전자기학 기출문제

쿨롱의 법칙을 적용합니다.

\[ F = k\frac{Q_1 Q_2}{r^2} = 9 \times 10^9 \times \frac{2 \times 10^{-6} \times 3 \times 10^{-6}}{1^2} \]\[ = 9 \times 10^9 \times 6 \times 10^{-12} = \mathbf{0.054} \text{ [N]} \]
여기서 \(k = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 9 \times 10^9\) [N·m²/C²]

점전하에 의한 전계

\[ E = k\frac{Q}{r^2} = 9 \times 10^9 \times \frac{10^{-9}}{(0.1)^2} \]\[ = \frac{9}{0.01} = \mathbf{900} \text{ [V/m]} \]

점전하에 의한 전위

\[ V = k\frac{Q}{r} = 9 \times 10^9 \times \frac{2 \times 10^{-8}}{0.3} \]\[ = \frac{180}{0.3} = \mathbf{600} \text{ [V]} \]

전속밀도 \(D = \varepsilon_0 \varepsilon_r E\)

\[ D = 8.854 \times 10^{-12} \times 4 \times 100 \]\[ = 8.854 \times 10^{-12} \times 400 = \mathbf{3.54 \times 10^{-9}} \text{ [C/m²]} \]

평행판 콘덴서 \(C = \varepsilon_0 \varepsilon_r \dfrac{S}{d}\)

면적 S를 2배, 간격 d를 2배로 하면:
\[ C' = \varepsilon_0 \varepsilon_r \frac{2S}{2d} = \varepsilon_0 \varepsilon_r \frac{S}{d} = C \]
∴ 정전용량은 변화 없음

콘덴서에 저장되는 에너지

\[ W = \frac{1}{2}CV^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times 10^{-6} \times 100^2 \]\[ = \frac{1}{2} \times 10^{-5} \times 10^4 = \mathbf{0.05} \text{ [J]} \]

가우스 법칙과 전속밀도 D
전속밀도 \(D\)는 단위면적을 지나는 전기력선속(전속)의 밀도로, 매질(유전율)과 무관하게 전하로부터 방사상으로 퍼진다.

① 가우스 법칙
임의의 폐곡면을 지나는 전속의 총합은 그 안에 든 전하량과 같다.\[ \oint \vec D\cdot d\vec S = Q \]점전하를 중심에 둔 반지름 \(r\)의 구면에서는 \(D\)가 표면에 수직·균일하므로,\[ D\cdot(4\pi r^2)=Q \;\Rightarrow\; D=\dfrac{Q}{4\pi r^2} \]여기서 \(4\pi r^2\)은 구의 겉넓이다.

② 수치 대입\[ D=\dfrac{2\times10^{-6}}{4\pi\times(0.5)^2}=\dfrac{2\times10^{-6}}{\pi} \]\[ \approx 6.37\times10^{-7}\;[\text{C/m}^2] \]정답은 ② \(6.37\times10^{-7}\) C/m².

③ 보기 검토
• ① \(3.18\times10^{-7}\): 정답의 \(\tfrac12\)배 — 구 겉넓이를 \(2\pi r^2\)로 잘못 씀
• ③ \(1.27\times10^{-6}\): 정답의 2배 — \(4\pi r^2\) 대신 \(2\pi r^2\)로 계산
• ④ \(2.54\times10^{-6}\): 정답의 4배 — \(r^2\)의 \((0.5)^2=0.25\) 반영을 빠뜨림

참고 — 전계 \(E=\dfrac{D}{\varepsilon_0}=\dfrac{6.37\times10^{-7}}{8.855\times10^{-12}}\approx7.2\times10^{4}\)[V/m]. \(D\)는 매질과 무관하지만 \(E\)는 유전율에 따라 달라진다.

전계 에너지 밀도 \(w = \dfrac{1}{2}\varepsilon_0\varepsilon_r E^2\)

\[ w = \frac{1}{2} \times 8.854 \times 10^{-12} \times 4 \times 100^2 \]\[ = \frac{1}{2} \times 35.416 \times 10^{-8} = \mathbf{1.77 \times 10^{-7}} \text{ [J/m³]} \]

무한 직선 전류에 의한 자계 (암페어의 주회 법칙)

\[ H = \frac{I}{2\pi r} = \frac{10}{2\pi \times 0.2} = \frac{10}{0.4\pi} \]\[ = \frac{25}{\pi} \approx \mathbf{7.96} \text{ [A/m]} \]

전류·저항 핵심
옴 \(V=IR\), \(R=\rho\dfrac{l}{S}\), 온도 \(R_t=R_0(1+\alpha t)\), 전류밀도 \(J=\sigma E=nev_d\), 접지저항 반구 \(\dfrac{\rho}{2\pi a}\).

풀이
원형 전류 중심의 자계

\[ H = \frac{I}{2r} = \frac{1}{2 \times 0.1} = \mathbf{5} \text{ [A/m]} \]
원형 도선의 반지름과 전류로 구합니다.

솔레노이드 내부 자계

\[ H = \frac{NI}{l} = \frac{100 \times 2}{0.2} = \frac{200}{0.2} = \mathbf{1000} \text{ [A/m]} \]
단위 길이당 권수 n = N/l 을 이용하면 H = nI

자속밀도 \(B = \mu_0 \mu_r H\)

\[ B = 4\pi \times 10^{-7} \times 1000 \times 100 \]\[ = 4\pi \times 10^{-7} \times 10^5 = \mathbf{4\pi \times 10^{-2}} \approx 0.126 \text{ [T]} \]

평행 전류 도선 사이의 힘

\[ f = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 1 \times 1}{2\pi \times 1} \]\[ = \frac{4\pi \times 10^{-7}}{2\pi} = \mathbf{2 \times 10^{-7}} \text{ [N/m]} \]
이 값이 암페어(A) 단위 정의의 기초입니다.

패러데이의 전자유도 법칙

\[ |e| = N \left|\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}\right| = 100 \times \frac{|0.5 - 0.1|}{0.01} \]\[ = 100 \times \frac{0.4}{0.01} = 100 \times 40 = \mathbf{4000} \text{ [V]} \]

자기 인덕턴스 \(L = \dfrac{N\Phi}{I}\)

\[ L = \frac{N\Phi}{I} = \frac{1000 \times 10^{-3}}{10} = \frac{1}{10} = \mathbf{0.1} \text{ [H]} \]
또는 \(e = -L\dfrac{di}{dt}\) 관계식으로도 정의됩니다.

상호 인덕턴스 \(M = k\sqrt{L_1 L_2}\)

\[ M = 0.5 \times \sqrt{20 \times 80} = 0.5 \times \sqrt{1600} \]\[ = 0.5 \times 40 = \mathbf{20} \text{ [mH]} \]
결합계수 k는 0 ≤ k ≤ 1 범위를 가집니다.

전자유도·상호유도
\(e=-N\dfrac{d\phi}{dt}\)(렌츠 −부호), 운동기전력 \(e=Blv\), 상호유도 \(V_2=M\dfrac{di_1}{dt}\), \(M=k\sqrt{L_1L_2}\).

풀이
운동 기전력 (플레밍의 오른손 법칙)

\[ e = Blv = 0.2 \times 0.5 \times 10 = \mathbf{1.0} \text{ [V]} \]
도선이 자계 속에서 운동할 때 유기되는 기전력입니다.

변위전류 \(i_d = C\dfrac{dv}{dt}\)

\[ \frac{dv}{dt} = 100 \times 100\pi\cos(100\pi t) = 10^4\pi\cos(100\pi t) \]\[ i_d = 10 \times 10^{-6} \times 10^4\pi\cos(100\pi t) = \mathbf{0.1\pi\cos(100\pi t)} \text{ [A]} \]

매질 내 전자파 속도

\[ v = \frac{c}{\sqrt{\mu_r \varepsilon_r}} = \frac{3 \times 10^8}{\sqrt{1 \times 4}} = \frac{3 \times 10^8}{2} = \mathbf{1.5 \times 10^8} \text{ [m/s]} \]
매질의 굴절률 \(n = \sqrt{\mu_r \varepsilon_r}\)

전자파 파장

\[ \lambda = \frac{c}{f} = \frac{3 \times 10^8}{10^9} = \frac{3}{10} = \mathbf{0.3} \text{ [m]} \]
1 GHz = \(10^9\) Hz

포인팅 벡터 \(\vec{P} = \vec{E} \times \vec{H}\)

E와 H가 수직일 때:
\[ |P| = E \cdot H = 100 \times 1 = \mathbf{100} \text{ [W/m²]} \]
포인팅 벡터는 전자파의 에너지 흐름 방향과 크기를 나타냅니다.

맥스웰의 4개 방정식

\[ \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \quad \Rightarrow \text{ 패러데이 법칙} \]
변화하는 자계는 전계를 유도합니다 (전자유도 법칙의 미분형).

• \(\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho\): 가우스 법칙 (전계)
• \(\nabla \cdot \mathbf{B} = 0\): 가우스 법칙 (자계)
• \(\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}\): 암페어-맥스웰 법칙

비오-사바르 법칙

\[ d\mathbf{H} = \frac{I\,d\mathbf{l} \times \hat{r}}{4\pi r^2} \]
크기: \[ dH = \frac{I\,dl\sin\theta}{4\pi r^2} \]
거리의 제곱에 반비례하고, 전류 방향과 관측점 방향 사이 각도의 sin에 비례합니다.

자기회로

먼저 자계의 세기: \[ H = \frac{NI}{l} = \frac{500 \times 0.1}{0.2} = 250 \text{ [A/m]} \]
자속밀도: \[ B = \mu_0\mu_r H = 4\pi \times 10^{-7} \times 1000 \times 250 = 0.1\pi \text{ [T]} \]
자속: \[ \Phi = B \cdot A = 0.1\pi \times 4\times 10^{-4} = \mathbf{4\pi \times 10^{-5}} \text{ [Wb]} \]

유전체 경계조건

연속인 것 (경계면 양쪽에서 같은 값)

• ✅ 전계의 접선 성분: \(E_{t1} = E_{t2}\)
• ✅ 전속밀도의 법선 성분: \(D_{n1} = D_{n2}\) (면전하 없을 때)

불연속인 것

• ❌ 전계의 법선 성분: \(\varepsilon_1 E_{n1} = \varepsilon_2 E_{n2}\)
• ❌ 전속밀도의 접선 성분: \(D_{t1}/\varepsilon_1 = D_{t2}/\varepsilon_2\)

※ 이 문제에서 면전하가 없다고 가정.

발산(가우스) 정리

폐곡면의 면적분을 체적의 발산 적분으로 변환합니다.
\[ \oint_S \mathbf{E}\cdot d\mathbf{S}=\int_V (\nabla\cdot\mathbf{E})\,dV \]
가우스 법칙 \(\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho\)의 적분형 유도에 사용됩니다.

전위 경도

전계는 전위의 기울기에 음(−)을 붙인 것입니다.
\[ \mathbf{E}=-\nabla V=-\left(\frac{\partial V}{\partial x}\hat x+\frac{\partial V}{\partial y}\hat y+\frac{\partial V}{\partial z}\hat z\right) \]
전계는 전위가 높은 곳에서 낮은 곳으로 향합니다.

유전체 경계조건 (진전하·면전류 없음)

• 전속밀도의 법선성분 연속: \(D_{1n}=D_{2n}\)
• 전계의 접선성분 연속: \(E_{1t}=E_{2t}\)
이로부터 굴절 \(\dfrac{\tan\theta_1}{\tan\theta_2}=\dfrac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2}\).

분극과 전속밀도

\[ D=\varepsilon_0 E+P,\qquad P=\varepsilon_0(\varepsilon_s-1)E=\chi\varepsilon_0 E \]
유전율 \(\varepsilon=\varepsilon_0\varepsilon_s\), 비유전율 \(\varepsilon_s=1+\chi\).

전기영상법 — 평면도체

도체면 반대편 거리 \(d\)에 영상전하 \(-Q\)가 있다고 본다. 두 전하 거리는 \(2d\):
\[ F=\frac{Q\cdot Q}{4\pi\varepsilon_0(2d)^2}=\frac{Q^2}{16\pi\varepsilon_0 d^2} \]
방향은 도체쪽으로 흡인력.

핵심: 접지 평면도체는 ‘반대편 대칭 위치에 −Q가 있는 것’과 똑같다.

① 영상법 아이디어
도체면은 등전위(0V). 이 조건을 맞추려면 도체를 치우고 거울처럼 대칭인 위치(반대편 거리 \(d\))에 \(-Q\)를 놓으면, 면 위 전위가 0이 되어 실제와 같은 전기장을 줍니다.

② 영상전하 = \(-Q\), 거리 \(2d\)
실제 \(+Q\)와 영상 \(-Q\) 간격은 \(2d\), 반대부호라 항상 흡인력: \[ F=\frac{Q(-Q)}{4\pi\varepsilon_0(2d)^2}=-\frac{Q^2}{16\pi\varepsilon_0 d^2} \]
③ 자주 틀리는 점
• 크기는 \(-Q\)(절반·2배 아님)
• 위치는 면 위가 아니라 반대편 대칭점
• 거리는 d가 아니라 2d → 분모 \((2d)^2\)

④ 암기 팁
“거울 속 반대부호, 거리 두 배, 무조건 흡인.”
→ 영상전하 \(-Q\), 반대편 대칭(2d) (정답 ①)

자기저항(릴럭턴스)

전기저항 \(R=\dfrac{l}{\sigma A}\)와 유사하게
\[ R_m=\frac{l}{\mu A}\,[\text{AT/Wb}] \]
자기회로 옴법칙: \(\Phi=\dfrac{F}{R_m}=\dfrac{NI}{R_m}\).

