📖 학습 모드

쿨롱의 법칙을 적용합니다.

\[ F = k\frac{Q_1 Q_2}{r^2} = 9 \times 10^9 \times \frac{2 \times 10^{-6} \times 3 \times 10^{-6}}{1^2} \]\[ = 9 \times 10^9 \times 6 \times 10^{-12} = \mathbf{0.054} \text{ [N]} \]
여기서 \(k = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 9 \times 10^9\) [N·m²/C²]

점전하에 의한 전계

\[ E = k\frac{Q}{r^2} = 9 \times 10^9 \times \frac{10^{-9}}{(0.1)^2} \]\[ = \frac{9}{0.01} = \mathbf{900} \text{ [V/m]} \]

점전하에 의한 전위

\[ V = k\frac{Q}{r} = 9 \times 10^9 \times \frac{2 \times 10^{-8}}{0.3} \]\[ = \frac{180}{0.3} = \mathbf{600} \text{ [V]} \]

전속밀도 \(D = \varepsilon_0 \varepsilon_r E\)

\[ D = 8.854 \times 10^{-12} \times 4 \times 100 \]\[ = 8.854 \times 10^{-12} \times 400 = \mathbf{3.54 \times 10^{-9}} \text{ [C/m²]} \]

평행판 콘덴서 \(C = \varepsilon_0 \varepsilon_r \dfrac{S}{d}\)

면적 S를 2배, 간격 d를 2배로 하면:
\[ C' = \varepsilon_0 \varepsilon_r \frac{2S}{2d} = \varepsilon_0 \varepsilon_r \frac{S}{d} = C \]
∴ 정전용량은 변화 없음

콘덴서에 저장되는 에너지

\[ W = \frac{1}{2}CV^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times 10^{-6} \times 100^2 \]\[ = \frac{1}{2} \times 10^{-5} \times 10^4 = \mathbf{0.05} \text{ [J]} \]

가우스 법칙: 구 표면의 전속밀도

\[ D = \frac{Q}{4\pi r^2} = \frac{2 \times 10^{-6}}{4\pi \times (0.5)^2} \]\[ = \frac{2 \times 10^{-6}}{\pi} \approx \mathbf{6.37 \times 10^{-7}} \text{ [C/m²]} \]

전계 에너지 밀도 \(w = \dfrac{1}{2}\varepsilon_0\varepsilon_r E^2\)

\[ w = \frac{1}{2} \times 8.854 \times 10^{-12} \times 4 \times 100^2 \]\[ = \frac{1}{2} \times 35.416 \times 10^{-8} = \mathbf{1.77 \times 10^{-7}} \text{ [J/m³]} \]

무한 직선 전류에 의한 자계 (암페어의 주회 법칙)

\[ H = \frac{I}{2\pi r} = \frac{10}{2\pi \times 0.2} = \frac{10}{0.4\pi} \]\[ = \frac{25}{\pi} \approx \mathbf{7.96} \text{ [A/m]} \]

원형 전류 중심의 자계

\[ H = \frac{I}{2r} = \frac{1}{2 \times 0.1} = \mathbf{5} \text{ [A/m]} \]
원형 도선의 반지름과 전류로 구합니다.

솔레노이드 내부 자계

\[ H = \frac{NI}{l} = \frac{100 \times 2}{0.2} = \frac{200}{0.2} = \mathbf{1000} \text{ [A/m]} \]
단위 길이당 권수 n = N/l 을 이용하면 H = nI

자속밀도 \(B = \mu_0 \mu_r H\)

\[ B = 4\pi \times 10^{-7} \times 1000 \times 100 \]\[ = 4\pi \times 10^{-7} \times 10^5 = \mathbf{4\pi \times 10^{-2}} \approx 0.126 \text{ [T]} \]

평행 전류 도선 사이의 힘

\[ f = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 1 \times 1}{2\pi \times 1} \]\[ = \frac{4\pi \times 10^{-7}}{2\pi} = \mathbf{2 \times 10^{-7}} \text{ [N/m]} \]
이 값이 암페어(A) 단위 정의의 기초입니다.

