ}) 형태
"형태는 같고 시정수만 다르다"
라플라스·푸리에·Z변환은 시간 영역의 미분방정식을 대수 방정식으로 바꾸어 회로 해석을 체계화하는 수학적 도구입니다.
s 영역(라플라스), ω 영역(푸리에), z 영역(Z변환)에서 임피던스·전달함수·안정성을 분석합니다.
📌 라플라스 변환
주요 변환쌍 표
$$\mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^{\infty} f(t)e^{-st}dt$$
\(\delta(t) \leftrightarrow 1\)
\(u(t) \leftrightarrow \dfrac{1}{s}\)
\(t\,u(t) \leftrightarrow \dfrac{1}{s^2}\)
\(e^{-at}u(t) \leftrightarrow \dfrac{1}{s+a}\)
\(\sin(\omega t)u(t) \leftrightarrow \dfrac{\omega}{s^2+\omega^2}\)
\(u(t) \leftrightarrow \dfrac{1}{s}\)
\(t\,u(t) \leftrightarrow \dfrac{1}{s^2}\)
\(e^{-at}u(t) \leftrightarrow \dfrac{1}{s+a}\)
\(\sin(\omega t)u(t) \leftrightarrow \dfrac{\omega}{s^2+\omega^2}\)
초기값 / 최종값 정리
$$f(0^+) = \lim_{s \to \infty} sF(s)$$
최종값 정리: \(f(\infty) = \lim_{s \to 0} sF(s)\)
단, 최종값 정리는 극점이 허수축 포함 좌반면에만 있을 때 적용
⚠️ 초기값: s→∞, 최종값: s→0
단, 최종값 정리는 극점이 허수축 포함 좌반면에만 있을 때 적용
⚠️ 초기값: s→∞, 최종값: s→0
미분·적분 정리
$$\mathcal{L}\left\{\frac{df}{dt}\right\} = sF(s) - f(0^-)$$
적분: \(\mathcal{L}\!\left\{\int_0^t f\,d\tau\right\} = \dfrac{F(s)}{s}\)
미분은 s 곱하기, 적분은 s 나누기
회로 방정식(미분방정식) → 대수 방정식으로 변환 핵심
미분은 s 곱하기, 적분은 s 나누기
회로 방정식(미분방정식) → 대수 방정식으로 변환 핵심
s 도메인 임피던스
$$Z_R = R,\; Z_L = sL,\; Z_C = \frac{1}{sC}$$
s=jω 대입 시 페이저 임피던스와 동일
\(Z_L = sL\) ↔ \(j\omega L\)
\(Z_C = \dfrac{1}{sC}\) ↔ \(\dfrac{1}{j\omega C}\)
초기 조건을 전압/전류원으로 처리
\(Z_L = sL\) ↔ \(j\omega L\)
\(Z_C = \dfrac{1}{sC}\) ↔ \(\dfrac{1}{j\omega C}\)
초기 조건을 전압/전류원으로 처리
부분분수 분해
$$F(s) = \frac{K_1}{s+p_1} + \frac{K_2}{s+p_2} + \cdots$$
잉여계수(유수): \(K_i = (s+p_i)F(s)\big|_{s=-p_i}\)
각 항을 역변환: \(\dfrac{K_i}{s+p_i} \leftrightarrow K_i e^{-p_i t}u(t)\)
⚠️ 분자 차수 ≥ 분모 차수이면 먼저 긴 나눗셈
각 항을 역변환: \(\dfrac{K_i}{s+p_i} \leftrightarrow K_i e^{-p_i t}u(t)\)
⚠️ 분자 차수 ≥ 분모 차수이면 먼저 긴 나눗셈
📌 역라플라스 변환 절차 (F(s) → f(t))
STEP 0 · 가분수 처리
$$\text{분자차수} \ge \text{분모차수} \Rightarrow \text{나눗셈 먼저}$$
분자·분모 차수가 같거나 크면 긴 나눗셈으로 상수/다항식을 분리
\(\dfrac{s^2+3s+2}{s^2+2s+5}=1+\dfrac{s-3}{s^2+2s+5}\)
상수 1 → \(\mathcal{L}^{-1}[1]=\delta(t)\) (임펄스!)
\(\dfrac{s^2+3s+2}{s^2+2s+5}=1+\dfrac{s-3}{s^2+2s+5}\)
상수 1 → \(\mathcal{L}^{-1}[1]=\delta(t)\) (임펄스!)
경우 ① 서로 다른 실근
$$\frac{K_1}{s+p_1}+\frac{K_2}{s+p_2}$$
부분분수 → 각 항 \(K_i e^{-p_i t}\)
유수 \(K_i=(s+p_i)F(s)\big|_{s=-p_i}\)
예: \(\dfrac{a}{s(s+a)}=\dfrac1s-\dfrac{1}{s+a}\to 1-e^{-at}\)
유수 \(K_i=(s+p_i)F(s)\big|_{s=-p_i}\)
예: \(\dfrac{a}{s(s+a)}=\dfrac1s-\dfrac{1}{s+a}\to 1-e^{-at}\)
경우 ② 중근(중복극)
$$\frac{K}{(s+p)^2}\leftrightarrow K\,t\,e^{-pt}$$
\(\dfrac{1}{(s+a)^2}\leftrightarrow t\,e^{-at}\)
\(\dfrac{n!}{(s+a)^{n+1}}\leftrightarrow t^n e^{-at}\)
차수만큼 t가 곱해진다
\(\dfrac{n!}{(s+a)^{n+1}}\leftrightarrow t^n e^{-at}\)
차수만큼 t가 곱해진다
경우 ③ 복소근 → 완전제곱 (핵심!)