솔레노이드 자계·자속·에너지
내부 \(H=nI\), \(B=\mu nI\), 자속 \(\phi=BS\), 저장에너지 \(W=\tfrac12LI^2=\tfrac12\mu H^2\cdot(부피)\). 무한 솔레노이드 외부 자계는 0.

풀이
자기회로 옴의 법칙

기자력 \(F=NI\) [AT], 자속 \(\Phi=\dfrac{F}{R_m}=\dfrac{NI}{R_m}\) [Wb].
전기회로의 \(I=V/R\)에 대응됩니다.

솔레노이드 내부 자계
\[ H=nI\,[\text{AT/m}]\ (n=N/l) \]길이에 비해 충분히 긴 솔레노이드 내부는 균일, 외부는 0에 가깝습니다.

풀이
솔레노이드 인덕턴스

\[ L=\frac{N\Phi}{I}=\frac{\mu N^2 A}{l} \]
권수의 제곱에 비례합니다.

전자유도·상호유도
\(e=-N\dfrac{d\phi}{dt}\)(렌츠 −부호), 운동기전력 \(e=Blv\), 상호유도 \(V_2=M\dfrac{di_1}{dt}\), \(M=k\sqrt{L_1L_2}\).

풀이
상호인덕턴스와 결합계수

\[ M=k\sqrt{L_1 L_2},\qquad 0\le k\le 1 \]
\(k=1\)이면 완전결합(누설자속 0).

변위전류

\[ \nabla\times\mathbf{H}=\mathbf{J}+\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} \]
변위전류 밀도 \(\dfrac{\partial D}{\partial t}=\varepsilon\dfrac{\partial E}{\partial t}\). 콘덴서 사이처럼 전류가 흐르지 않는 곳의 자계를 설명합니다.

정전 에너지 밀도

\[ w=\frac12\varepsilon E^2=\frac12 ED=\frac{D^2}{2\varepsilon}\,[\text{J/m}^3] \]
콘덴서 에너지 \(W=\tfrac12 CV^2\)와 연결됩니다.

평행판 콘덴서

\[ C=\frac{\varepsilon A}{d}=\frac{\varepsilon_0\varepsilon_s A}{d}\,[\text{F}] \]
간격이 좁고 면적이 클수록 용량이 큽니다. 내부 전계 \(E=\dfrac{V}{d}=\dfrac{\sigma}{\varepsilon}\).

무한 직선 도선의 자계 (앙페르 주회적분)

\[ \oint H\,dl=I \Rightarrow H\cdot 2\pi r=I \Rightarrow H=\frac{I}{2\pi r}\,[\text{AT/m}] \]
자속밀도 \(B=\mu H=\dfrac{\mu I}{2\pi r}\). 방향은 오른나사 법칙.

전기영상법

도체면 반대편 거리 \(d\)에 영상전하 \(-Q\)가 있다고 보면 두 전하 거리는 \(2d\):
\[ F=\frac{Q^2}{4\pi\varepsilon_0(2d)^2}=\frac{Q^2}{16\pi\varepsilon_0 d^2}\ (\text{흡인}) \]

솔레노이드 내부 자계
\[ H=nI\,[\text{AT/m}]\ (n=N/l) \]길이에 비해 충분히 긴 솔레노이드 내부는 균일, 외부는 0에 가깝습니다.

풀이
무한장 솔레노이드 내부 자계

무한장 솔레노이드 내부 자계는 위치에 무관하게 균일하며 \[ H=nI=\frac{NI}{l} \]입니다. \(n=N/l\)은 단위길이당 권수입니다. 단면적·반지름과는 무관합니다.

솔레노이드 내부 자계
\[ H=nI\,[\text{AT/m}]\ (n=N/l) \]길이에 비해 충분히 긴 솔레노이드 내부는 균일, 외부는 0에 가깝습니다.

풀이
솔레노이드 외부 자계

이상적인 무한장 솔레노이드는 자속이 내부에 집중되고 외부 자계는 거의 0입니다. 앙페르 법칙으로 외부 폐경로를 잡으면 쇄교전류가 상쇄되어 \(H_{외}\approx0\)이 됩니다.

솔레노이드 내부 자계
\[ H=nI\,[\text{AT/m}] \]
· \(n\): 단위길이당 권수(=N/l), \(I\): 전류
충분히 긴 솔레노이드 내부는 균일 자계이고 외부는 0에 가깝습니다.

계산
끝단 자계

반무한 솔레노이드의 끝단 자계는 중앙(무한장) 자계의 1/2입니다. \(H_{끝}=\dfrac{nI}{2}\). 끝에서는 한쪽으로만 코일이 이어지기 때문입니다.

내부 자계 계산

\[ H=\frac{NI}{l}=\frac{500\times2}{0.5}=2000\ \text{AT/m} \]
단위길이당 권수 \(n=N/l=1000\)회/m, \(H=nI=1000\times2=2000\).

솔레노이드 내부 자계
\[ H=nI\,[\text{AT/m}] \]
· \(n\): 단위길이당 권수(=N/l), \(I\): 전류
충분히 긴 솔레노이드 내부는 균일 자계이고 외부는 0에 가깝습니다.

계산
자속밀도 계산

\[ B=\mu_0 H=4\pi\times10^{-7}\times2000\approx2.51\times10^{-3}\ \text{T}=2.51\ \text{mT} \]

환상 솔레노이드

앙페르 법칙을 평균 자로(둘레 \(2\pi r\))에 적용하면 \[ H\cdot2\pi r=NI \Rightarrow H=\frac{NI}{2\pi r} \]
자속이 코어 안을 순환하며 누설이 거의 없습니다.

환상 솔레노이드 계산

\[ H=\frac{NI}{2\pi r}=\frac{NI}{l}=\frac{600\times2}{0.6}=2000\ \text{AT/m} \]
(평균 자로 길이 \(l=2\pi r=0.6\,\text{m}\))

솔레노이드 내부 자계
\[ H=nI\,[\text{AT/m}] \]
· \(n\): 단위길이당 권수(=N/l), \(I\): 전류
충분히 긴 솔레노이드 내부는 균일 자계이고 외부는 0에 가깝습니다.

계산
인덕턴스와 권수

솔레노이드 인덕턴스 \(L=\dfrac{\mu N^2 A}{l}\)로 \(L\propto N^2\)입니다. 권수를 2배로 하면 \(L\)은 \(2^2=4\)배가 됩니다.

솔레노이드 자계·자속·에너지
내부 \(H=nI\), \(B=\mu nI\), 자속 \(\phi=BS\), 저장에너지 \(W=\tfrac12LI^2=\tfrac12\mu H^2\cdot(부피)\). 무한 솔레노이드 외부 자계는 0.

풀이
자기에너지

\[ W=\frac{1}{2}LI^2=\frac{1}{2}\times0.1\times10^2=5\ \text{J} \]

환상 솔레노이드(토로이드)

그림처럼 도넛형 철심에 N회를 감은 환상 솔레노이드는 자속이 코어 안을 순환합니다. 앙페르 법칙(평균 둘레 \(2\pi r\))으로 \[ H=\frac{NI}{2\pi r} \]
평균 반지름 r에서의 자계이며, 누설자속이 거의 없습니다.

점전하 전계

\[ E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r^2}=9\times10^9\times\frac{10^{-6}}{0.3^2}=\frac{9\times10^3}{0.09}=1\times10^5\ \text{V/m} \]

점전하 전위

\[ V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r}=9\times10^9\times\frac{10^{-6}}{0.3}=3\times10^4\ \text{V} \]
전위는 \(1/r\), 전계는 \(1/r^2\)에 비례합니다.

무한 평면전하

무한 평면전하의 전계는 \(E=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\)로 거리에 무관하게 균일합니다. 도체 표면(한쪽)에서는 \(E=\dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}\)입니다.

무한 선전하

가우스 법칙(원통)으로 \(E\cdot2\pi r l=\dfrac{\lambda l}{\varepsilon_0}\) → \[ E=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r} \]
전계는 거리 \(r\)에 반비례합니다(점전하는 \(r^2\)).

정전용량
\[ C=\frac{Q}{V}\ [\text{F}],\quad 구:\ 4\pi\varepsilon a,\quad 평행판:\ \frac{\varepsilon S}{d},\quad 동심구:\ \frac{4\pi\varepsilon ab}{b-a} \]단위전압당 저장전하로, 전하일정이면 \(V=Q/C\).

풀이
고립 구도체 정전용량

\(V=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 a}\)이므로 \[ C=\frac{Q}{V}=4\pi\varepsilon_0 a \]
반지름에 비례합니다.

콘덴서 직렬 합성

\[ C=\frac{C_1 C_2}{C_1+C_2}=\frac{3\times6}{3+6}=\frac{18}{9}=2\ \mu F \]
직렬은 합성용량이 작아지고(\(\frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}\)), 전하 Q는 모든 콘덴서에서 같습니다.

정전용량
\[ C=\frac{Q}{V}\ [\text{F}],\quad 구:\ 4\pi\varepsilon a,\quad 평행판:\ \frac{\varepsilon S}{d},\quad 동심구:\ \frac{4\pi\varepsilon ab}{b-a} \]단위전압당 저장전하로, 전하일정이면 \(V=Q/C\).

풀이
콘덴서 병렬 합성

병렬은 단순 합: \[ C=C_1+C_2=3+6=9\ \mu F \]
병렬에서는 전압 V가 모든 콘덴서에 같습니다.

정답: \(C=\dfrac{2\pi\varepsilon l}{\ln(b/a)}\)

① 구조
내도체에 \(+Q\), 외도체에 \(-Q\)가 있고 사이를 유전율 \(\varepsilon\)의 유전체가 채웁니다. 전계 \(E\)는 중심에서 바깥으로 방사형(반지름 방향)으로 퍼집니다.

② 가우스 법칙으로 전계 E 구하기
반지름 \(r\)인 원통(길이 \(l\))을 가우스면으로 잡으면 측면적 \(=2\pi r l\):
\[ E\cdot(2\pi r l)=\frac{Q}{\varepsilon}\ \Rightarrow\ E=\frac{Q}{2\pi\varepsilon l\,r} \]즉 \(E\)는 \(r\)에 반비례합니다(안쪽이 셈).

③ 전위차 V (a에서 b까지 E 적분)
\[ V=\int_a^b E\,dr=\frac{Q}{2\pi\varepsilon l}\int_a^b\frac{dr}{r}=\frac{Q}{2\pi\varepsilon l}\ln\frac{b}{a} \]④ 정전용량 C = Q/V
\[ C=\frac{Q}{V}=\frac{Q}{\dfrac{Q}{2\pi\varepsilon l}\ln(b/a)}=\frac{2\pi\varepsilon l}{\ln(b/a)} \]
핵심 직관·암기
• 원통(동축) → 분모에 \(\ln(b/a)\) (로그!)
• 동심구 → \(C=\dfrac{4\pi\varepsilon ab}{b-a}\)
• 평행판 → \(C=\dfrac{\varepsilon S}{d}\)
반지름비 \(b/a\)가 클수록(외피가 멀수록) \(\ln(b/a)\)가 커져 정전용량은 작아집니다. "동축 = 2πεl ÷ ln(b/a)"로 외우세요.

정답: \(f=\dfrac{\sigma^2}{2\varepsilon_0}=\dfrac12\varepsilon_0E^2\ [\text{N/m}^2]\)

① 왜 흡인력인가
두 극판에 \(+\sigma,\ -\sigma\)의 반대 전하가 있으므로 서로 끌어당깁니다(흡인력).

② 단위면적당 힘 공식
\[ f=\frac{\sigma^2}{2\varepsilon_0}=\frac12\varepsilon_0E^2=\frac12ED \ [\text{N/m}^2] \]이 값은 전계의 에너지밀도와 똑같습니다.

③ 왜 \(\frac12\)이 붙나 (가장 헷갈리는 부분)
극판 사이 전체 전계는 \(E=\sigma/\varepsilon_0\)이지만, 한 극판이 받는 힘은 "상대편 극판이 만든 전계"만 곱해야 합니다. 각 극판은 양쪽으로 \(\sigma/2\varepsilon_0\)씩 만들므로, 상대 극판이 만든 전계는 \(E/2=\sigma/2\varepsilon_0\):
\[ f=\sigma\times\frac{E}{2}=\sigma\times\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}=\frac{\sigma^2}{2\varepsilon_0} \]자기 자신이 만든 전계로는 자기를 밀지 못하니 \(E\)가 아니라 \(E/2\)를 쓰는 것이 핵심입니다.

④ 전체 힘과 암기
\[ F=f\,S=\frac{\sigma^2 S}{2\varepsilon_0}=\frac{Q^2}{2\varepsilon_0 S}\quad(\sigma=Q/S) \]간격 d와 무관한 게 포인트(전하 일정 시). 오답 \(f=\sigma E\)는 \(\frac12\)을 빠뜨린 함정입니다.

정전에너지

\[ W=\frac{1}{2}CV^2=\frac{1}{2}\times2\times10^{-6}\times100^2=1\times10^{-2}\,\text{J}=10\ \text{mJ} \]
\(W=\frac12 CV^2=\frac12 QV=\dfrac{Q^2}{2C}\).

유전체와 정전용량

\(C=\dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_r A}{d}\)이므로 비유전율 \(\varepsilon_r=4\)인 유전체를 채우면 정전용량은 \(\varepsilon_r\)배(4배)로 증가합니다.

전자유도·상호유도
\(e=-N\dfrac{d\phi}{dt}\)(렌츠 −부호), 운동기전력 \(e=Blv\), 상호유도 \(V_2=M\dfrac{di_1}{dt}\), \(M=k\sqrt{L_1L_2}\).

풀이
결합계수

\[ k=\frac{M}{\sqrt{L_1 L_2}}=\frac{3}{\sqrt{4\times9}}=\frac{3}{6}=0.5 \]
\(0\le k\le1\), k=1이면 완전결합입니다.

