전자기학
정자계
코일 토크
2020.8 기출
가로 0.04m, 세로 0.08m인 직사각형 평면 코일이 xy평면(법선이 \(a_z\))에 놓여 있고 전류 5A가 흐른다. 자속밀도 \(B=\dfrac{0.05}{\sqrt2}(a_x+a_y)\)[Wb/m²]일 때 코일에 작용하는 토크[N·m]는?
- ① \(5.66\times10^{-4}(-a_x+a_y)\) 정답
- ② \(5.66\times10^{-4}\,a_z\)
- ③ \(8\times10^{-4}(-a_x+a_y)\)
- ④ \(2.66\times10^{-4}(-a_x+a_y)\)
📖 해설
자계 속 코일의 토크
\[ \vec T=\vec m\times\vec B,\qquad \vec m=I\,S\,\hat n \]코일이 xy평면에 있으므로 법선 \(\hat n=a_z\).
① 자기모멘트
\(S=0.04\times0.08=3.2\times10^{-3}\,\text{m}^2\)
\(\vec m=I S\,a_z=5\times3.2\times10^{-3}\,a_z=0.016\,a_z\,[\text{A·m}^2]\)
② 토크(외적)
\[ \vec T=0.016\,a_z\times\frac{0.05}{\sqrt2}(a_x+a_y) \]\(a_z\times a_x=a_y,\ a_z\times a_y=-a_x\)이므로
\[ \vec T=0.016\times\frac{0.05}{\sqrt2}\,(a_y-a_x)=5.66\times10^{-4}(-a_x+a_y)\,[\text{N·m}] \]
크기 \(|\vec T|=5.66\times10^{-4}\times\sqrt2=8\times10^{-4}\)N·m.
주의 — 토크 방향은 \(a_z\)가 아니라 \((-a_x+a_y)\)입니다(\(\vec m\)과 \(\vec B\)에 모두 수직).
\[ \vec T=\vec m\times\vec B,\qquad \vec m=I\,S\,\hat n \]코일이 xy평면에 있으므로 법선 \(\hat n=a_z\).
① 자기모멘트
\(S=0.04\times0.08=3.2\times10^{-3}\,\text{m}^2\)
\(\vec m=I S\,a_z=5\times3.2\times10^{-3}\,a_z=0.016\,a_z\,[\text{A·m}^2]\)
② 토크(외적)
\[ \vec T=0.016\,a_z\times\frac{0.05}{\sqrt2}(a_x+a_y) \]\(a_z\times a_x=a_y,\ a_z\times a_y=-a_x\)이므로
\[ \vec T=0.016\times\frac{0.05}{\sqrt2}\,(a_y-a_x)=5.66\times10^{-4}(-a_x+a_y)\,[\text{N·m}] \]
크기 \(|\vec T|=5.66\times10^{-4}\times\sqrt2=8\times10^{-4}\)N·m.
주의 — 토크 방향은 \(a_z\)가 아니라 \((-a_x+a_y)\)입니다(\(\vec m\)과 \(\vec B\)에 모두 수직).
🧭 벡터곱(외적, cross product)이 처음이라면
두 벡터의 외적 \(\vec A\times\vec B\)는:
• 결과가 벡터입니다(스칼라인 내적과 다름).
• 방향: \(\vec A,\vec B\) 둘 다에 수직 — 오른손 손가락을 \(\vec A\)에서 \(\vec B\)로 감을 때 엄지 방향(오른손 법칙).
• 크기: \(|\vec A\times\vec B|=|\vec A||\vec B|\sin\theta\) (평행이면 0, 수직이면 최대). 순서를 바꾸면 부호가 반대: \(\vec B\times\vec A=-\vec A\times\vec B\).
단위벡터 순환 규칙 (그림) — \(x\to y\to z\to x\) 순서(원의 화살표 방향)면 +, 거꾸로면 −:
\[ a_x\times a_y=a_z,\quad a_y\times a_z=a_x,\quad a_z\times a_x=a_y \quad(순환,\,+) \]\[ a_y\times a_x=-a_z,\quad a_z\times a_y=-a_x,\quad a_x\times a_z=-a_y \quad(역순,\,-) \]같은 방향끼리는 0: \(a_x\times a_x=0\).
이 문제 적용: 원에서
• \(a_z\times a_x\): \(z\to x\)는 화살표 방향(순환) → \(+a_y\)
• \(a_z\times a_y\): \(z\to y\)는 거꾸로(역순) → \(-a_x\)
그래서 \(\vec T=0.016\cdot\frac{0.05}{\sqrt2}(a_z\times a_x+a_z\times a_y)=5.66\times10^{-4}(a_y-a_x)\).
두 벡터의 외적 \(\vec A\times\vec B\)는:
• 결과가 벡터입니다(스칼라인 내적과 다름).
• 방향: \(\vec A,\vec B\) 둘 다에 수직 — 오른손 손가락을 \(\vec A\)에서 \(\vec B\)로 감을 때 엄지 방향(오른손 법칙).
• 크기: \(|\vec A\times\vec B|=|\vec A||\vec B|\sin\theta\) (평행이면 0, 수직이면 최대). 순서를 바꾸면 부호가 반대: \(\vec B\times\vec A=-\vec A\times\vec B\).
단위벡터 순환 규칙 (그림) — \(x\to y\to z\to x\) 순서(원의 화살표 방향)면 +, 거꾸로면 −:
\[ a_x\times a_y=a_z,\quad a_y\times a_z=a_x,\quad a_z\times a_x=a_y \quad(순환,\,+) \]\[ a_y\times a_x=-a_z,\quad a_z\times a_y=-a_x,\quad a_x\times a_z=-a_y \quad(역순,\,-) \]같은 방향끼리는 0: \(a_x\times a_x=0\).
이 문제 적용: 원에서
• \(a_z\times a_x\): \(z\to x\)는 화살표 방향(순환) → \(+a_y\)
• \(a_z\times a_y\): \(z\to y\)는 거꾸로(역순) → \(-a_x\)
그래서 \(\vec T=0.016\cdot\frac{0.05}{\sqrt2}(a_z\times a_x+a_z\times a_y)=5.66\times10^{-4}(a_y-a_x)\).