$$s^2+2as+(a^2+\omega^2)=(s+a)^2+\omega^2$$
2차식이 인수분해 안 되면(복소근) 완전제곱으로 정리 후 감쇠 sin·cos 변환쌍 사용
\(\dfrac{s+a}{(s+a)^2+\omega^2}\leftrightarrow e^{-at}\cos\omega t\)
\(\dfrac{\omega}{(s+a)^2+\omega^2}\leftrightarrow e^{-at}\sin\omega t\)
분자를 (s+a)로 맞추고, sin 계수는 상수÷ω
\(\dfrac{s+a}{(s+a)^2+\omega^2}\leftrightarrow e^{-at}\cos\omega t\)
\(\dfrac{\omega}{(s+a)^2+\omega^2}\leftrightarrow e^{-at}\sin\omega t\)
분자를 (s+a)로 맞추고, sin 계수는 상수÷ω
복소추이 정리 (s-shift)
$$\mathcal{L}^{-1}[F(s+a)]=e^{-at}f(t)$$
s가 (s+a)로 바뀌면 시간영역에 \(e^{-at}\)가 곱해짐
완전제곱꼴 \((s+a)^2\)에서 감쇠항 \(e^{-at}\)가 나오는 원리
"s+a 보이면 e^(−at)"
완전제곱꼴 \((s+a)^2\)에서 감쇠항 \(e^{-at}\)가 나오는 원리
"s+a 보이면 e^(−at)"
🖼️ 예제: 완전제곱 역변환 (기출)
\(F(s)=\dfrac{s^2+3s+2}{s^2+2s+5}\) 의 역변환
① 나눗셈: \(=1+\dfrac{s-3}{s^2+2s+5}\)
② 완전제곱: \(s^2+2s+5=(s+1)^2+2^2\) (a=1, ω=2)
③ 분자 맞춤: \(s-3=(s+1)-4\)
\(\quad=1+\dfrac{s+1}{(s+1)^2+2^2}-\dfrac{4}{(s+1)^2+2^2}\)
④ 변환쌍(sin 계수 4÷2=2):
\(\quad f(t)=\delta(t)+e^{-t}\cos2t-2e^{-t}\sin2t\)
= δ(t) + e⁻ᵗ(cos2t − 2sin2t)
① 나눗셈: \(=1+\dfrac{s-3}{s^2+2s+5}\)
② 완전제곱: \(s^2+2s+5=(s+1)^2+2^2\) (a=1, ω=2)
③ 분자 맞춤: \(s-3=(s+1)-4\)
\(\quad=1+\dfrac{s+1}{(s+1)^2+2^2}-\dfrac{4}{(s+1)^2+2^2}\)
④ 변환쌍(sin 계수 4÷2=2):
\(\quad f(t)=\delta(t)+e^{-t}\cos2t-2e^{-t}\sin2t\)
= δ(t) + e⁻ᵗ(cos2t − 2sin2t)
🖼️ 라플라스 개념도
라플라스 기본 변환쌍 표
| f(t) | F(s) | ROC |
|---|---|---|
| δ(t) | 1 | 전체 |
| u(t) | 1/s | Re(s)>0 |
| t·u(t) | 1/s² | Re(s)>0 |
| e^(−at)u(t) | 1/(s+a) | Re(s)>−a |
| cos(ωt)u(t) | s/(s²+ω²) | Re(s)>0 |
| sin(ωt)u(t) | ω/(s²+ω²) | Re(s)>0 |
s 도메인 RC 회로 해석
부분분수 분해 절차
① 분모 인수분해 (극점 찾기)
F(s) = N(s) / [(s+p1)(s+p2)]
② 부분분수 전개
F(s) = K1/(s+p1) + K2/(s+p2)
③ 잉여계수 계산
K1 = (s+p1)F(s)|s=-p1
K2 = (s+p2)F(s)|s=-p2
④ 역변환 (변환쌍 표 이용)
f(t) = K1·e^(-p1·t) + K2·e^(-p2·t)
📌 푸리에 변환
푸리에 변환 정의
$$F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-j\omega t}dt$$
푸리에 급수(주기 신호): \(f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{jn\omega_0 t}\)
계수: \(c_n = \dfrac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(t)e^{-jn\omega_0 t}dt\)
비주기 신호는 주기 T→∞ 극한으로 연속 스펙트럼
계수: \(c_n = \dfrac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(t)e^{-jn\omega_0 t}dt\)
비주기 신호는 주기 T→∞ 극한으로 연속 스펙트럼
역 푸리에 변환
$$f(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F(\omega)e^{j\omega t}d\omega$$
푸리에 변환쌍: \(f(t) \leftrightarrow F(\omega)\)
라플라스와 관계: \(s = j\omega\)로 치환하면 일치
단, 라플라스는 단측(0~∞), 푸리에는 양측(-∞~∞)
라플라스와 관계: \(s = j\omega\)로 치환하면 일치
단, 라플라스는 단측(0~∞), 푸리에는 양측(-∞~∞)
주요 성질 (선형·이동)
$$\mathcal{F}\{f(t-t_0)\} = e^{-j\omega t_0}F(\omega)$$
선형성: \(\mathcal{F}\{af+bg\} = aF+bG\)
주파수 이동: \(e^{j\omega_0 t}f(t) \leftrightarrow F(\omega-\omega_0)\)
시간 척도: \(f(at) \leftrightarrow \dfrac{1}{|a|}F\!\left(\dfrac{\omega}{a}\right)\)
주파수 이동: \(e^{j\omega_0 t}f(t) \leftrightarrow F(\omega-\omega_0)\)
시간 척도: \(f(at) \leftrightarrow \dfrac{1}{|a|}F\!\left(\dfrac{\omega}{a}\right)\)
파세발 정리
$$\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^2 dt = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|F(\omega)|^2 d\omega$$
시간 영역 에너지 = 주파수 영역 에너지