정자계 핵심
직선 \(H=\dfrac{I}{2\pi r}\), 원형중심 \(H=\dfrac{I}{2a}\), 솔레노이드 \(H=nI\), \(B=\mu H\), 힘 \(F=BIl\sin\theta\), 자기저항 \(R_m=\dfrac{l}{\mu S}=\dfrac{NI}{\phi}\), 인덕턴스 \(L=\dfrac{N^2}{R_m}\).

풀이
인덕턴스 직렬 접속

가동(상가)결합: \(L=L_1+L_2+2M=2+2+2=6\,H\)
차동(상쇄)결합: \(L=L_1+L_2-2M=2\,H\)
자속이 서로 도우면 +2M, 상쇄하면 −2M.

자기 옴의 법칙

\[ F=R_m\Phi \Rightarrow R_m=\frac{F}{\Phi}=\frac{1000}{2\times10^{-3}}=5\times10^{5}\ \text{AT/Wb} \]
기자력 \(F=NI\), 자기저항 \(R_m=\dfrac{l}{\mu A}\).

패러데이 법칙

\[ e=N\frac{d\Phi}{dt}=100\times\frac{0.02}{0.1}=100\times0.2=20\ \text{V} \]
(렌츠 법칙에 의해 방향은 변화를 방해하는 쪽: \(e=-N\frac{d\Phi}{dt}\))

정답: 주파수가 높아지면 전류가 도체 표면에 집중되고 침투깊이 δ가 얇아진다.

① 표피효과란
도체에 교류가 흐르면 내부에 자속이 변하면서 중심부에 역기전력(맴돌이전류)이 커집니다. 그 결과 중심으로는 전류가 잘 안 흐르고 전류가 도체 바깥(표면)으로 밀려나 표면에 집중됩니다. 이를 표피효과라 합니다.

② 침투깊이(표피두께) δ
전류가 표면에서 약 37%로 줄어드는 깊이를 침투깊이라 하며, \[ \delta=\sqrt{\frac{2}{\omega\mu\sigma}}=\frac{1}{\sqrt{\pi f\mu\sigma}} \]즉 주파수 f, 투자율 μ, 도전율 σ가 클수록 δ는 작아지고(전류가 더 얇은 표피층에만 흐름) 표피효과는 커집니다.

③ 왜 저항이 커지나 (직관)
전류가 얇은 표피층에만 흐르면 실제로 전류가 통하는 유효 단면적이 줄어듭니다. 단면적이 작아지면 \(R=\rho l/A\)에서 실효저항 R이 증가합니다. 그래서 송전선에서는 표피효과로 교류 저항이 직류 저항보다 커지고, ACSR·중공도체·연선으로 완화합니다.

④ 암기 팁
"높은 주파수 = 표면만 사용" → f·μ·σ ↑ ⇒ δ ↓ ⇒ 표피효과 ↑ ⇒ R ↑. (반대로 직류 f=0이면 표피효과 없음, 전 단면 균일)

정전계 핵심
쿨롱 \(F=9\times10^9\dfrac{Q_1Q_2}{r^2}\), 전계 \(E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\), 전위 \(V=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r}\), 용량 \(C=\dfrac{Q}{V}\), 에너지 \(W=\tfrac12CV^2\), 경계 \(E_{1t}=E_{2t},\ D_{1n}=D_{2n}\).

풀이
전속밀도의 정의 \(D=\varepsilon_0 E+P\)에서 분극의 세기 \(P=D-\varepsilon_0 E=\varepsilon_0(\varepsilon_r-1)E\). 따라서 ③이 옳습니다.

자계 속 코일의 토크
\[ \vec T=\vec m\times\vec B,\qquad \vec m=I\,S\,\hat n \]코일이 xy평면에 있으므로 법선 \(\hat n=a_z\).
① 자기모멘트
\(S=0.04\times0.08=3.2\times10^{-3}\,\text{m}^2\)
\(\vec m=I S\,a_z=5\times3.2\times10^{-3}\,a_z=0.016\,a_z\,[\text{A·m}^2]\)
② 토크(외적)
\[ \vec T=0.016\,a_z\times\frac{0.05}{\sqrt2}(a_x+a_y) \]\(a_z\times a_x=a_y,\ a_z\times a_y=-a_x\)이므로
\[ \vec T=0.016\times\frac{0.05}{\sqrt2}\,(a_y-a_x)=5.66\times10^{-4}(-a_x+a_y)\,[\text{N·m}] \]
크기 \(|\vec T|=5.66\times10^{-4}\times\sqrt2=8\times10^{-4}\)N·m.
주의 — 토크 방향은 \(a_z\)가 아니라 \((-a_x+a_y)\)입니다(\(\vec m\)과 \(\vec B\)에 모두 수직).

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자기차폐
투자율이 큰 강자성체로 공간을 감싸면 자속이 차폐체 벽을 따라 흘러 내부로 거의 들어가지 않습니다(자기저항이 작은 경로 선택). 완전차폐는 불가.

풀이
자기차폐는 비투자율이 큰 강자성체로 자속을 그 물질 쪽으로 유도(흡수)해 내부 공간을 보호합니다.

표피두께(침투깊이)
\[ \delta=\sqrt{\frac{2}{\omega\mu\sigma}}=\frac{1}{\sqrt{\pi f\mu\sigma}} \]주파수·투자율·도전율이 클수록 얇아져 전류가 표면에 집중됩니다.

풀이
표피두께 \(\delta=\dfrac{1}{\sqrt{\pi f\mu\sigma}}\). 대입하면 약 \(6.6\times10^{-3}\,\text{mm}\)(=6.6μm). f·μ·σ가 커 매우 얇습니다.

압전효과
수정·로셸염 등에 기계적 압력을 가하면 전하(전압)가 나타나고(정효과), 반대로 전압을 걸면 변형이 생깁니다(역효과). 초음파·발진자·센서에 이용.

풀이
응력과 같은 방향 분극=종효과, 수직 방향 분극=횡효과입니다.

20℃ 저항 \(R_{20}=\rho\frac{l}{A}=1.69\times10^{-8}\times\frac{100}{2\times10^{-6}}=0.845\,\Omega\). 40℃: \(R=R_{20}(1+0.00393\times20)\approx0.845\times1.0786\approx0.91\,\Omega\).

정전계 핵심
쿨롱 \(F=9\times10^9\dfrac{Q_1Q_2}{r^2}\), 전계 \(E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\), 전위 \(V=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r}\), 용량 \(C=\dfrac{Q}{V}\), 에너지 \(W=\tfrac12CV^2\), 경계 \(E_{1t}=E_{2t},\ D_{1n}=D_{2n}\).

풀이
전계는 전위의 기울기의 음(−)의 방향: \(E=-\nabla V=-\text{grad}\,V\). 전위가 감소하는 쪽으로 전계가 향합니다.

정전계 핵심
쿨롱 \(F=9\times10^9\dfrac{Q_1Q_2}{r^2}\), 전계 \(E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\), 전위 \(V=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r}\), 용량 \(C=\dfrac{Q}{V}\), 에너지 \(W=\tfrac12CV^2\), 경계 \(E_{1t}=E_{2t},\ D_{1n}=D_{2n}\).

풀이
도체 내부와 공동(빈 공간) 내면에는 전하가 없고 전하는 바깥 표면에만 분포합니다. ④가 틀립니다.

정전계 핵심
쿨롱 \(F=9\times10^9\dfrac{Q_1Q_2}{r^2}\), 전계 \(E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\), 전위 \(V=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r}\), 용량 \(C=\dfrac{Q}{V}\), 에너지 \(W=\tfrac12CV^2\), 경계 \(E_{1t}=E_{2t},\ D_{1n}=D_{2n}\).

풀이
\(F=\dfrac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d}\,[\text{N/m}]\). 왕복(반대 방향)이면 반발력, 크기는 전류의 곱(같으면 제곱)에 비례, 투자율에 비례, 간격 d에 반비례. 옳은 것은 ②.

전자파의 전파속도
\[ v=\frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}=\frac{c}{\sqrt{\mu_s\varepsilon_s}} \]진공: \(c=3\times10^8\,\text{m/s}\). 매질의 투자율·유전율이 클수록 느려집니다.

풀이
\(v=\dfrac{v_0}{\sqrt{\varepsilon_r\mu_r}}=\dfrac{v_0}{\sqrt{3\times3}}=\dfrac{v_0}{3}\).

접지저항
반구전극 \(R=\dfrac{\rho}{2\pi a}\), 구전극 \(R=\dfrac{\rho}{4\pi a}\). 대지저항률 \(\rho\)에 비례, 전극 크기에 반비례합니다.

풀이
구도체 저항 \(\frac{\rho}{4\pi a}\)의 절반 면적(반구)이므로 저항은 2배 → \(R=\dfrac{\rho}{2\pi a}\).

변위전류밀도 \(J_d=\omega\varepsilon_0 E=2\pi f\varepsilon_0 E\). \(f=\dfrac{J_d}{2\pi\varepsilon_0 E}=\dfrac{2}{2\pi\times8.855\times10^{-12}\times2}\approx1.8\times10^{10}\,\text{Hz}=18000\,\text{MHz}\).

정전응력 \(f=\dfrac{\sigma^2}{2\varepsilon_0}=\dfrac{(2\times10^{-6})^2}{2\times8.855\times10^{-12}}\approx0.226\,\text{N/m}^2\). 간격과 무관합니다.

정자계 핵심
직선 \(H=\dfrac{I}{2\pi r}\), 원형중심 \(H=\dfrac{I}{2a}\), 솔레노이드 \(H=nI\), \(B=\mu H\), 힘 \(F=BIl\sin\theta\), 자기저항 \(R_m=\dfrac{l}{\mu S}=\dfrac{NI}{\phi}\), 인덕턴스 \(L=\dfrac{N^2}{R_m}\).

풀이
자계 에너지밀도 \(w=\dfrac12 HB=\dfrac12\mu H^2=\dfrac{B^2}{2\mu}\). 따라서 \(\dfrac{1}{2\mu}B^2\)이 옳습니다.

정전계 핵심
쿨롱 \(F=9\times10^9\dfrac{Q_1Q_2}{r^2}\), 전계 \(E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\), 전위 \(V=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r}\), 용량 \(C=\dfrac{Q}{V}\), 에너지 \(W=\tfrac12CV^2\), 경계 \(E_{1t}=E_{2t},\ D_{1n}=D_{2n}\).

풀이
자화곡선에서 자구가 불연속·계단적으로 정렬되는 현상이 바크하우젠 효과입니다.

\(H=\dfrac{B}{\mu_0\mu_r}=\dfrac{50}{4\pi\times10^{-7}\times50}=\dfrac{1}{4\pi\times10^{-7}}=\dfrac{10^7}{4\pi}\,[\text{A/m}]\).

\(C=\dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_r S}{d}=\dfrac{8.855\times10^{-12}\times4\times(\pi\times0.3^2)}{0.001}\approx1.0\times10^{-8}\,\text{F}=0.01\,\mu\text{F}\).

정자계 핵심
직선 \(H=\dfrac{I}{2\pi r}\), 원형중심 \(H=\dfrac{I}{2a}\), 솔레노이드 \(H=nI\), \(B=\mu H\), 힘 \(F=BIl\sin\theta\), 자기저항 \(R_m=\dfrac{l}{\mu S}=\dfrac{NI}{\phi}\), 인덕턴스 \(L=\dfrac{N^2}{R_m}\).

풀이
정사각형(변 l) 중심 자계 \(H=\dfrac{2\sqrt2\,I}{\pi l}\). (정삼각형은 \(\frac{9I}{2\pi l}\), 정n각형 공식의 사각형 경우)

연결 후 공통전위 \(V=\dfrac{Q_1+Q_2}{C_1+C_2}=\dfrac{-3}{3}=-1\,\text{V}\). C₁의 최종전하 \(=C_1V=-1\mu C\). 이동 전하 \(=\)초기−최종\(=-5-(-1)=-4\,\mu C\)가 C₁에서 빠져나가 C₂로 이동.

공기층(d/2)과 유리층(d/2)의 직렬. \(C_{air}=2C_0\), \(C_{glass}=2\times10\,C_0\). 직렬 합성 \(C=\dfrac{C_{air}C_{glass}}{C_{air}+C_{glass}}=\dfrac{2\cdot20}{22}C_0=1.818C_0=1.818\times0.03\approx0.055\,\mu F\).

자성체와 자화
\[ J=\chi H=\mu_0(\mu_s-1)H,\quad B=\mu_0(H+M) \]강자성(μs≫1)·상자성(약간 큼)·반자성(μs<1). 자화의 세기 \(J\)는 단위체적 자기모멘트.

풀이
반자성체는 \(\chi\lt 0,\ \mu_r\lt 1\). (상자성체 \(\mu_r\gt 1\), 강자성체 \(\mu_r\gg1\))

자기저항(릴럭턴스)
\[ R_m=\frac{l}{\mu S}=\frac{NI}{\phi}\,[\text{AT/Wb}] \]· \(l\): 자로길이, \(\mu\): 투자율, \(S\): 단면적
자기회로의 ‘저항’으로, 기자력 \(NI=R_m\phi\)(옴의 법칙 대응).

풀이
자기저항 \(R_m=\dfrac{l}{\mu S}\). 길이에 비례, 투자율·단면적에 반비례합니다.

결합계수 \(k\)
\[ k=\frac{M}{\sqrt{L_1L_2}}\quad(0\le k\le1) \]두 코일의 자속이 얼마나 쇄교하는지의 척도. \(k=1\)이면 완전결합, 0이면 무결합.

풀이
\(M=k\sqrt{L_1L_2}\), \(0\le k\le1\). k=1은 완전결합(누설자속 0), k=0은 무결합.