패러데이의 전자유도 법칙

\[ |e| = N \left|\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}\right| = 100 \times \frac{|0.5 - 0.1|}{0.01} \]\[ = 100 \times \frac{0.4}{0.01} = 100 \times 40 = \mathbf{4000} \text{ [V]} \]

자기 인덕턴스 \(L = \dfrac{N\Phi}{I}\)

\[ L = \frac{N\Phi}{I} = \frac{1000 \times 10^{-3}}{10} = \frac{1}{10} = \mathbf{0.1} \text{ [H]} \]
또는 \(e = -L\dfrac{di}{dt}\) 관계식으로도 정의됩니다.

상호 인덕턴스 \(M = k\sqrt{L_1 L_2}\)

\[ M = 0.5 \times \sqrt{20 \times 80} = 0.5 \times \sqrt{1600} \]\[ = 0.5 \times 40 = \mathbf{20} \text{ [mH]} \]
결합계수 k는 0 ≤ k ≤ 1 범위를 가집니다.

운동 기전력 (플레밍의 오른손 법칙)

\[ e = Blv = 0.2 \times 0.5 \times 10 = \mathbf{1.0} \text{ [V]} \]
도선이 자계 속에서 운동할 때 유기되는 기전력입니다.

변위전류 \(i_d = C\dfrac{dv}{dt}\)

\[ \frac{dv}{dt} = 100 \times 100\pi\cos(100\pi t) = 10^4\pi\cos(100\pi t) \]\[ i_d = 10 \times 10^{-6} \times 10^4\pi\cos(100\pi t) = \mathbf{0.1\pi\cos(100\pi t)} \text{ [A]} \]

매질 내 전자파 속도

\[ v = \frac{c}{\sqrt{\mu_r \varepsilon_r}} = \frac{3 \times 10^8}{\sqrt{1 \times 4}} = \frac{3 \times 10^8}{2} = \mathbf{1.5 \times 10^8} \text{ [m/s]} \]
매질의 굴절률 \(n = \sqrt{\mu_r \varepsilon_r}\)

전자파 파장

\[ \lambda = \frac{c}{f} = \frac{3 \times 10^8}{10^9} = \frac{3}{10} = \mathbf{0.3} \text{ [m]} \]
1 GHz = \(10^9\) Hz

포인팅 벡터 \(\vec{P} = \vec{E} \times \vec{H}\)

E와 H가 수직일 때:
\[ |P| = E \cdot H = 100 \times 1 = \mathbf{100} \text{ [W/m²]} \]
포인팅 벡터는 전자파의 에너지 흐름 방향과 크기를 나타냅니다.

맥스웰의 4개 방정식

\[ \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \quad \Rightarrow \text{ 패러데이 법칙} \]
변화하는 자계는 전계를 유도합니다 (전자유도 법칙의 미분형).

• \(\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho\): 가우스 법칙 (전계)
• \(\nabla \cdot \mathbf{B} = 0\): 가우스 법칙 (자계)
• \(\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}\): 암페어-맥스웰 법칙

비오-사바르 법칙

\[ d\mathbf{H} = \frac{I\,d\mathbf{l} \times \hat{r}}{4\pi r^2} \]
크기: \[ dH = \frac{I\,dl\sin\theta}{4\pi r^2} \]
거리의 제곱에 반비례하고, 전류 방향과 관측점 방향 사이 각도의 sin에 비례합니다.

자기회로

먼저 자계의 세기: \[ H = \frac{NI}{l} = \frac{500 \times 0.1}{0.2} = 250 \text{ [A/m]} \]
자속밀도: \[ B = \mu_0\mu_r H = 4\pi \times 10^{-7} \times 1000 \times 250 = 0.1\pi \text{ [T]} \]
자속: \[ \Phi = B \cdot A = 0.1\pi \times 4\times 10^{-4} = \mathbf{4\pi \times 10^{-5}} \text{ [Wb]} \]

유전체 경계조건

연속인 것 (경계면 양쪽에서 같은 값)

• ✅ 전계의 접선 성분: \(E_{t1} = E_{t2}\)
• ✅ 전속밀도의 법선 성분: \(D_{n1} = D_{n2}\) (면전하 없을 때)

불연속인 것

• ❌ 전계의 법선 성분: \(\varepsilon_1 E_{n1} = \varepsilon_2 E_{n2}\)
• ❌ 전속밀도의 접선 성분: \(D_{t1}/\varepsilon_1 = D_{t2}/\varepsilon_2\)

※ 이 문제에서 면전하가 없다고 가정.