\(|F(\omega)|^2\): 에너지 스펙트럼 밀도(ESD)
푸리에 변환은 에너지 보존 (유니타리 변환)
\(|F(\omega)|^2\): 에너지 스펙트럼 밀도(ESD)
푸리에 변환은 에너지 보존 (유니타리 변환)
🖼️ 푸리에 개념도
대칭 조건 정리 표
| 신호 종류 | 조건 | 급수 성분 |
|---|---|---|
| 우함수(even) | f(−t)=f(t) | 코사인만 (bn=0) |
| 홀함수(odd) | f(−t)=−f(t) | 사인만 (a0,an=0) |
| 반파 대칭 | f(t±T/2)=−f(t) | 홀수 고조파만 |
| 직류 없음 | 평균=0 | a0 = 0 |
우×우=우 · 홀×홀=우 · 우×홀=홀
구형파 스펙트럼 (sinc 함수)
📌 Z변환
Z변환 정의
$$X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]z^{-n}$$
이산 시간 신호의 주파수 해석 도구
라플라스 변환의 이산 대응: \(z = e^{sT}\)
단측(인과): \(X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} x[n]z^{-n}\)
라플라스 변환의 이산 대응: \(z = e^{sT}\)
단측(인과): \(X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} x[n]z^{-n}\)
기본 변환쌍 표
$$\mathcal{Z}\{a^n u[n]\} = \frac{z}{z-a}$$
\(\delta[n] \leftrightarrow 1\)
\(u[n] \leftrightarrow \dfrac{z}{z-1}\)
\(a^n u[n] \leftrightarrow \dfrac{z}{z-a}\)
\(n\,u[n] \leftrightarrow \dfrac{z}{(z-1)^2}\)
\(u[n] \leftrightarrow \dfrac{z}{z-1}\)
\(a^n u[n] \leftrightarrow \dfrac{z}{z-a}\)
\(n\,u[n] \leftrightarrow \dfrac{z}{(z-1)^2}\)
수렴 영역 (ROC)
$$\text{안정: ROC } \supset \{|z|=1\}$$
인과 시스템: ROC는 가장 큰 극점 반지름 밖
BIBO 안정 조건: 단위원(|z|=1)이 ROC에 포함
→ 모든 극점이 단위원 내부(|p|<1)에 있어야 함
BIBO 안정 조건: 단위원(|z|=1)이 ROC에 포함
→ 모든 극점이 단위원 내부(|p|<1)에 있어야 함
역 Z변환 방법
$$X(z) = \frac{z}{z-a} \xrightarrow{\mathcal{Z}^{-1}} a^n u[n]$$
① 부분분수 분해법 (시험 최다 출제)
② 거듭제곱 급수 전개 (직접 계산)
③ 유수 정리 (복소 적분)
⚠️ X(z)/z를 부분분수 분해 후 z를 곱하면 편리
② 거듭제곱 급수 전개 (직접 계산)
③ 유수 정리 (복소 적분)
⚠️ X(z)/z를 부분분수 분해 후 z를 곱하면 편리
🖼️ Z변환 개념도
극점·영점과 안정성
라플라스 · 푸리에 · Z변환 관계
연속 시간 신호 f(t)
│
├── 라플라스 변환 → F(s) [s = σ+jω]
│ s=jω 대입
└── 푸리에 변환 → F(ω) [ω축]
이산 시간 신호 x[n] (샘플링)
│
└── Z변환 → X(z) [z = e^(sT)]
대응 관계:
좌반 평면(s) ↔ 단위원 내부(z)
허수축(jω) ↔ 단위원 위(|z|=1)
우반 평면(s) ↔ 단위원 외부(z)
⚠️ 자주 틀리는 포인트
초기값·최종값 정리 s 방향 혼동 — 초기값(t=0⁺)은 s→∞, 최종값(t→∞)은 s→0으로 극한을 취합니다.
반대로 대입하면 전혀 다른 값이 나옵니다!
sinc 함수 첫 영점 위치 — 구형 펄스(폭 τ)의 첫 번째 영점은 ω=2π/τ (또는 f=1/τ).
ωτ/2 = π일 때 sin이 0이 됨. τ와 ω 관계를 혼동하지 마세요.
Z변환 ROC 안정 조건 — 인과 시스템 안정을 위해 극점은 단위원 내부(|p|<1)에 있어야 합니다.
라플라스의 "좌반 평면" 조건과 대응되며 방향이 다릅니다 (단위원 내부 ≠ 허수축 왼쪽).
역 Z변환 시 z/(z-a) 형태 주의 — 부분분수 분해 시 X(z)/z를 먼저 전개한 뒤 z를 곱해야 합니다.
X(z) 자체를 분해하면 분자에 z가 남아 변환쌍 표와 형태가 맞지 않습니다.
💡 암기 팁
라플라스 6대 기본 변환쌍
δ(t)→1, u(t)→1/s, t→1/s²
e^(-at)→1/(s+a)
sin(ωt)→ω/(s²+ω²)
cos(ωt)→s/(s²+ω²)
"임펄스=1, 계단=1/s, 램프=1/s²"
e^(-at)→1/(s+a)
sin(ωt)→ω/(s²+ω²)
cos(ωt)→s/(s²+ω²)
"임펄스=1, 계단=1/s, 램프=1/s²"
푸리에 대칭 조건 암기
우함수(짝함수) → 코사인만 (b=0)
홀함수(홀함수) → 사인만 (a=0)
"우=cos, 홀=sin" — 알파벳 순서로 기억
반파대칭 → 홀수 고조파만 존재
홀함수(홀함수) → 사인만 (a=0)
"우=cos, 홀=sin" — 알파벳 순서로 기억
반파대칭 → 홀수 고조파만 존재
Z변환 vs 라플라스 대응
δ[n]↔1 (=δ(t)↔1)
u[n]↔z/(z-1) (=u(t)↔1/s)
a^n u[n]↔z/(z-a) (=e^(-at)u(t)↔1/(s+a))
"형태는 같고 s→z, 1→z로 바뀐다"
u[n]↔z/(z-1) (=u(t)↔1/s)
a^n u[n]↔z/(z-a) (=e^(-at)u(t)↔1/(s+a))
"형태는 같고 s→z, 1→z로 바뀐다"
샘플링과 변환 대응
z = e^(sT), T: 샘플링 주기
s 허수축(jω) → z 단위원(e^(jωT))
s 좌반면 → z 단위원 내부
"e^(-aT) 극점 → z=e^(-aT) < 1: 안정"
s 허수축(jω) → z 단위원(e^(jωT))
s 좌반면 → z 단위원 내부
"e^(-aT) 극점 → z=e^(-aT) < 1: 안정"
제어·전달함수 분야는 회로/시스템을 s 영역의 전달함수와 상태공간으로 모델링하여
응답·안정도를 분석합니다. 순시값·실효값(교류 기초), 4단자망(2포트), 전달함수, 신호선도,
상태방정식·천이행렬, 근궤적까지 한 흐름으로 정리합니다.