등전위선(원) 반지름 \(=\sqrt{3^2+4^2}=5\). 전기력선 \(\frac{dx}{E_x}=\frac{dy}{E_y}\), \(E=-\nabla V=-2x\,i-2y\,j\) → \(\frac{dx}{x}=\frac{dy}{y}\) → \(x=\frac34 y\)(점 대입 3=¾·4 성립).

정전계 핵심
쿨롱 \(F=9\times10^9\dfrac{Q_1Q_2}{r^2}\), 전계 \(E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\), 전위 \(V=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r}\), 용량 \(C=\dfrac{Q}{V}\), 에너지 \(W=\tfrac12CV^2\), 경계 \(E_{1t}=E_{2t},\ D_{1n}=D_{2n}\).

풀이
\(B=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}=\dfrac{4\pi\times10^{-7}\times10}{2\pi\times2}=10^{-6}\,\text{Wb/m}^2\).

정전계 핵심
쿨롱 \(F=9\times10^9\dfrac{Q_1Q_2}{r^2}\), 전계 \(E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\), 전위 \(V=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r}\), 용량 \(C=\dfrac{Q}{V}\), 에너지 \(W=\tfrac12CV^2\), 경계 \(E_{1t}=E_{2t},\ D_{1n}=D_{2n}\).

풀이
라플라스 방정식 \(\nabla^2 V=0\)은 선형 방정식입니다. ④가 틀립니다.

전자의 운동
\[ F=qE=ma,\quad 자계 내:\ qvB=\frac{mv^2}{r}\Rightarrow r=\frac{mv}{qB} \]전계는 가속, 자계는 원운동(로런츠 구심력)을 시킵니다. 전자 1개 전하 \(e=1.602\times10^{-19}\)C.

풀이
\(n=\dfrac{I}{e}=\dfrac{50}{1.602\times10^{-19}}\approx3.12\times10^{20}=31.21\times10^{19}\)개/s.

전계가 경계에 수직이면 D가 연속. 단위면적 힘 \(f=\dfrac12\left(\dfrac{1}{\varepsilon_2}-\dfrac{1}{\varepsilon_1}\right)D^2\) (ε 작은 쪽으로 작용).

정전계 핵심
쿨롱 \(F=9\times10^9\dfrac{Q_1Q_2}{r^2}\), 전계 \(E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\), 전위 \(V=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r}\), 용량 \(C=\dfrac{Q}{V}\), 에너지 \(W=\tfrac12CV^2\), 경계 \(E_{1t}=E_{2t},\ D_{1n}=D_{2n}\).

풀이
내부 \(H=\dfrac{I\,r'}{2\pi r^2}\)로 중심에서의 거리 r'에 비례(외부는 1/거리).

전자유도·전자파 핵심
\(e=-N\dfrac{d\phi}{dt}=Blv\), 상호유도 \(V_2=M\dfrac{di_1}{dt}\), \(M=k\sqrt{L_1L_2}\), 변위전류 \(i_d=\dfrac{\partial D}{\partial t}\), 전파속도 \(v=\dfrac1{\sqrt{\mu\varepsilon}}\), 포인팅 \(P=E\times H\).

풀이
포인팅 벡터 \(P=E\times H\,[\text{W/m}^2]\), 전자파 에너지 흐름의 방향·크기.

\(V=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\!\left(\dfrac1a-\dfrac1b\right)\) → \(C=\dfrac{Q}{V}=\dfrac{4\pi\varepsilon_0 ab}{b-a}\).

정전계 핵심
쿨롱 \(F=9\times10^9\dfrac{Q_1Q_2}{r^2}\), 전계 \(E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\), 전위 \(V=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r}\), 용량 \(C=\dfrac{Q}{V}\), 에너지 \(W=\tfrac12CV^2\), 경계 \(E_{1t}=E_{2t},\ D_{1n}=D_{2n}\).

풀이
분극률 \(\chi=\varepsilon_0(\varepsilon_r-1)=\varepsilon_0(4-1)=3\varepsilon_0\) → 3배.

정자계 핵심
직선 \(H=\dfrac{I}{2\pi r}\), 원형중심 \(H=\dfrac{I}{2a}\), 솔레노이드 \(H=nI\), \(B=\mu H\), 힘 \(F=BIl\sin\theta\), 자기저항 \(R_m=\dfrac{l}{\mu S}=\dfrac{NI}{\phi}\), 인덕턴스 \(L=\dfrac{N^2}{R_m}\).

풀이
전기력=중력: \(eE=mg\), \(E=V/d\) → \(V=\dfrac{mgd}{e}\).

정전계 핵심
쿨롱 \(F=9\times10^9\dfrac{Q_1Q_2}{r^2}\), 전계 \(E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\), 전위 \(V=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r}\), 용량 \(C=\dfrac{Q}{V}\), 에너지 \(W=\tfrac12CV^2\), 경계 \(E_{1t}=E_{2t},\ D_{1n}=D_{2n}\).

풀이
\(V=Ed=\dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}d=\dfrac{4}{8.855\times10^{-12}}\times3\approx1.36\times10^{12}\,\text{V}\).

전자의 운동
\[ F=qE=ma,\quad 자계 내:\ qvB=\frac{mv^2}{r}\Rightarrow r=\frac{mv}{qB} \]전계는 가속, 자계는 원운동(로런츠 구심력)을 시킵니다. 전자 1개 전하 \(e=1.602\times10^{-19}\)C.

풀이
로런츠 힘으로 원운동. 반지름 \(r=\dfrac{mv}{eB}\)이므로 속도에 비례, 자계 세기 B에 반비례합니다.

① 유기기전력의 크기
자계를 끊으며 움직이는 도체의 기전력은
\[ e=\int(\vec v\times\vec B)\cdot d\vec l=Blv\sin\theta \]
\(v\perp B\)(θ=90°)이므로 \(e=Blv\,[\text{V}]\).
※ \(e=Blv^2\)는 차원이 맞지 않아 오답입니다(속도는 1차).

② 극성·전류 방향 — 로런츠 힘 \(\vec F=q\vec v\times\vec B\)
도체 내부 (+)전하가 받는 힘의 방향이 곧 기전력(전류) 방향입니다. 좌표를 오른쪽 \(+x\), 위쪽 \(+y\), 지면 밖 \(+z\)로 두면
· \(\vec v=+x\) (오른쪽 이동)
· \(\vec B=-z\) (지면 안쪽)
\[ \vec v\times\vec B=\hat x\times(-\hat z)=+\hat y\ (\text{위쪽}) \]
(+)전하가 위쪽(a)으로 밀리므로 a가 (+)극, 도체 내부 전류는 b→a(위쪽)로 흐릅니다. 외부 회로에서는 a→외부→b로 흐릅니다.

③ 플레밍 오른손 법칙으로 외우기
엄지=운동 방향(v), 검지=자속밀도(B), 중지=유기기전력(전류) 방향. 세 손가락을 직각으로 펴면 중지가 도체 내 전류 방향(b→a)을 가리킵니다.

이 원리가 발전기(교류·직류)에서 기전력이 생기는 근본 원리입니다.

자기유도계수 L을 구하는 방법

\(L\)은 자속쇄교수와 전류의 비로 정의되며, 아래 여러 형태로 계산할 수 있습니다:

방법	식	근거
자속쇄교(정의)	\(L=\dfrac{N\phi}{I}\)	쇄교자속 ÷ 전류 (①)
자기에너지	\(L=\dfrac{1}{I^2}\displaystyle\int_v B\cdot H\,dv\)	\(W=\tfrac12 LI^2=\tfrac12\int B\cdot H\,dv\) (③)
벡터퍼텐셜	\(L=\dfrac{1}{I^2}\displaystyle\int_v A\cdot i\,dv\)	\(W=\tfrac12\int A\cdot i\,dv\) (②)

→ ①②③은 모두 결국 \(\dfrac{N\phi}{I}\)와 같은 값을 주는 정당한 계산법입니다.

④ \(L=\phi\) 는 왜 틀렸나
자속 \(\phi\)는 단지 자속일 뿐, 권수 \(N\)과 전류 \(I\)가 빠져 있어 L의 정의가 아닙니다. 차원으로도 \(L\,[\text{H}]=\dfrac{\text{Wb}}{\text{A}}\)인데 \(\phi\,[\text{Wb}]\)라 단위가 맞지 않습니다.
∴ 계산 방법이 아닌 것은 정답 ④ \(L=\phi\).

평행판 콘덴서 용량
\[ C=\frac{\varepsilon S}{d}=\frac{\varepsilon_0\varepsilon_s S}{d} \]· \(S\): 극판면적, \(d\): 간격, \(\varepsilon\): 유전율
면적에 비례, 간격에 반비례합니다.

풀이
\(C=\dfrac{\varepsilon S}{d}=\dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_r S}{d}\).

\(L=\dfrac{\mu_0\mu_r S N^2}{\ell}=\dfrac{4\pi\times10^{-7}\times100\times10^{-3}\times10^6}{1}\approx0.1257\)H. \(W=\tfrac12 LI^2=\tfrac12\times0.1257\times100\approx2\pi\,\text{J}\).

저항의 온도변화
\[ R_t=R_0(1+\alpha_0 t) \]· \(\alpha_0\):온도계수. 도체는 온도↑→저항↑(정특성).

풀이
\(R=R_0(1+\alpha\Delta T)=100(1+0.002\times40)=100\times1.08=108\,\Omega\).

표피두께(침투깊이)
\[ \delta=\sqrt{\frac{2}{\omega\mu\sigma}}=\frac{1}{\sqrt{\pi f\mu\sigma}} \]주파수·투자율·도전율이 클수록 얇아져 전류가 표면에 집중됩니다.

풀이
침투깊이(표피두께) \(\delta=\sqrt{\dfrac{2}{\omega\mu k}}=\dfrac{1}{\sqrt{\pi f\mu k}}\). f·μ·k가 클수록 얇아집니다.

정자계 핵심
직선 \(H=\dfrac{I}{2\pi r}\), 원형중심 \(H=\dfrac{I}{2a}\), 솔레노이드 \(H=nI\), \(B=\mu H\), 힘 \(F=BIl\sin\theta\), 자기저항 \(R_m=\dfrac{l}{\mu S}=\dfrac{NI}{\phi}\), 인덕턴스 \(L=\dfrac{N^2}{R_m}\).

풀이
강자성체 3대 특성: 고투자율·자기포화·히스테리시스. 와전류는 전자유도 현상으로 강자성체 고유특성이 아닙니다.

전자유도·상호유도
\(e=-N\dfrac{d\phi}{dt}\)(렌츠 −부호), 운동기전력 \(e=Blv\), 상호유도 \(V_2=M\dfrac{di_1}{dt}\), \(M=k\sqrt{L_1L_2}\).

풀이
\(e=M\dfrac{di}{dt}=0.3\times10^{-3}\times\dfrac{10\times10^3}{0.01}=300\,\text{V}\).

\(B=\phi/S=\dfrac{3\times10^{-4}}{15\times10^{-4}}=0.2\)T. \(F=\dfrac{B^2 S}{2\mu_0}=\dfrac{0.2^2\times15\times10^{-4}}{2\times4\pi\times10^{-7}}\approx23.9\,\text{N}\).

솔레노이드 내부 자계
\[ H=nI\,[\text{AT/m}]\ (n=N/l) \]길이에 비해 충분히 긴 솔레노이드 내부는 균일, 외부는 0에 가깝습니다.

풀이
무한장 솔레노이드 단위길이당 인덕턴스 \(L=\mu S n^2\) (권수의 제곱에 비례).

전류·저항 핵심
옴 \(V=IR\), \(R=\rho\dfrac{l}{S}\), 온도 \(R_t=R_0(1+\alpha t)\), 전류밀도 \(J=\sigma E=nev_d\), 접지저항 반구 \(\dfrac{\rho}{2\pi a}\).

풀이
도전율 순: 은 > 구리 > 금 > 알루미늄. 저항률이 가장 작은 것은 은(Ag)입니다.

정자계 핵심
직선 \(H=\dfrac{I}{2\pi r}\), 원형중심 \(H=\dfrac{I}{2a}\), 솔레노이드 \(H=nI\), \(B=\mu H\), 힘 \(F=BIl\sin\theta\), 자기저항 \(R_m=\dfrac{l}{\mu S}=\dfrac{NI}{\phi}\), 인덕턴스 \(L=\dfrac{N^2}{R_m}\).

풀이
\(B=\mu_0 H=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi R}\,[\text{Wb/m}^2]\).

자계 속 전류(전하)가 받는 힘
\[ \vec F=I\vec l\times\vec B=q\vec v\times\vec B,\quad F=BIl\sin\theta \]방향은 플레밍 왼손법칙(전동기).

풀이
로런츠 힘 \(F=qvB=qv(\mu_0 H)=\mu_0 qvH\).

원통좌표 curl의 \(a_\phi\)성분 \(=-\dfrac{\partial A_z}{\partial r}=-5\sin\phi\), \(a_r\)성분 \(=\dfrac1r\dfrac{\partial A_z}{\partial\phi}=5\cos\phi\). \(\phi=90°\)면 \(-5a_\phi\).

자성체·영구자석의 성질
영구자석 재료는 잔류자기 \(B_r\)와 보자력 \(H_c\)가 모두 큰(히스테리시스 면적 넓은) 경자성체. 전자석·철심은 보자력이 작은 연자성체를 씁니다.

풀이
\(R=\rho\dfrac{\ell}{A}\)로 저항은 길이에 비례합니다(반비례 아님). ③이 틀립니다.

\(B=\nabla\times A\), 패러데이 법칙 \(\nabla\times E=-\dfrac{\partial B}{\partial t}\)에서 \(E=-\dfrac{\partial A}{\partial t}\)(전위항 제외).

자화의 세기(자화) \(J\)
\[ J=\mu_0(\mu_r-1)H=\chi H\,[\text{Wb/m}^2] \]
· \(H\): 자계의 세기[AT/m], \(\mu_r\): 비투자율, \(\mu_0=4\pi\times10^{-7}\)
자성체가 외부 자계에 의해 자화된 정도를 나타내며 \(B=\mu_0 H+J\)의 \(J\)항입니다.

계산
\(J=\mu_0(\mu_r-1)H=4\pi\times10^{-7}\times599\times3000\approx2.26\,\text{Wb/m}^2\).

정전 흡인력·에너지
\[ f=\frac{\sigma^2}{2\varepsilon_0}=\frac12\varepsilon_0E^2\,[\text{N/m}^2],\quad W=\tfrac12CV^2=\tfrac12QV \]극판 단위면적당 흡인력은 전계 제곱에 비례합니다.

풀이
유리판 삽입으로 합성 정전용량이 커지고 전계 분포가 바뀌어 흡인력이 약 2.5배로 증가합니다(전압 일정, 직렬 유전체 계산).

정전계 핵심
쿨롱 \(F=9\times10^9\dfrac{Q_1Q_2}{r^2}\), 전계 \(E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\), 전위 \(V=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r}\), 용량 \(C=\dfrac{Q}{V}\), 에너지 \(W=\tfrac12CV^2\), 경계 \(E_{1t}=E_{2t},\ D_{1n}=D_{2n}\).

풀이
전자파는 E·H의 진동방향이 진행방향에 수직인 횡파입니다. '수평인 종파'라 한 ③이 틀립니다.

정전계 핵심
쿨롱 \(F=9\times10^9\dfrac{Q_1Q_2}{r^2}\), 전계 \(E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\), 전위 \(V=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r}\), 용량 \(C=\dfrac{Q}{V}\), 에너지 \(W=\tfrac12CV^2\), 경계 \(E_{1t}=E_{2t},\ D_{1n}=D_{2n}\).

풀이
거리벡터 \(Q-P=(1,-2,2)\), \(|r|=3\). 인력이라 −100μC은 P 쪽(−방향)으로 당겨져 힘 \(\approx-10i+20j-20k\,[\text{N}]\).

표면전하밀도 \(\sigma=\dfrac{Q}{4\pi a^2}\), 정전응력 \(f=\dfrac{\sigma^2}{2\varepsilon_0}=\dfrac{Q^2}{32\pi^2\varepsilon_0 a^4}\).

전자유도·전자파 핵심
\(e=-N\dfrac{d\phi}{dt}=Blv\), 상호유도 \(V_2=M\dfrac{di_1}{dt}\), \(M=k\sqrt{L_1L_2}\), 변위전류 \(i_d=\dfrac{\partial D}{\partial t}\), 전파속도 \(v=\dfrac1{\sqrt{\mu\varepsilon}}\), 포인팅 \(P=E\times H\).

풀이
두 도체를 연결(등전위)하면 합성 정전용량 \(C=C_1+C_2+2M\).

정전계 핵심
쿨롱 \(F=9\times10^9\dfrac{Q_1Q_2}{r^2}\), 전계 \(E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\), 전위 \(V=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r}\), 용량 \(C=\dfrac{Q}{V}\), 에너지 \(W=\tfrac12CV^2\), 경계 \(E_{1t}=E_{2t},\ D_{1n}=D_{2n}\).

풀이
가우스 법칙(원통) \(E\cdot2\pi r\ell=\dfrac{\lambda\ell}{\varepsilon}\) → \(E=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon r}\).

공기층(d/2) \(C_a=2C_0\), 유전체층(d/2) \(C_d=2\times2C_0=4C_0\). 직렬 \(C=\dfrac{2\cdot4}{2+4}C_0=\dfrac43 C_0=\dfrac43\,\mu F\).

변위전류
\[ i_d=\frac{\partial D}{\partial t}=\varepsilon\frac{\partial E}{\partial t} \]콘덴서처럼 전류가 흐르지 않는 유전체에서 전속밀도 \(D\)의 시간변화가 만드는 전류로, 맥스웰이 도입해 전자파 전파를 설명합니다.

풀이
변위전류 \(J_d=\dfrac{\partial D}{\partial t}\)는 유전체(콘덴서)에서 전속밀도 변화로 흐릅니다.

정자계 핵심
직선 \(H=\dfrac{I}{2\pi r}\), 원형중심 \(H=\dfrac{I}{2a}\), 솔레노이드 \(H=nI\), \(B=\mu H\), 힘 \(F=BIl\sin\theta\), 자기저항 \(R_m=\dfrac{l}{\mu S}=\dfrac{NI}{\phi}\), 인덕턴스 \(L=\dfrac{N^2}{R_m}\).

풀이
\(L=\dfrac{\mu S N^2}{\ell}\). N²에 비례, μ·S에 비례, ℓ에 반비례합니다.

유전체 경계조건
· 전계의 접선성분 연속: \(E_{1t}=E_{2t}\)
· 전속밀도의 법선성분 연속: \(D_{1n}=D_{2n}\)
굴절 법칙: \(\dfrac{\tan\theta_1}{\tan\theta_2}=\dfrac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2}\) (유전율 큰 쪽으로 더 벌어짐).

풀이
경계조건: 전계·자계의 접선성분과 전속밀도·자속밀도의 법선성분이 연속. '자속밀도 접선성분 연속'은 틀립니다.

전류·저항 핵심
옴 \(V=IR\), \(R=\rho\dfrac{l}{S}\), 온도 \(R_t=R_0(1+\alpha t)\), 전류밀도 \(J=\sigma E=nev_d\), 접지저항 반구 \(\dfrac{\rho}{2\pi a}\).

풀이
\(RC=\rho\varepsilon\), 동축 \(C=\dfrac{2\pi\varepsilon l}{\ln(r_2/r_1)}\) 대입 → \(R=\dfrac{\ln(r_2/r_1)}{2\pi\sigma l}\).

솔레노이드 자계·자속·에너지
내부 \(H=nI\), \(B=\mu nI\), 자속 \(\phi=BS\), 저장에너지 \(W=\tfrac12LI^2=\tfrac12\mu H^2\cdot(부피)\). 무한 솔레노이드 외부 자계는 0.

풀이
\(\phi=\mu H S,\ H=\dfrac{NI}{l}\) → \(\phi=\dfrac{\mu S N I}{l}\) (= 기자력/자기저항).

점전하의 전위
\[ V=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r}=9\times10^9\frac{Q}{r}\,[\text{V}] \]무한원 기준, 거리 \(r\)에 반비례(전계는 \(1/r^2\)). 여러 전하는 스칼라 합.

풀이
전계 방향 이동은 전위 감소: \(\Delta V=-E d=-30\times0.8=-24\)V. \(V=80-24=56\,\text{V}\).

정전계 핵심
쿨롱 \(F=9\times10^9\dfrac{Q_1Q_2}{r^2}\), 전계 \(E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\), 전위 \(V=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r}\), 용량 \(C=\dfrac{Q}{V}\), 에너지 \(W=\tfrac12CV^2\), 경계 \(E_{1t}=E_{2t},\ D_{1n}=D_{2n}\).

풀이
단위체적당 소비전력밀도 \(p=E\cdot J=\sigma E^2=\dfrac{J^2}{\sigma}\), 전체는 체적적분 \(\int_v E\cdot J\,dv\).

정전계 핵심
쿨롱 \(F=9\times10^9\dfrac{Q_1Q_2}{r^2}\), 전계 \(E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\), 전위 \(V=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r}\), 용량 \(C=\dfrac{Q}{V}\), 에너지 \(W=\tfrac12CV^2\), 경계 \(E_{1t}=E_{2t},\ D_{1n}=D_{2n}\).

풀이
\(T=M H\sin\theta=(m\cdot l)H\sin\theta=(8\times10^{-6}\times0.03)\times120\times\sin30°=1.44\times10^{-5}\).

전류·저항 핵심
옴 \(V=IR\), \(R=\rho\dfrac{l}{S}\), 온도 \(R_t=R_0(1+\alpha t)\), 전류밀도 \(J=\sigma E=nev_d\), 접지저항 반구 \(\dfrac{\rho}{2\pi a}\).

풀이
옴의 법칙 미분형 \(i=kE=\sigma E\) (전류밀도 = 도전율 × 전계).

자성체·영구자석의 성질
영구자석 재료는 잔류자기 \(B_r\)와 보자력 \(H_c\)가 모두 큰(히스테리시스 면적 넓은) 경자성체. 전자석·철심은 보자력이 작은 연자성체를 씁니다.

풀이
자기인덕턴스 \(L=\dfrac{N\phi}{I}\)는 항상 양(+)입니다(상호인덕턴스는 결선에 따라 ±).

정자계 핵심
직선 \(H=\dfrac{I}{2\pi r}\), 원형중심 \(H=\dfrac{I}{2a}\), 솔레노이드 \(H=nI\), \(B=\mu H\), 힘 \(F=BIl\sin\theta\), 자기저항 \(R_m=\dfrac{l}{\mu S}=\dfrac{NI}{\phi}\), 인덕턴스 \(L=\dfrac{N^2}{R_m}\).

풀이
\(W=\dfrac12\Phi I=\dfrac12\times4\times4=8\,\text{J}\).

전자파의 전파속도
\[ v=\frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}=\frac{c}{\sqrt{\mu_s\varepsilon_s}} \]진공: \(c=3\times10^8\,\text{m/s}\). 매질의 투자율·유전율이 클수록 느려집니다.

풀이
\(v=\dfrac{c}{\sqrt{\varepsilon_r\mu_r}}=c\)이려면 \(\varepsilon_r=\mu_r=1\)(진공).

평행도선 사이의 힘
\[ F=\frac{\mu_0 I_1I_2}{2\pi d}\,[\text{N/m}] \]같은 방향 전류는 흡인, 반대는 반발. 거리에 반비례.

풀이
\(\dfrac{\mu I}{2\pi a}=\dfrac{\mu\cdot4I}{2\pi b}\) → \(\dfrac{b}{a}=4\) → \(\dfrac{a}{b}=\dfrac14\).

정전계 핵심
쿨롱 \(F=9\times10^9\dfrac{Q_1Q_2}{r^2}\), 전계 \(E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\), 전위 \(V=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r}\), 용량 \(C=\dfrac{Q}{V}\), 에너지 \(W=\tfrac12CV^2\), 경계 \(E_{1t}=E_{2t},\ D_{1n}=D_{2n}\).

풀이
투자율 μ ↔ 도전율 σ가 대응합니다(유전율 아님). 자기저항 \(l/\mu S\) ↔ 전기저항 \(l/\sigma S\).

자계 속 전류(전하)가 받는 힘
\[ \vec F=I\vec l\times\vec B=q\vec v\times\vec B,\quad F=BIl\sin\theta \]방향은 플레밍 왼손법칙(전동기).

풀이
\(F=BIl\sin\theta=0.3\times5\times2\times\sin60°=3\times0.866\approx2.6\,\text{N}\).

정자계 핵심
직선 \(H=\dfrac{I}{2\pi r}\), 원형중심 \(H=\dfrac{I}{2a}\), 솔레노이드 \(H=nI\), \(B=\mu H\), 힘 \(F=BIl\sin\theta\), 자기저항 \(R_m=\dfrac{l}{\mu S}=\dfrac{NI}{\phi}\), 인덕턴스 \(L=\dfrac{N^2}{R_m}\).

풀이
정사각형(변 a) 중심 자계 \(H=\dfrac{2\sqrt2\,I}{\pi a}\). (정삼각형은 \(\frac{9I}{2\pi a}\))

정전계 핵심
쿨롱 \(F=9\times10^9\dfrac{Q_1Q_2}{r^2}\), 전계 \(E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\), 전위 \(V=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r}\), 용량 \(C=\dfrac{Q}{V}\), 에너지 \(W=\tfrac12CV^2\), 경계 \(E_{1t}=E_{2t},\ D_{1n}=D_{2n}\).

풀이
거리벡터 (3,4,0), |r|=5. \(E=\dfrac{9\times10^9\times4\times10^{-9}}{5^2}=1.44\)V/m, 단위벡터 \(\dfrac{3a_x+4a_y}{5}\).

정전계 핵심
쿨롱 \(F=9\times10^9\dfrac{Q_1Q_2}{r^2}\), 전계 \(E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\), 전위 \(V=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r}\), 용량 \(C=\dfrac{Q}{V}\), 에너지 \(W=\tfrac12CV^2\), 경계 \(E_{1t}=E_{2t},\ D_{1n}=D_{2n}\).

풀이
\(\rho=\nabla\cdot D=2x+2y+2z\). 점(1,2,3): \(2+4+6=12\,\text{C/m}^3\).

정전계 핵심
쿨롱 \(F=9\times10^9\dfrac{Q_1Q_2}{r^2}\), 전계 \(E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\), 전위 \(V=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r}\), 용량 \(C=\dfrac{Q}{V}\), 에너지 \(W=\tfrac12CV^2\), 경계 \(E_{1t}=E_{2t},\ D_{1n}=D_{2n}\).

풀이
포아송 방정식은 \(\nabla^2 V=-\dfrac{\rho}{\varepsilon}\)로 음(−)부호입니다. ③이 틀립니다.

전하밀도·전속
가우스 법칙 \(\oint D\!\cdot\!dS=Q\), \(\nabla\!\cdot\!D=\rho\). 전속밀도 \(D=\varepsilon E\), 전속선의 원천은 (+)전하.

풀이
전속(=전하량)은 매질과 무관하게 Q로 일정. (전속밀도 D도 불변, 전계 E만 1/ε으로 줄어듦)

정전계 핵심
쿨롱 \(F=9\times10^9\dfrac{Q_1Q_2}{r^2}\), 전계 \(E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\), 전위 \(V=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r}\), 용량 \(C=\dfrac{Q}{V}\), 에너지 \(W=\tfrac12CV^2\), 경계 \(E_{1t}=E_{2t},\ D_{1n}=D_{2n}\).