📌 순시값 · 실효값
순시값 / 실효값 / 평균값
$$V_{rms}=\frac{V_m}{\sqrt2},\quad V_{avg}=\frac{2V_m}{\pi}$$
순시값: \(v(t)=V_m\sin(\omega t+\theta)\)
실효값(RMS): 같은 열효과를 내는 직류값
평균값은 전파정류 기준 \(\dfrac{2V_m}{\pi}\)
실효값(RMS): 같은 열효과를 내는 직류값
평균값은 전파정류 기준 \(\dfrac{2V_m}{\pi}\)
파형률 · 파고율
$$\text{파형률}=\frac{\text{실효값}}{\text{평균값}}=1.11$$
파고율(crest) = 최대값/실효값 = \(\sqrt2\approx1.414\)
파형률(form) = 실효값/평균값 \(=\dfrac{\pi}{2\sqrt2}\approx1.11\)
⚠️ 정현파 한정 값
파형률(form) = 실효값/평균값 \(=\dfrac{\pi}{2\sqrt2}\approx1.11\)
⚠️ 정현파 한정 값
📌 4단자망 (2포트)
ABCD(전송) 파라미터
$$\begin{bmatrix}V_1\\I_1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}\begin{bmatrix}V_2\\I_2\end{bmatrix}$$
상반(가역) 조건: \(AD-BC=1\)
대칭 조건: \(A=D\)
직렬 \(Z\): \(\begin{bmatrix}1&Z\\0&1\end{bmatrix}\), 병렬 \(Y\): \(\begin{bmatrix}1&0\\Y&1\end{bmatrix}\)
대칭 조건: \(A=D\)
직렬 \(Z\): \(\begin{bmatrix}1&Z\\0&1\end{bmatrix}\), 병렬 \(Y\): \(\begin{bmatrix}1&0\\Y&1\end{bmatrix}\)
Z(임피던스) 파라미터
$$V_1=Z_{11}I_1+Z_{12}I_2$$
\(V_2=Z_{21}I_1+Z_{22}I_2\)
상반회로: \(Z_{12}=Z_{21}\)
Y 파라미터는 Z의 역행렬 관계
상반회로: \(Z_{12}=Z_{21}\)
Y 파라미터는 Z의 역행렬 관계
📌 전달함수 · 신호선도
전달함수 정의
$$G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}\Big|_{\text{초기값}=0}$$
모든 초기조건 0에서 출력/입력의 라플라스 비
RC 저역통과: \(G(s)=\dfrac{1}{1+sRC}\)
시정수 \(\tau=RC\), 차단 \(\omega_c=\dfrac{1}{RC}\)
RC 저역통과: \(G(s)=\dfrac{1}{1+sRC}\)
시정수 \(\tau=RC\), 차단 \(\omega_c=\dfrac{1}{RC}\)
부귀환 전달함수
$$\frac{C}{R}=\frac{G}{1+GH}$$
정귀환이면 분모 \(1-GH\)
\(GH\): 개루프 이득(루프이득)
\(|GH|\gg1\)이면 \(C/R\approx1/H\)
\(GH\): 개루프 이득(루프이득)
\(|GH|\gg1\)이면 \(C/R\approx1/H\)
메이슨 이득공식
$$T=\frac{\sum_k P_k\,\Delta_k}{\Delta}$$
\(P_k\): k번째 순방향경로 이득
\(\Delta=1-\sum L+\sum L_iL_j-\cdots\)
\(\Delta_k\): \(P_k\)와 비접촉인 부분의 \(\Delta\)
\(\Delta=1-\sum L+\sum L_iL_j-\cdots\)
\(\Delta_k\): \(P_k\)와 비접촉인 부분의 \(\Delta\)
감도 (Sensitivity)
$$S_K^T=\frac{\partial T/T}{\partial K/K}=\frac{\partial T}{\partial K}\cdot\frac{K}{T}$$
파라미터 K의 상대변화(%)에 대한 전달함수 T의 상대변화(%) 비
감도 작을수록 강건(robust)
• 전향이득 K(되먹임 밖): \(S_K^T=1\)
• 순방향 G(되먹임 안): \(S_G^T=\dfrac{1}{1+GH}<1\)
부귀환(H)이 G 변동에 대한 감도를 줄인다
감도 작을수록 강건(robust)
• 전향이득 K(되먹임 밖): \(S_K^T=1\)
• 순방향 G(되먹임 안): \(S_G^T=\dfrac{1}{1+GH}<1\)
부귀환(H)이 G 변동에 대한 감도를 줄인다
🖼️ 감도 계산 예제
부귀환계 \(T=\dfrac{KG}{1+GH}\)에서 K에 대한 감도
① \(\dfrac{\partial T}{\partial K}=\dfrac{G}{1+GH}\) (K는 분자 1차)
② \(S_K^T=\dfrac{\partial T}{\partial K}\cdot\dfrac{K}{T}=\dfrac{G}{1+GH}\cdot\dfrac{K(1+GH)}{KG}=1\)
→ K가 1% 변하면 T도 1% 변함 (감도 1)
비교: \(S_G^T=\dfrac{\partial T}{\partial G}\cdot\dfrac{G}{T}=\dfrac{1}{1+GH}\) → 되먹임이 감도를 줄임
① \(\dfrac{\partial T}{\partial K}=\dfrac{G}{1+GH}\) (K는 분자 1차)
② \(S_K^T=\dfrac{\partial T}{\partial K}\cdot\dfrac{K}{T}=\dfrac{G}{1+GH}\cdot\dfrac{K(1+GH)}{KG}=1\)
→ K가 1% 변하면 T도 1% 변함 (감도 1)
비교: \(S_G^T=\dfrac{\partial T}{\partial G}\cdot\dfrac{G}{T}=\dfrac{1}{1+GH}\) → 되먹임이 감도를 줄임
📌 상태방정식 · 천이행렬
상태공간 표준형
$$\dot{x}=Ax+Bu,\quad y=Cx+Du$$
상태변수: L의 전류, C의 전압(에너지 저장소자)
A: 시스템행렬, B: 입력행렬
상태선도의 적분기 = s 영역 \(\dfrac{1}{s}\)
A: 시스템행렬, B: 입력행렬
상태선도의 적분기 = s 영역 \(\dfrac{1}{s}\)
상태천이행렬
$$\phi(t)=e^{At}=\mathcal{L}^{-1}\!\big[(sI-A)^{-1}\big]$$
자유응답: \(x(t)=\phi(t)x(0)\)
성질: \(\phi(0)=I\), \(\phi^{-1}(t)=\phi(-t)\)
\(\phi(t_1+t_2)=\phi(t_1)\phi(t_2)\)
성질: \(\phi(0)=I\), \(\phi^{-1}(t)=\phi(-t)\)
\(\phi(t_1+t_2)=\phi(t_1)\phi(t_2)\)
전달함수 → 상태방정식 (제어표준형)
$$\dddot{y}+a_2\ddot{y}+a_1\dot{y}+a_0y=u$$
위상변수 \(x_1=y,\ x_2=\dot y,\ x_3=\ddot y\)
\(A=\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\-a_0&-a_1&-a_2\end{bmatrix}\) (동반행렬)
최하단 행에 분모계수를 부호 반전해 배치
\(A=\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\-a_0&-a_1&-a_2\end{bmatrix}\) (동반행렬)
최하단 행에 분모계수를 부호 반전해 배치
특성방정식 · 고유값(극점)
$$|sI-A|=0$$
특성근(고유값) = 전달함수의 극점
모든 근의 실수부 < 0 이면 안정
\(A\)가 동반행렬이면 \(s^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_0=0\)
모든 근의 실수부 < 0 이면 안정
\(A\)가 동반행렬이면 \(s^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_0=0\)
상태방정식 → 전달함수
$$G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D$$
초기값 0에서 라플라스 변환해 유도
\((sI-A)^{-1}=\dfrac{\text{adj}(sI-A)}{|sI-A|}\)
분모 \(|sI-A|\)가 곧 특성방정식
\((sI-A)^{-1}=\dfrac{\text{adj}(sI-A)}{|sI-A|}\)
분모 \(|sI-A|\)가 곧 특성방정식
🎯 상태방정식 → 전달함수, 왜 \(C(sI-A)^{-1}B\) 인가?
시스템은 상태방정식 \(\dot{x}=Ax+Bu\) 와 출력방정식 \(y=Cx+Du\) 두 개로 표현됩니다.
\(x\)는 상태벡터(회로에서는 \(i_L,\ v_C\)), \(u\)는 입력, \(y\)는 출력. 우리가 원하는 것은
입력–출력 관계 \(G(s)=Y/U\) 하나뿐입니다. 아래 3단계로 유도됩니다.
유도 3단계
① 라플라스 변환 (초기값 0, \(\dot x\to sX\)): \(\quad sX=AX+BU\)
② X만 남기기: \(AX\)를 좌변으로 → \(sX-AX=BU\).
\(\quad\) \(s\)는 스칼라·\(A\)는 행렬이라 못 뺌 → \(s\)에 단위행렬 \(I\)를 곱해 \((sI-A)X=BU\)
\(\quad\Rightarrow\ X=(sI-A)^{-1}BU\) (행렬의 '나눗셈'=역행렬)
③ 출력에 대입: \(Y=CX+DU=C(sI-A)^{-1}BU+DU\)
∴ \(G(s)=\dfrac{Y}{U}=C(sI-A)^{-1}B+D\)
② X만 남기기: \(AX\)를 좌변으로 → \(sX-AX=BU\).
\(\quad\) \(s\)는 스칼라·\(A\)는 행렬이라 못 뺌 → \(s\)에 단위행렬 \(I\)를 곱해 \((sI-A)X=BU\)
\(\quad\Rightarrow\ X=(sI-A)^{-1}BU\) (행렬의 '나눗셈'=역행렬)
③ 출력에 대입: \(Y=CX+DU=C(sI-A)^{-1}BU+DU\)
∴ \(G(s)=\dfrac{Y}{U}=C(sI-A)^{-1}B+D\)
스칼라와 같은 구조
$$G=\frac{cb}{s-a}\ \Rightarrow\ C(sI-A)^{-1}B$$
1차 스칼라계 \(\dot x=ax+bu,\ y=cx\)의 \(G=\dfrac{cb}{s-a}\)
행렬화: \(\dfrac{1}{s-a}\to(sI-A)^{-1}\), c·b는 위치 그대로
완전히 동일한 형태 → 외우기 쉬움
행렬화: \(\dfrac{1}{s-a}\to(sI-A)^{-1}\), c·b는 위치 그대로
완전히 동일한 형태 → 외우기 쉬움
C·B 순서 (헷갈림 주의)
$$C\,(sI-A)^{-1}\,B$$
신호 흐름: u → B → 시스템 → C → y
출력 쪽 \(C\) 맨 앞, 입력 쪽 \(B\) 맨 뒤
\(B(sI-A)^{-1}C\)로 쓰면 틀림(차원도 안 맞음)
출력 쪽 \(C\) 맨 앞, 입력 쪽 \(B\) 맨 뒤
\(B(sI-A)^{-1}C\)로 쓰면 틀림(차원도 안 맞음)
🖼️ 예제: 상태방정식 → 전달함수 (완전 계산)
\(A=\begin{bmatrix}0&1\\-2&-3\end{bmatrix},\
B=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix},\ C=[\,1\ \ 0\,],\ D=0\)
① \(sI-A=\begin{bmatrix}s&-1\\2&s+3\end{bmatrix}\)
② 행렬식 \(|sI-A|=s(s+3)-(-1)(2)=s^2+3s+2\) ← 분모=특성방정식
③ 2×2 역행렬(주대각 교환, 반대각 부호반전 \(\div\) 행렬식):
\(\quad(sI-A)^{-1}=\dfrac{1}{s^2+3s+2}\begin{bmatrix}s+3&1\\-2&s\end{bmatrix}\)
④ \((sI-A)^{-1}B=\dfrac{1}{s^2+3s+2}\begin{bmatrix}1\\s\end{bmatrix}\) (둘째 열이 남음)
⑤ \(C=[1\ 0]\) 곱 → 위 성분만:
\(\quad G(s)=\dfrac{1}{s^2+3s+2}\)
분모의 근 \(s=-1,\,-2\)가 극점(=A의 고유값).