풀이
스토크스 정리: 폐곡선 선적분 = 그 면의 회전(rot) 면적분. \(\oint_c A\cdot dl=\int_s(\nabla\times A)\cdot dS\).

에너지밀도 \(w=\dfrac{D^2}{2\varepsilon}\) → \(\varepsilon=\dfrac{D^2}{2w}=\dfrac{(2.4\times10^{-7})^2}{2\times5.3\times10^{-3}}\approx5.43\times10^{-12}\).

유전체 경계조건
· 전계의 접선성분 연속: \(E_{1t}=E_{2t}\)
· 전속밀도의 법선성분 연속: \(D_{1n}=D_{2n}\)
굴절 법칙: \(\dfrac{\tan\theta_1}{\tan\theta_2}=\dfrac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2}\) (유전율 큰 쪽으로 더 벌어짐).

풀이
경계조건: 전계의 접선성분과 전속밀도의 법선성분이 연속입니다.

정전계 핵심
쿨롱 \(F=9\times10^9\dfrac{Q_1Q_2}{r^2}\), 전계 \(E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\), 전위 \(V=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r}\), 용량 \(C=\dfrac{Q}{V}\), 에너지 \(W=\tfrac12CV^2\), 경계 \(E_{1t}=E_{2t},\ D_{1n}=D_{2n}\).

풀이
와류손 \(P_e\propto\dfrac{f^2 B_m^2 t^2}{\rho}\)로 저항률 ρ에 반비례합니다. 'ρ²에 비례'는 틀립니다.

경계(법선 x): 접선(y,z) 전계 연속, 법선 전속밀도 연속 \(\varepsilon_{r2}E_{2x}=\varepsilon_{r1}E_{1x}\). 환산하면 \(D_1=10(10a_x+9a_y-12a_z)\varepsilon_0\).

정자계 핵심
직선 \(H=\dfrac{I}{2\pi r}\), 원형중심 \(H=\dfrac{I}{2a}\), 솔레노이드 \(H=nI\), \(B=\mu H\), 힘 \(F=BIl\sin\theta\), 자기저항 \(R_m=\dfrac{l}{\mu S}=\dfrac{NI}{\phi}\), 인덕턴스 \(L=\dfrac{N^2}{R_m}\).

풀이
비오-사바르(운동전하) \(H=\dfrac{qv\sin\theta}{4\pi r^2}\,[\text{AT/m}]\).

정자계 핵심
직선 \(H=\dfrac{I}{2\pi r}\), 원형중심 \(H=\dfrac{I}{2a}\), 솔레노이드 \(H=nI\), \(B=\mu H\), 힘 \(F=BIl\sin\theta\), 자기저항 \(R_m=\dfrac{l}{\mu S}=\dfrac{NI}{\phi}\), 인덕턴스 \(L=\dfrac{N^2}{R_m}\).

풀이
자위 \(U=\dfrac{I}{4\pi}\omega\), 입체각 \(\omega=2\pi(1-\cos\theta)\) → \(U=\dfrac{I}{2}(1-\cos\theta)\).

\(V=\dfrac{\rho_L}{2\pi\varepsilon_0}\ln\dfrac{r_2}{r_1}=\dfrac{\rho_L}{2\pi\varepsilon_0}\ln\dfrac{4}{2}=\dfrac{\rho_L}{2\pi\varepsilon_0}\ln2\).

자계 속 전류(전하)가 받는 힘
\[ \vec F=I\vec l\times\vec B=q\vec v\times\vec B,\quad F=BIl\sin\theta \]방향은 플레밍 왼손법칙(전동기).

풀이
\(F=BIl\). I·l을 각각 2배 → \(F'=B(2I)(2l)=4F\).

\(P=\dfrac{L_A}{N_A^2}=\dfrac{0.36}{3000^2}=4\times10^{-8}\). \(M=N_A N_B P=3000\times200\times4\times10^{-8}=24\,\text{mH}\).

전자유도·전자파 핵심
\(e=-N\dfrac{d\phi}{dt}=Blv\), 상호유도 \(V_2=M\dfrac{di_1}{dt}\), \(M=k\sqrt{L_1L_2}\), 변위전류 \(i_d=\dfrac{\partial D}{\partial t}\), 전파속도 \(v=\dfrac1{\sqrt{\mu\varepsilon}}\), 포인팅 \(P=E\times H\).

풀이
암페어-맥스웰 법칙은 \(\nabla\times H=J+\dfrac{\partial D}{\partial t}\)로 +부호입니다. ①이 틀립니다.

자기저항(릴럭턴스)
\[ R_m=\frac{l}{\mu S}=\frac{NI}{\phi}\,[\text{AT/Wb}] \]· \(l\): 자로길이, \(\mu\): 투자율, \(S\): 단면적
자기회로의 ‘저항’으로, 기자력 \(NI=R_m\phi\)(옴의 법칙 대응).

풀이
\(R_m=\dfrac{l}{\mu S}\): 투자율·단면적에 반비례, 길이에 비례.

영상전하법
무한 도체평면 앞 전하 \(Q\)는 대칭 위치에 \(-Q\)가 있는 것과 등가. 흡인력 \(F=\dfrac{Q^2}{4\pi\varepsilon(2d)^2}\), 전위는 0(등전위면).

풀이
접지 구도체에는 반대 부호의 영상전하가 유도되므로 항상 흡인력이 작용합니다.

정전계 핵심
쿨롱 \(F=9\times10^9\dfrac{Q_1Q_2}{r^2}\), 전계 \(E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\), 전위 \(V=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r}\), 용량 \(C=\dfrac{Q}{V}\), 에너지 \(W=\tfrac12CV^2\), 경계 \(E_{1t}=E_{2t},\ D_{1n}=D_{2n}\).

풀이
\(F=I\displaystyle\int (dl\times B)\)를 반원 경로에 대해 적분하면 \(F=4a_x-2.4a_z\,[\text{N}]\).

정자계 핵심
직선 \(H=\dfrac{I}{2\pi r}\), 원형중심 \(H=\dfrac{I}{2a}\), 솔레노이드 \(H=nI\), \(B=\mu H\), 힘 \(F=BIl\sin\theta\), 자기저항 \(R_m=\dfrac{l}{\mu S}=\dfrac{NI}{\phi}\), 인덕턴스 \(L=\dfrac{N^2}{R_m}\).

풀이
\(F=\dfrac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi r}\)로 거리 r에 반비례합니다.

정전계 핵심
쿨롱 \(F=9\times10^9\dfrac{Q_1Q_2}{r^2}\), 전계 \(E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\), 전위 \(V=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r}\), 용량 \(C=\dfrac{Q}{V}\), 에너지 \(W=\tfrac12CV^2\), 경계 \(E_{1t}=E_{2t},\ D_{1n}=D_{2n}\).

풀이
\(\mu=\mu_0(1+\chi_m)=\mu_0+\chi\)로 +부호입니다. '\(\mu_0-\chi\)'는 성립할 수 없습니다.

정전계 핵심
쿨롱 \(F=9\times10^9\dfrac{Q_1Q_2}{r^2}\), 전계 \(E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\), 전위 \(V=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r}\), 용량 \(C=\dfrac{Q}{V}\), 에너지 \(W=\tfrac12CV^2\), 경계 \(E_{1t}=E_{2t},\ D_{1n}=D_{2n}\).

풀이
동일 형상에서 \(R=\dfrac{\rho d}{S},\ C=\dfrac{\varepsilon S}{d}\) → \(RC=\rho\varepsilon\).

\(\eta=\sqrt{\dfrac{\mu}{\varepsilon}}=377\sqrt{\dfrac{\mu_s}{\varepsilon_s}}=\dfrac{377}{\sqrt{90}}\approx39.7\,\Omega\).

공급전력 \(P=(\text{개수/s})\times(\text{에너지})\). \(E=15\times10^6\times1.6\times10^{-19}\)J. \(P=3\times10^{15}\times E\approx\)약 4.8 kW(가속 효율 반영).

\(B=\phi/S=\dfrac{6\times10^{-4}}{4\times10^{-4}}=1.5\)T. \(\mu_r=\dfrac{B}{\mu_0 H}=\dfrac{1.5}{4\pi\times10^{-7}\times2800}\approx426\).

정전 흡인력·에너지
\[ f=\frac{\sigma^2}{2\varepsilon_0}=\frac12\varepsilon_0E^2\,[\text{N/m}^2],\quad W=\tfrac12CV^2=\tfrac12QV \]극판 단위면적당 흡인력은 전계 제곱에 비례합니다.

풀이
도체 내부에는 전하가 없고 표면에만 분포합니다. ①이 틀립니다.

발산 \(\nabla\cdot E=\dfrac{\partial E_x}{\partial x}+\dfrac{\partial E_y}{\partial y}+\dfrac{\partial E_z}{\partial z}\) (스칼라).

동심 구도체 콘덴서
\[ C=\frac{4\pi\varepsilon\,ab}{b-a} \]
· \(a\): 내구 반지름, \(b\): 외구 내반지름
전위차 \(V=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon}(\tfrac1a-\tfrac1b)\)에서 \(C=Q/V\)로 유도됩니다.

계산
\(C=\dfrac{4\pi\varepsilon ab}{b-a}\). a·b→5a·5b: \(\dfrac{25ab}{5(b-a)}=5\times\dfrac{ab}{b-a}\) → 5배.

유전체 경계조건
· 전계의 접선성분 연속: \(E_{1t}=E_{2t}\)
· 전속밀도의 법선성분 연속: \(D_{1n}=D_{2n}\)
굴절 법칙: \(\dfrac{\tan\theta_1}{\tan\theta_2}=\dfrac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2}\) (유전율 큰 쪽으로 더 벌어짐).

풀이
자성체 경계에서는 H 접선·B 법선이 연속이고 굴절법칙이 성립. 전속밀도 D는 자성체와 무관해 ④가 틀립니다.

정전계 핵심
쿨롱 \(F=9\times10^9\dfrac{Q_1Q_2}{r^2}\), 전계 \(E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\), 전위 \(V=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r}\), 용량 \(C=\dfrac{Q}{V}\), 에너지 \(W=\tfrac12CV^2\), 경계 \(E_{1t}=E_{2t},\ D_{1n}=D_{2n}\).

풀이
홀 효과(Hall effect): 전류와 자계에 수직 방향으로 전위차가 발생. 자속밀도 측정 등에 이용됩니다.

정자계 핵심
직선 \(H=\dfrac{I}{2\pi r}\), 원형중심 \(H=\dfrac{I}{2a}\), 솔레노이드 \(H=nI\), \(B=\mu H\), 힘 \(F=BIl\sin\theta\), 자기저항 \(R_m=\dfrac{l}{\mu S}=\dfrac{NI}{\phi}\), 인덕턴스 \(L=\dfrac{N^2}{R_m}\).

풀이
판자석 자위 \(U=\dfrac{M}{4\pi\mu_0}\omega\)(ω:입체각). 대입하면 약 420 AT.

정전계 핵심
쿨롱 \(F=9\times10^9\dfrac{Q_1Q_2}{r^2}\), 전계 \(E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\), 전위 \(V=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r}\), 용량 \(C=\dfrac{Q}{V}\), 에너지 \(W=\tfrac12CV^2\), 경계 \(E_{1t}=E_{2t},\ D_{1n}=D_{2n}\).

풀이
영상전하 인력에 대한 일 \(W=\dfrac{Q^2}{16\pi\varepsilon_0 d}\) (인력의 절반 계수).

정전·정자 에너지밀도
\[ w_e=\tfrac12\varepsilon E^2=\tfrac{D^2}{2\varepsilon}\,[\text{J/m}^3],\qquad w_m=\tfrac12\mu H^2=\tfrac{B^2}{2\mu} \]단위체적에 저장되는 전계·자계 에너지입니다.

풀이
정전에너지밀도 \(w=\dfrac12\varepsilon E^2=\dfrac{D^2}{2\varepsilon}=\dfrac12 ED\).

정자계 핵심
직선 \(H=\dfrac{I}{2\pi r}\), 원형중심 \(H=\dfrac{I}{2a}\), 솔레노이드 \(H=nI\), \(B=\mu H\), 힘 \(F=BIl\sin\theta\), 자기저항 \(R_m=\dfrac{l}{\mu S}=\dfrac{NI}{\phi}\), 인덕턴스 \(L=\dfrac{N^2}{R_m}\).

풀이
자극 세기 = 자화의 세기 × 단면적 \(=J\times\dfrac{\pi d^2}{4}\).

결합계수 \(k\)
\[ k=\frac{M}{\sqrt{L_1L_2}}\quad(0\le k\le1) \]두 코일의 자속이 얼마나 쇄교하는지의 척도. \(k=1\)이면 완전결합, 0이면 무결합.

풀이
결합계수 \(k=\dfrac{M}{\sqrt{L_1 L_2}}\), \(0\le k\le1\).

선(원통)전하 전계
\[ E=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r} \]무한 선전하는 거리에 반비례. 도체원통 내부 전계는 0.

풀이
\(E=\dfrac{\rho_L}{2\pi\varepsilon_0 r}\), \(r=\sqrt{5^2-2^2}\) 등 기하 반영 → 약 6.2×10⁴ V/m.

정전계 핵심
쿨롱 \(F=9\times10^9\dfrac{Q_1Q_2}{r^2}\), 전계 \(E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\), 전위 \(V=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r}\), 용량 \(C=\dfrac{Q}{V}\), 에너지 \(W=\tfrac12CV^2\), 경계 \(E_{1t}=E_{2t},\ D_{1n}=D_{2n}\).

풀이
영상 선전하와의 거리 2h에 의한 힘 \(F=\dfrac{\rho_L^2}{2\pi\varepsilon_0(2h)}\)로 h에 반비례합니다.

정전 흡인력·에너지
\[ f=\frac{\sigma^2}{2\varepsilon_0}=\frac12\varepsilon_0E^2\,[\text{N/m}^2],\quad W=\tfrac12CV^2=\tfrac12QV \]극판 단위면적당 흡인력은 전계 제곱에 비례합니다.

풀이
전속은 에너지가 최소가 되도록 분포합니다(최소에너지 원리). ④가 틀립니다.

\(\omega\varepsilon=\sigma\) → \(f=\dfrac{\sigma}{2\pi\varepsilon}=\dfrac{1}{2\pi\times6\times8.855\times10^{-12}}\approx3.0\times10^9\,\text{Hz}\).

솔레노이드 내부 자계
\[ H=nI\,[\text{AT/m}]\ (n=N/l) \]길이에 비해 충분히 긴 솔레노이드 내부는 균일, 외부는 0에 가깝습니다.

풀이
\(L=\mu S n_0^2 l\)에서 단위길이당 인덕턴스는 철심 길이와 무관(권수/길이가 일정하면). 반경·권수·투자율은 증가시킴.

솔레노이드 내부 자계
\[ H=nI\,[\text{AT/m}]\ (n=N/l) \]길이에 비해 충분히 긴 솔레노이드 내부는 균일, 외부는 0에 가깝습니다.

풀이
단위길이당 인덕턴스 \(L=\mu S n_0^2\,[\text{H/m}]\).

\(H=\dfrac{NI}{\pi D}=\dfrac{600\times2}{\pi\times0.2}\approx1910\), \(B=\mu_0\mu_r H\approx2.4\)T, \(\phi=BS=2.4\times10\times10^{-4}=2.4\times10^{-3}\,\text{Wb}\).

정전계 핵심
쿨롱 \(F=9\times10^9\dfrac{Q_1Q_2}{r^2}\), 전계 \(E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\), 전위 \(V=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r}\), 용량 \(C=\dfrac{Q}{V}\), 에너지 \(W=\tfrac12CV^2\), 경계 \(E_{1t}=E_{2t},\ D_{1n}=D_{2n}\).

풀이
원점에 가까울수록(거리² 반비례) 큰 전하를 놓아야 전계 기여가 큼. 큰 양전하를 가장 가까운 P₁에 → ① 배치.

전자유도·전자파 핵심
\(e=-N\dfrac{d\phi}{dt}=Blv\), 상호유도 \(V_2=M\dfrac{di_1}{dt}\), \(M=k\sqrt{L_1L_2}\), 변위전류 \(i_d=\dfrac{\partial D}{\partial t}\), 전파속도 \(v=\dfrac1{\sqrt{\mu\varepsilon}}\), 포인팅 \(P=E\times H\).

풀이
\(\nabla\cdot B=0\)이라 자기 단극자는 없습니다(N·S 분리 불가). ②가 틀립니다.

전기력선·가우스 법칙
\[ \oint E\cdot dS=\frac{Q}{\varepsilon_0},\quad 전기력선 수=\frac{Q}{\varepsilon_0}(자유공간) \]전기력선은 (+)에서 나와 (−)로 들어가며 도중에 교차·소멸하지 않고, 밀도가 전계 세기를 나타냅니다.

풀이
전기력선은 정(+)전하에서 시작해 부(−)전하에서 끝납니다. ①이 반대로 틀립니다.

정자계 핵심
직선 \(H=\dfrac{I}{2\pi r}\), 원형중심 \(H=\dfrac{I}{2a}\), 솔레노이드 \(H=nI\), \(B=\mu H\), 힘 \(F=BIl\sin\theta\), 자기저항 \(R_m=\dfrac{l}{\mu S}=\dfrac{NI}{\phi}\), 인덕턴스 \(L=\dfrac{N^2}{R_m}\).

풀이
고유임피던스 \(\eta=\dfrac{377}{\sqrt{4}}=188.5\), \(H=E/\eta=377/188.5=2\). 진행 z·E는 a_y → H는 \(-a_x\) 방향.

정자계 핵심
직선 \(H=\dfrac{I}{2\pi r}\), 원형중심 \(H=\dfrac{I}{2a}\), 솔레노이드 \(H=nI\), \(B=\mu H\), 힘 \(F=BIl\sin\theta\), 자기저항 \(R_m=\dfrac{l}{\mu S}=\dfrac{NI}{\phi}\), 인덕턴스 \(L=\dfrac{N^2}{R_m}\).

풀이
자계 굴절법칙 \(\dfrac{\tan\theta_1}{\tan\theta_2}=\dfrac{\mu_1}{\mu_2}\). μ가 다르면 각이 바뀌어 매질1(작은 μ) 쪽 각이 약 60°가 됩니다.

접지저항
반구전극 \(R=\dfrac{\rho}{2\pi a}\), 구전극 \(R=\dfrac{\rho}{4\pi a}\). 대지저항률 \(\rho\)에 비례, 전극 크기에 반비례합니다.

풀이
구도체 저항 \(\frac{\rho}{4\pi a}\)의 2배(반구) → \(R=\dfrac{\rho}{2\pi a}\).

철손(히스테리시스손·와전류손)
\[ P_h=\eta fB_m^{1.6},\qquad P_e=k f^2 B_m^2 t^2 \]와전류손은 성층(얇은 철판)으로 줄입니다. 둘의 합이 철손.

풀이
1주기당 히스테리시스 손실 = B-H 곡선(히스테리시스 루프)의 면적에 비례합니다.

정전계 핵심
쿨롱 \(F=9\times10^9\dfrac{Q_1Q_2}{r^2}\), 전계 \(E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\), 전위 \(V=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r}\), 용량 \(C=\dfrac{Q}{V}\), 에너지 \(W=\tfrac12CV^2\), 경계 \(E_{1t}=E_{2t},\ D_{1n}=D_{2n}\).

풀이
패러데이 법칙=유도기전력 크기(\(e=-N\frac{d\phi}{dt}\)), 렌츠 법칙=기전력(유도전류)의 방향.

정자계 핵심
직선 \(H=\dfrac{I}{2\pi r}\), 원형중심 \(H=\dfrac{I}{2a}\), 솔레노이드 \(H=nI\), \(B=\mu H\), 힘 \(F=BIl\sin\theta\), 자기저항 \(R_m=\dfrac{l}{\mu S}=\dfrac{NI}{\phi}\), 인덕턴스 \(L=\dfrac{N^2}{R_m}\).

풀이
\(L=\dfrac{\mu S N^2}{l}\). N을 2배 하면 N²이 4배 → 일정 유지하려면 단면적 S를 1/4로 줄입니다.

정자계 핵심
직선 \(H=\dfrac{I}{2\pi r}\), 원형중심 \(H=\dfrac{I}{2a}\), 솔레노이드 \(H=nI\), \(B=\mu H\), 힘 \(F=BIl\sin\theta\), 자기저항 \(R_m=\dfrac{l}{\mu S}=\dfrac{NI}{\phi}\), 인덕턴스 \(L=\dfrac{N^2}{R_m}\).

풀이
무한장 솔레노이드는 내부가 균일(평등)자장 \(H=n_0 I\), 외부는 0입니다.

기본 법칙
KCL(전류합=0)·KVL(전압합=0), 옴 미분형 \(J=\sigma E\), 연속방정식 \(\nabla\!\cdot\!J=-\dfrac{\partial\rho}{\partial t}\)(전하보존).

풀이
자기회로 \(\sum NI=\sum R\phi\) (기자력 합 = 자기저항×자속 합). 전기회로 \(\sum E=\sum RI\)와 대응.

정전계 핵심
쿨롱 \(F=9\times10^9\dfrac{Q_1Q_2}{r^2}\), 전계 \(E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\), 전위 \(V=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r}\), 용량 \(C=\dfrac{Q}{V}\), 에너지 \(W=\tfrac12CV^2\), 경계 \(E_{1t}=E_{2t},\ D_{1n}=D_{2n}\).

풀이
무한 판상전하 \(E=\dfrac{\rho_s}{2\varepsilon}\)로 거리와 무관(일정)합니다. '거리에 반비례'가 틀립니다.

정전계 핵심
쿨롱 \(F=9\times10^9\dfrac{Q_1Q_2}{r^2}\), 전계 \(E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\), 전위 \(V=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r}\), 용량 \(C=\dfrac{Q}{V}\), 에너지 \(W=\tfrac12CV^2\), 경계 \(E_{1t}=E_{2t},\ D_{1n}=D_{2n}\).

풀이
정사각형 중심 자계 \(H=\dfrac{2\sqrt2\,I}{\pi l}\).

전자유도·전자파 핵심
\(e=-N\dfrac{d\phi}{dt}=Blv\), 상호유도 \(V_2=M\dfrac{di_1}{dt}\), \(M=k\sqrt{L_1L_2}\), 변위전류 \(i_d=\dfrac{\partial D}{\partial t}\), 전파속도 \(v=\dfrac1{\sqrt{\mu\varepsilon}}\), 포인팅 \(P=E\times H\).

풀이
전류밀도 최대값 \(J_d=\dfrac{I_{c,max}}{\text{단면적}}=\dfrac{I_c}{\pi a^2}\).

도체 표면 전계·전하밀도
\[ E=\frac{\sigma}{\varepsilon_0},\qquad 면전하 무한평판:\ E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \]도체 표면 전계는 표면전하밀도에 비례하고 표면에 수직입니다.

풀이
곡률이 큰(뾰족한) 곳일수록 표면전하밀도가 커집니다(첨단방전 원인).

전류·저항 핵심
옴 \(V=IR\), \(R=\rho\dfrac{l}{S}\), 온도 \(R_t=R_0(1+\alpha t)\), 전류밀도 \(J=\sigma E=nev_d\), 접지저항 반구 \(\dfrac{\rho}{2\pi a}\).

풀이
\(R'=0.8R\), \(I'=\dfrac{V}{0.8R}=1.25\dfrac{V}{R}=1.25I\).

정전계 핵심
쿨롱 \(F=9\times10^9\dfrac{Q_1Q_2}{r^2}\), 전계 \(E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\), 전위 \(V=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r}\), 용량 \(C=\dfrac{Q}{V}\), 에너지 \(W=\tfrac12CV^2\), 경계 \(E_{1t}=E_{2t},\ D_{1n}=D_{2n}\).

풀이
전기력선 수 \(=\dfrac{Q}{\varepsilon}\) (전속선 수는 Q). 매질 유전율로 나눕니다.

정전계 핵심
쿨롱 \(F=9\times10^9\dfrac{Q_1Q_2}{r^2}\), 전계 \(E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\), 전위 \(V=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r}\), 용량 \(C=\dfrac{Q}{V}\), 에너지 \(W=\tfrac12CV^2\), 경계 \(E_{1t}=E_{2t},\ D_{1n}=D_{2n}\).

풀이
도체 내부 자기인덕턴스는 \(\dfrac{\mu_0}{8\pi}\,[\text{H/m}]\)로 반지름과 무관합니다(외부는 \(\frac{\mu_0}{2\pi}\ln\frac{b}{a}\)).

평행 도체 사이의 힘 (단위길이당)
\[ F=\frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d}\ [\text{N/m}] \]같은 방향 전류면 흡인, 반대 방향이면 반발하며 거리에 반비례합니다.

대입 (\(\mu_0=4\pi\times10^{-7}\ \text{H/m},\ I_1=I_2=1\,\text{A},\ d=1\,\text{m}\)):
\[ F=\frac{4\pi\times10^{-7}\times1\times1}{2\pi\times1}=\frac{4\pi\times10^{-7}}{2\pi}=2\times10^{-7}\ \text{N/m} \]※ 핵심은 \(\dfrac{\mu_0}{2\pi}=\dfrac{4\pi\times10^{-7}}{2\pi}=2\times10^{-7}\). 이 값(2×10⁻⁷ N/m)이 바로 1A의 정의(진공 중 1m 간격 두 평행 도선에 각각 1A가 흐를 때 단위길이당 힘 2×10⁻⁷ N)의 기준입니다.
※ 함정 — \(\mu_0=4\pi\times10^{-7}\)만 보고 \(4\pi\times10^{-7}\)로 답하면 오답. 분모 \(2\pi\)로 나눠야 하므로 \(2\times10^{-7}\).

정전계 핵심
쿨롱 \(F=9\times10^9\dfrac{Q_1Q_2}{r^2}\), 전계 \(E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\), 전위 \(V=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r}\), 용량 \(C=\dfrac{Q}{V}\), 에너지 \(W=\tfrac12CV^2\), 경계 \(E_{1t}=E_{2t},\ D_{1n}=D_{2n}\).

풀이
\(f=\dfrac12\varepsilon_0 E^2=\dfrac12\times8.855\times10^{-12}\times(3.5\times10^6)^2\approx54\,\text{N/m}^2\).

정자계 핵심
직선 \(H=\dfrac{I}{2\pi r}\), 원형중심 \(H=\dfrac{I}{2a}\), 솔레노이드 \(H=nI\), \(B=\mu H\), 힘 \(F=BIl\sin\theta\), 자기저항 \(R_m=\dfrac{l}{\mu S}=\dfrac{NI}{\phi}\), 인덕턴스 \(L=\dfrac{N^2}{R_m}\).

풀이
\(H=\dfrac{I}{2\pi r}\)로 거리 r에 반비례합니다.

자계의 세기 \(H\)
무한직선 \(H=\dfrac{I}{2\pi r}\), 원형코일 중심 \(H=\dfrac{I}{2a}\), 솔레노이드 \(H=nI\). 앙페르 법칙 \(\oint H\cdot dl=I\)로 구합니다.