① \(sI-A=\begin{bmatrix}s&-1\\2&s+3\end{bmatrix}\)
② 행렬식 \(|sI-A|=s(s+3)-(-1)(2)=s^2+3s+2\) ← 분모=특성방정식
③ 2×2 역행렬(주대각 교환, 반대각 부호반전 \(\div\) 행렬식):
\(\quad(sI-A)^{-1}=\dfrac{1}{s^2+3s+2}\begin{bmatrix}s+3&1\\-2&s\end{bmatrix}\)
④ \((sI-A)^{-1}B=\dfrac{1}{s^2+3s+2}\begin{bmatrix}1\\s\end{bmatrix}\) (둘째 열이 남음)
⑤ \(C=[1\ 0]\) 곱 → 위 성분만:
\(\quad G(s)=\dfrac{1}{s^2+3s+2}\)
분모의 근 \(s=-1,\,-2\)가 극점(=A의 고유값).
↔️ 역방향(전달함수 → 상태방정식)도 짝으로 기억하세요. \(G(s)=\dfrac{1}{s^2+3s+2}\)의
분모계수 \(a_0=2,\ a_1=3\)를 제어표준형 맨 아랫줄에 부호 반전해 넣으면
\(A=\begin{bmatrix}0&1\\-a_0&-a_1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&1\\-2&-3\end{bmatrix}\) —
위 예제의 \(A\)와 정확히 일치합니다. 두 변환은 서로 역과정입니다.
📌 상태방정식 심화 (천이행렬·가관측성·정준형)
천이행렬 계산 절차
$$\phi(t)=\mathcal{L}^{-1}\!\big[(sI-A)^{-1}\big]$$
① \(sI-A\) 구성 → ② 역행렬 \((sI-A)^{-1}\)
③ 각 성분을 역라플라스 변환
예: \(A=\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}\Rightarrow \phi(t)=\begin{bmatrix}1&t\\0&1\end{bmatrix}\)
③ 각 성분을 역라플라스 변환
예: \(A=\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}\Rightarrow \phi(t)=\begin{bmatrix}1&t\\0&1\end{bmatrix}\)
완전응답 (전응답)
$$x(t)=\phi(t)x(0)+\!\int_0^t\!\phi(t-\tau)Bu(\tau)d\tau$$
자유응답(영입력) + 강제응답(영상태, 합성곱)
출력: \(y(t)=Cx(t)+Du(t)\)
\(D\): 입력이 출력에 직접 전달되는 항
출력: \(y(t)=Cx(t)+Du(t)\)
\(D\): 입력이 출력에 직접 전달되는 항
가제어성 · 가관측성 (쌍대)
$$\text{rank}\,M_c=n,\quad \text{rank}\,M_o=n$$
가제어: \(M_c=[\,B\ AB\ \cdots\ A^{n-1}B\,]\)
가관측: \(M_o=[\,C;\ CA;\ \cdots;\ CA^{n-1}\,]\)
\((A,B)\) 가제어 ⇔ \((A^T,B^T)\) 가관측 (쌍대성)
가관측: \(M_o=[\,C;\ CA;\ \cdots;\ CA^{n-1}\,]\)
\((A,B)\) 가제어 ⇔ \((A^T,B^T)\) 가관측 (쌍대성)
대각정준형 (모드분해)
$$\Lambda=P^{-1}AP=\text{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)$$
고유벡터 \(P\)로 상사변환 → \(A\)를 대각화
각 모드 \(e^{\lambda_i t}\)로 분리(연성 제거)
고유값(=극점)은 변환해도 불변
각 모드 \(e^{\lambda_i t}\)로 분리(연성 제거)
고유값(=극점)은 변환해도 불변
🖼️ 회로의 상태방정식 (직렬 RLC)
직렬 RLC 회로 → 상태변수
상태방정식 유도
\( L\,\dot{i}_L=u-R\,i_L-v_C \)
\( C\,\dot{v}_C=i_L \)
\( \dot{x}=\begin{bmatrix}-\tfrac{R}{L}&-\tfrac{1}{L}\\ \tfrac{1}{C}&0\end{bmatrix}x+\begin{bmatrix}\tfrac{1}{L}\\ 0\end{bmatrix}u \)
\( C\,\dot{v}_C=i_L \)
\( \dot{x}=\begin{bmatrix}-\tfrac{R}{L}&-\tfrac{1}{L}\\ \tfrac{1}{C}&0\end{bmatrix}x+\begin{bmatrix}\tfrac{1}{L}\\ 0\end{bmatrix}u \)
상태변수 \(x=[\,i_L\ \ v_C\,]^T\)
📌 근궤적 (Root Locus)
출발 · 도착점
$$1+KG(s)H(s)=0$$
\(K=0\): 개루프 극점에서 출발
\(K\to\infty\): 개루프 영점(또는 ∞)으로 도착
가지 수 = 극점 수 \(n\)
\(K\to\infty\): 개루프 영점(또는 ∞)으로 도착
가지 수 = 극점 수 \(n\)
점근선
$$\sigma=\frac{\sum p_i-\sum z_i}{n-m}$$
점근선 각도: \(\theta=\dfrac{(2k+1)180^\circ}{n-m}\)
\(n\): 극점 수, \(m\): 영점 수
실수축 위 근궤적: 오른쪽 극·영점 총수가 홀수인 구간
\(n\): 극점 수, \(m\): 영점 수
실수축 위 근궤적: 오른쪽 극·영점 총수가 홀수인 구간
📌 안정도 판별 (후르비츠·라우스)
절대안정 필요조건
$$a_n s^n+\cdots+a_1 s+a_0=0$$
① 모든 계수의 부호가 같을 것
② 계수에 빠진 차수(0)가 없을 것
필요조건일 뿐 → 충분조건은 라우스·후르비츠로 확인
② 계수에 빠진 차수(0)가 없을 것
필요조건일 뿐 → 충분조건은 라우스·후르비츠로 확인
라우스(Routh) 판별
$$\text{1열 부호변화 수 = 우반면 근 수}$$
라우스 표 제1열에 부호변화가 없으면 안정
부호변화 횟수 = 불안정근(우반면 극) 개수
1열에 0이 생기면 \(\varepsilon\)치환 등으로 처리
부호변화 횟수 = 불안정근(우반면 극) 개수
1열에 0이 생기면 \(\varepsilon\)치환 등으로 처리
후르비츠(Hurwitz) 판별
$$D_1,D_2,\cdots,D_n>0$$
후르비츠 행렬식이 모두 양(+)이면 안정
라우스와 결과 동일(같은 정보)
차수 높으면 라우스 표가 더 간편
라우스와 결과 동일(같은 정보)
차수 높으면 라우스 표가 더 간편
🎯 라우스(Routh) 표 작성법 — 푸는 원리와 절차
특성방정식 \(a_n s^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_1 s+a_0=0\)에 대해:
① 1·2행에 계수를 한 칸씩 건너 배열 — 홀수차(\(s^n,s^{n-2},\dots\))는 1행, 짝수차는 2행.
② 아래 행은 바로 위 두 행으로 대각선 교차곱 계산:
\(\quad b_i=\dfrac{(\text{위행 1열})(\text{윗윗행 다음열})-(\text{윗윗행 1열})(\text{위행 다음열})}{\text{위행 1열}}\)
③ \(s^0\)행까지 채운 뒤 제1열의 부호변화 횟수 = 우반면(불안정) 근의 수.
→ 부호변화가 0이면 안정, 있으면 그 수만큼 불안정근.
① 1·2행에 계수를 한 칸씩 건너 배열 — 홀수차(\(s^n,s^{n-2},\dots\))는 1행, 짝수차는 2행.
② 아래 행은 바로 위 두 행으로 대각선 교차곱 계산:
\(\quad b_i=\dfrac{(\text{위행 1열})(\text{윗윗행 다음열})-(\text{윗윗행 1열})(\text{위행 다음열})}{\text{위행 1열}}\)
③ \(s^0\)행까지 채운 뒤 제1열의 부호변화 횟수 = 우반면(불안정) 근의 수.
→ 부호변화가 0이면 안정, 있으면 그 수만큼 불안정근.
🖼️ 예제 1: 안정 K 범위 · 임계 진동주파수
특성방정식 \(s^3+2s^2+4s+K=0\)
안정 조건(1열 모두 >0): \(\dfrac{8-K}{2}\gt0\Rightarrow K\lt 8\), 그리고 \(K>0\)
\(\therefore\ 0\lt K\lt 8\)
임계(진동): \(K=8\)에서 \(s^1\)행이 0 → 바로 위 \(s^2\)행으로 보조방정식
\(\quad 2s^2+8=0\Rightarrow s=\pm j2\Rightarrow \omega=2\,\text{rad/s}\) (지속진동)
| 차수 | 1열 | 2열 |
|---|---|---|
| \(s^3\) | 1 | 4 |
| \(s^2\) | 2 | \(K\) |
| \(s^1\) | \(\dfrac{2\cdot4-1\cdot K}{2}=\dfrac{8-K}{2}\) | 0 |
| \(s^0\) | \(K\) |
\(\therefore\ 0\lt K\lt 8\)
임계(진동): \(K=8\)에서 \(s^1\)행이 0 → 바로 위 \(s^2\)행으로 보조방정식
\(\quad 2s^2+8=0\Rightarrow s=\pm j2\Rightarrow \omega=2\,\text{rad/s}\) (지속진동)
🖼️ 예제 2: 우반면 근 개수 (부호변화 세기)
\(s^3+s^2+2s+8=0\) — 계수가 모두 (+)라 필요조건은 통과하지만…
1열 \(1,\,1,\,-6,\,8\) → 부호 \(+,+,\mathbf{-},+\) → 부호변화 2회 = 우반면 근 2개(불안정)
⚠ 3차는 ‘모든 계수 양수’만으로 안정 아님 — \(a_2 a_1\gt a_0\)(여기선 \(1\cdot2\lt8\))까지 봐야 함.
| 차수 | 1열 | 2열 |
|---|---|---|
| \(s^3\) | 1 | 2 |
| \(s^2\) | 1 | 8 |
| \(s^1\) | \(\dfrac{1\cdot2-1\cdot8}{1}=-6\) | 0 |
| \(s^0\) | 8 |
⚠ 3차는 ‘모든 계수 양수’만으로 안정 아님 — \(a_2 a_1\gt a_0\)(여기선 \(1\cdot2\lt8\))까지 봐야 함.
🖼️ 특수경우 처리법
① 1열에만 0이 나올 때
0 → \(\varepsilon\ (\to 0^+)\) 치환
해당 0을 아주 작은 양수 \(\varepsilon\)로 놓고 다음 행 계속 계산
\(\varepsilon\)의 부호로 1열 부호변화를 세어 우반면 근 수 판정
예: \(s^4+2s^3+s^2+2s+2\) → 부호변화 2회 → 불안정근 2개
\(\varepsilon\)의 부호로 1열 부호변화를 세어 우반면 근 수 판정
예: \(s^4+2s^3+s^2+2s+2\) → 부호변화 2회 → 불안정근 2개
② 한 행 전체가 0일 때
보조방정식 이용
허수축에 대칭인 근(±jω 등)이 있다는 신호
바로 위 행으로 보조방정식을 세워 미분한 계수로 그 행을 채움
보조방정식의 근 = 허수축 근 → 임계안정(지속진동)
예: \(s^3+2s^2+4s+8\) → \(2s^2+8=0\Rightarrow \omega=2\)
바로 위 행으로 보조방정식을 세워 미분한 계수로 그 행을 채움
보조방정식의 근 = 허수축 근 → 임계안정(지속진동)
예: \(s^3+2s^2+4s+8\) → \(2s^2+8=0\Rightarrow \omega=2\)
📌 나이퀴스트 · 보드선도 안정도
왜 임계점이 (−1, j0)인가?
$$1+GH=0 \;\Rightarrow\; GH=-1$$
폐루프 특성방정식 \(1+GH=0\) → 개루프 값이 −1이 되는 순간 폐루프 극이 허수축(안정 경계)에 도달
\(-1=1\angle180^\circ\): 이득=1(0dB), 위상=−180°
이 점 = "발진 직전" → 멀수록 안정, 감싸면 불안정
\(-1=1\angle180^\circ\): 이득=1(0dB), 위상=−180°
이 점 = "발진 직전" → 멀수록 안정, 감싸면 불안정
나이퀴스트(Nyquist) 안정도
$$Z=P-N$$
개루프 \(GH\) 궤적이 (−1, j0)점을 감싸는지로 판별
\(N\): \((-1,j0)\)을 반시계로 감싼 횟수
\(P\): 우반면 개루프 극 수, \(Z\)=0이면 안정
\(N\): \((-1,j0)\)을 반시계로 감싼 횟수
\(P\): 우반면 개루프 극 수, \(Z\)=0이면 안정
이득여유 · 위상여유
$$GM=-20\log|GH|_{\angle180^\circ}$$
위상교차(\(-180^\circ\))에서의 이득여유 \(GM\)
이득교차(\(|GH|=1\))에서의 위상여유 \(PM=180^\circ+\angle GH\)
GM>0, PM>0 이면 안정
이득교차(\(|GH|=1\))에서의 위상여유 \(PM=180^\circ+\angle GH\)
GM>0, PM>0 이면 안정
보드선도(Bode) 안정조건
$$\text{이득교차주파수}<\text{위상교차주파수}$$
이득선도(20log|G|)와 위상선도를 주파수로 표시
이득교차점에서 위상이 \(-180^\circ\)보다 여유 있으면 안정
한 점에서 모든 정보(GM·PM) 판독
이득교차점에서 위상이 \(-180^\circ\)보다 여유 있으면 안정
한 점에서 모든 정보(GM·PM) 판독
🖼️ 안정도 선도
나이퀴스트 선도 (GH 평면)
보드선도 (이득·위상 여유)
🖼️ 개념도
부귀환 블록선도
근궤적 개념 (s평면)
상태선도 → 상태방정식 (적분기 1/s)
💡 암기 팁
실효값·평균값 계수
실효값 = 최대값 ÷ √2 (≈0.707배)
전파평균 = 최대값 × 2/π (≈0.637배)
파고율 √2, 파형률 1.11
"RMS는 루트2로 나눈다"
전파평균 = 최대값 × 2/π (≈0.637배)
파고율 √2, 파형률 1.11
"RMS는 루트2로 나눈다"
ABCD 기본 행렬
직렬 Z → [1 Z ; 0 1]
병렬 Y → [1 0 ; Y 1]
가역: AD−BC=1, 대칭: A=D
"직렬은 B, 병렬은 C에 들어간다"
병렬 Y → [1 0 ; Y 1]
가역: AD−BC=1, 대칭: A=D
"직렬은 B, 병렬은 C에 들어간다"
천이행렬 핵심
φ(t)=e^(At)=L⁻¹[(sI−A)⁻¹]
φ(0)=I (0 아님!)
φ⁻¹(t)=φ(−t)
"sI−A의 역행렬을 역라플라스"
φ(0)=I (0 아님!)
φ⁻¹(t)=φ(−t)
"sI−A의 역행렬을 역라플라스"
근궤적 출발·도착
K=0 → 극점 출발 (Pole)
K=∞ → 영점 도착 (Zero)
점근선 중심 σ=(Σ극−Σ영)/(n−m)
"극에서 시작, 영으로 끝"
K=∞ → 영점 도착 (Zero)
점근선 중심 σ=(Σ극−Σ영)/(n−m)
"극에서 시작, 영으로 끝"
라우스 판별 순서
① 계수 부호·누락 먼저 확인(하나라도 −/0 → 불안정)
② 1·2행 한 칸씩 건너 배열
③ 대각교차곱으로 s⁰행까지
④ 1열 부호변화 수 = 우반면 근 수
1열에 0 → ε 치환 / 행 전체 0 → 보조방정식(±jω)
② 1·2행 한 칸씩 건너 배열
③ 대각교차곱으로 s⁰행까지
④ 1열 부호변화 수 = 우반면 근 수
1열에 0 → ε 치환 / 행 전체 0 → 보조방정식(±jω)
분포정수 회로 — 장거리 선로처럼 R·L·C·G가 선로 전체에 분포된 회로입니다.
특성임피던스·전파정수·무왜형 조건이 핵심입니다.
핵심 공식
특성임피던스
\[ Z_0=\sqrt{\frac{R+j\omega L}{G+j\omega C}}\approx\sqrt{\frac{L}{C}} \]
무손실 시 \(\sqrt{L/C}\). 시험으로는 \(Z_0=\sqrt{Z_{oc}Z_{sc}}\)
전파정수
\[ \gamma=\sqrt{(R+j\omega L)(G+j\omega C)}=\alpha+j\beta \]
α: 감쇠정수, β: 위상정수
전파(진행) 속도
\[ v=\frac{1}{\sqrt{LC}}=\frac{\omega}{\beta}\ [\text{m/s}] \]
무손실 선로의 위상속도
무왜형 선로 (파형 왜곡 없음)
무왜형 조건
\[ \frac{R}{L}=\frac{G}{C}\quad(RC=LG) \]
이 조건에서 감쇠정수 α가 주파수와 무관
→ 모든 주파수 성분이 같은 비율로 감쇠
파형 왜곡 없이 전송
→ 모든 주파수 성분이 같은 비율로 감쇠
파형 왜곡 없이 전송
효과
감쇠량 최소
• 감쇠량이 최소가 됨
• \(\alpha=\sqrt{RG}\), \(\beta=\omega\sqrt{LC}\)
• 위상속도 \(v=1/\sqrt{LC}\)로 주파수 무관
• 통신선 장하코일로 L을 늘려 조건 근접
• \(\alpha=\sqrt{RG}\), \(\beta=\omega\sqrt{LC}\)
• 위상속도 \(v=1/\sqrt{LC}\)로 주파수 무관
• 통신선 장하코일로 L을 늘려 조건 근접
암기 팁
무왜형 조건
RC = LG (R/L = G/C)감쇠량 최소 · 파형 왜곡 없음
특성임피던스·속도
\(Z_0=\sqrt{L/C}\), \(v=1/\sqrt{LC}\)무손실 선로 기준