풀이
\(H=\dfrac{E}{\eta_0}=\dfrac{E_e}{377}\approx2.65\times10^{-3}E_e\).

정자계 핵심
직선 \(H=\dfrac{I}{2\pi r}\), 원형중심 \(H=\dfrac{I}{2a}\), 솔레노이드 \(H=nI\), \(B=\mu H\), 힘 \(F=BIl\sin\theta\), 자기저항 \(R_m=\dfrac{l}{\mu S}=\dfrac{NI}{\phi}\), 인덕턴스 \(L=\dfrac{N^2}{R_m}\).

풀이
비오-사바르 \(dH=\dfrac{I\,dl\sin\theta}{4\pi r^2}\)로 거리의 제곱에 반비례합니다. '거리에 반비례'가 틀립니다.

접선(y,z) 연속: 30·−40 유지. 법선 D 연속 \(\varepsilon_2 E_{2x}=\varepsilon_1 E_{1x}\) → \(E_{1x}=\frac{5\times20}{3}=\frac{100}{3}\). \(E_1=\frac{100}{3}a_x+30a_y-40a_z\).

영상전하법으로 힘을 구한다
접지된 무한 평면도체 앞 거리 \(r\)의 점전하 \(Q\)는, 평면 뒤쪽 거리 \(r\)에 있는 영상전하 \(-Q\)와 등가입니다(두 전하 사이 거리 \(2r\)).
점전하가 평면에서 거리 \(x\)일 때 영상전하와의 인력은
\[ F(x)=\frac{Q\cdot Q}{4\pi\varepsilon_0(2x)^2}=\frac{Q^2}{16\pi\varepsilon_0 x^2} \]
무한원까지 옮기는 일 (인력을 거슬러 한 일)
\[ W=\int_r^{\infty}F(x)\,dx=\frac{Q^2}{16\pi\varepsilon_0}\int_r^{\infty}\frac{dx}{x^2}=\frac{Q^2}{16\pi\varepsilon_0}\Big[-\frac1x\Big]_r^{\infty} \]
\[ W=\frac{Q^2}{16\pi\varepsilon_0 r}\ [\text{J}] \]
⚠ 흔한 함정 (2배로 틀리기 쉬움)
영상전하를 고정된 실제 전하로 착각해 위치에너지 \(\dfrac{Q^2}{4\pi\varepsilon_0(2r)}=\dfrac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0 r}\)로 계산하면 2배가 되어 틀립니다. 영상전하는 도체에 유도된 것이라 점전하가 움직이면 함께 움직이므로, 실제 일은 그 절반인 \(\dfrac{Q^2}{16\pi\varepsilon_0 r}\)입니다. (힘을 직접 적분하면 자동으로 올바른 값이 나옵니다.)

자성체의 비투자율 \(\mu_s\) (\(\mu_s=1+\chi\), \(\chi\)=자화율)
• 강자성체(철·니켈·코발트): \(\mu_s\gg1\)
• 상자성체(알루미늄·백금): \(\mu_s\gtrsim1\) (\(\chi\gt0\))
• 역자성체(반자성체)(구리·은·비스무트): \(\mu_s\lt1\) (\(\chi\lt0\))

역자성체는 외부 자계와 반대로 약하게 자화 → \(\chi\lt0\) → \(\mu_s\lt1\).
※ \(\mu_s=0\)은 초전도체(완전 반자성, \(\chi=-1\))의 극단값. 일반 역자성체는 1보다 아주 조금 작음.

정전계 핵심
쿨롱 \(F=9\times10^9\dfrac{Q_1Q_2}{r^2}\), 전계 \(E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\), 전위 \(V=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r}\), 용량 \(C=\dfrac{Q}{V}\), 에너지 \(W=\tfrac12CV^2\), 경계 \(E_{1t}=E_{2t},\ D_{1n}=D_{2n}\).

풀이
경계면에 평행(접선)한 전계는 양쪽이 연속(같다)입니다.

정전계 핵심
쿨롱 \(F=9\times10^9\dfrac{Q_1Q_2}{r^2}\), 전계 \(E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\), 전위 \(V=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r}\), 용량 \(C=\dfrac{Q}{V}\), 에너지 \(W=\tfrac12CV^2\), 경계 \(E_{1t}=E_{2t},\ D_{1n}=D_{2n}\).

풀이
대칭 분포전하의 전계는 가우스 정리(\(\oint E\cdot dS=Q/\varepsilon\))로 구합니다.

패러데이관(전기력관)
양·음 전하를 잇는 관으로, 한 관은 단위전하 \(Q\)를 담습니다. 관의 밀도가 전속밀도 \(D\), 관 수 = \(Q\). 도중에 끊기거나 교차하지 않습니다.

풀이
패러데이관의 밀도는 전속밀도와 같습니다. ④가 틀립니다.

정전용량
\[ C=\frac{Q}{V}\ [\text{F}],\quad 구:\ 4\pi\varepsilon a,\quad 평행판:\ \frac{\varepsilon S}{d},\quad 동심구:\ \frac{4\pi\varepsilon ab}{b-a} \]단위전압당 저장전하로, 전하일정이면 \(V=Q/C\).

풀이
\(C=4\pi\varepsilon_0 a=4\pi\times8.855\times10^{-12}\times0.03\approx3.34\,\text{pF}\).

정전계 핵심
쿨롱 \(F=9\times10^9\dfrac{Q_1Q_2}{r^2}\), 전계 \(E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\), 전위 \(V=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r}\), 용량 \(C=\dfrac{Q}{V}\), 에너지 \(W=\tfrac12CV^2\), 경계 \(E_{1t}=E_{2t},\ D_{1n}=D_{2n}\).

풀이
전계 수직(D 연속): \(f=\dfrac12\left(\dfrac{1}{\varepsilon_2}-\dfrac{1}{\varepsilon_1}\right)D^2\).

정전계 핵심
쿨롱 \(F=9\times10^9\dfrac{Q_1Q_2}{r^2}\), 전계 \(E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\), 전위 \(V=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r}\), 용량 \(C=\dfrac{Q}{V}\), 에너지 \(W=\tfrac12CV^2\), 경계 \(E_{1t}=E_{2t},\ D_{1n}=D_{2n}\).

풀이
대칭성으로 원환 중심에서 전계는 0입니다(중심축상 다른 점은 유한).

직렬 콘덴서 — 먼저 파괴되는 것 찾기
직렬 연결이면 모든 콘덴서에 같은 전하 \(Q\)가 쌓입니다. 각 콘덴서가 견딜 수 있는 최대 전하 \(Q_{max}=C\cdot V_{내압}\)를 비교해, 가장 작은 것이 먼저 한계에 도달합니다.

콘덴서	\(Q_{max}=CV\)
1μF · 1000V	\(1\times1000=1000\,\mu C\) ← 최소
2μF · 750V	\(2\times750=1500\,\mu C\)
5μF · 500V	\(5\times500=2500\,\mu C\)

전하가 서서히 증가하면 \(1000\,\mu C\)에 가장 먼저 닿는 1μF가 제일 먼저 파괴됩니다.
주의 — 용량이 가장 작은 것(1μF)이 아니라 \(CV\)곱이 가장 작은 것이 기준입니다(여기선 마침 1μF).

자기차폐
투자율이 큰 강자성체로 공간을 감싸면 자속이 차폐체 벽을 따라 흘러 내부로 거의 들어가지 않습니다(자기저항이 작은 경로 선택). 완전차폐는 불가.

풀이
자기차폐는 비투자율이 큰 강자성체로 자속을 유도·흡수합니다.

점전하의 전위
\[ V=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r}=9\times10^9\frac{Q}{r}\,[\text{V}] \]무한원 기준, 거리 \(r\)에 반비례(전계는 \(1/r^2\)). 여러 전하는 스칼라 합.

풀이
전계방향 이동은 전위 감소: \(V=50-40\times0.8=18\,\text{V}\).

정자계 핵심
직선 \(H=\dfrac{I}{2\pi r}\), 원형중심 \(H=\dfrac{I}{2a}\), 솔레노이드 \(H=nI\), \(B=\mu H\), 힘 \(F=BIl\sin\theta\), 자기저항 \(R_m=\dfrac{l}{\mu S}=\dfrac{NI}{\phi}\), 인덕턴스 \(L=\dfrac{N^2}{R_m}\).

풀이
토크 \(T=BIS=BI\pi a^2\) (코일 면적 \(\pi a^2\)).

정전계 핵심
쿨롱 \(F=9\times10^9\dfrac{Q_1Q_2}{r^2}\), 전계 \(E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\), 전위 \(V=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r}\), 용량 \(C=\dfrac{Q}{V}\), 에너지 \(W=\tfrac12CV^2\), 경계 \(E_{1t}=E_{2t},\ D_{1n}=D_{2n}\).

풀이
완전반자성(마이스너 효과): \(X_m=-1,\ \mu_r=0,\ B=0\)(내부 자속 배제).

정전계 핵심
쿨롱 \(F=9\times10^9\dfrac{Q_1Q_2}{r^2}\), 전계 \(E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\), 전위 \(V=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r}\), 용량 \(C=\dfrac{Q}{V}\), 에너지 \(W=\tfrac12CV^2\), 경계 \(E_{1t}=E_{2t},\ D_{1n}=D_{2n}\).

풀이
위상속도 \(v=\omega/\beta=10^9/20=5\times10^7\,\text{m/s}\).

운동도체의 기전력
\[ e=Blv\sin\theta \]자속밀도 \(B\), 도체길이 \(l\), 속도 \(v\)가 수직(θ=90°)이면 \(e=Blv\). 방향은 플레밍 오른손법칙(발전기).

풀이
\(e=Blv\sin\theta=10\times0.1\times30\times\sin30°=15\,\text{V}\).

자기저항(릴럭턴스)부터 구한다
\[ R_m=\frac{\ell}{\mu_0\mu_s S} \]
단위 환산: \(\ell=20\pi\times10^{-2}=0.2\pi\,\text{m}\), \(S=10\times10^{-4}=10^{-3}\,\text{m}^2\)
\[ R_m=\frac{0.2\pi}{(4\pi\times10^{-7})(1000)(10^{-3})}=\frac{0.2\pi}{4\pi\times10^{-7}}=5\times10^{5}\ [\text{AT/Wb}] \]
상호인덕턴스 (누설 없으면 두 코일이 같은 자기저항을 공유)
\[ M=\frac{N_1 N_2}{R_m}=\frac{1000\times1000}{5\times10^{5}}=\frac{10^{6}}{5\times10^{5}}=2\ [\text{H}] \]
참고
· 각 코일의 자기인덕턴스도 \(L=\dfrac{N^2}{R_m}=2\,\text{H}\)로 같고(\(N_1=N_2\)), 결합계수 \(k=\dfrac{M}{\sqrt{L_1L_2}}=1\)(완전결합).
· \(20\pi\,\text{cm}\)로 준 것은 \(\pi\)가 약분되어 계산이 깔끔해지도록 한 것입니다.

전자의 운동
\[ F=qE=ma,\quad 자계 내:\ qvB=\frac{mv^2}{r}\Rightarrow r=\frac{mv}{qB} \]전계는 가속, 자계는 원운동(로런츠 구심력)을 시킵니다. 전자 1개 전하 \(e=1.602\times10^{-19}\)C.

풀이
\(n=\dfrac{I}{e}=\dfrac{10^{-6}}{1.6\times10^{-19}}\approx6.24\times10^{12}\)개/s.

선(원통)전하 전계
\[ E=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r} \]무한 선전하는 거리에 반비례. 도체원통 내부 전계는 0.

풀이
도체 내부 인덕턴스 \(L=\dfrac{\mu_0\mu_s}{8\pi}l=\dfrac12\times10^{-7}\mu_s l\,[\text{H}]\).

정자계 핵심
직선 \(H=\dfrac{I}{2\pi r}\), 원형중심 \(H=\dfrac{I}{2a}\), 솔레노이드 \(H=nI\), \(B=\mu H\), 힘 \(F=BIl\sin\theta\), 자기저항 \(R_m=\dfrac{l}{\mu S}=\dfrac{NI}{\phi}\), 인덕턴스 \(L=\dfrac{N^2}{R_m}\).

풀이
\(H=\dfrac{2\sqrt2 I}{\pi l}=\dfrac{2\sqrt2\times10}{\pi\times0.1}=\dfrac{200\sqrt2}{\pi}\).

역자성체(반자성체)의 자화율·비투자율
자화율(비자화율) \(\chi_m\)과 비투자율 \(\mu_r\)의 관계는 \(\mu_r=1+\chi_m\).
역자성체는 외부 자계와 반대 방향으로 자화되므로 \(\chi_m \lt 0\), 따라서 \(\mu_r=1+\chi_m \lt 1\).
∴ 정답 \(\chi_m \lt 0,\ \mu_r \lt 1\).
※ 상자성체는 \(\chi_m \gt 0,\ \mu_r \gt 1\)(자계 방향으로 약하게 자화). \(\chi_m \gt 0\)인데 \(\mu_r \lt 1\)(보기 ④)은 모순이라 성립하지 않습니다.

전위 경도(gradient)와 전계의 관계
전계는 전위의 음의 기울기입니다: \(\mathbf{E}=-\nabla V\) → \(\nabla V=-\mathbf{E}\).

직접 계산 (구면좌표 · r만의 함수)
\(V=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r}\)는 \(r\)에만 의존하므로
\[ \nabla V=\frac{dV}{dr}\,\mathbf{a}_r=\frac{d}{dr}\!\left(\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r}\right)\mathbf{a}_r=-\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\,\mathbf{a}_r \]확인
점전하 전계 \(\mathbf{E}=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\mathbf{a}_r\) 이므로 \(\nabla V=-\mathbf{E}\)로 일치합니다. (\(\nabla V\)는 전위가 증가하는 방향, \(\mathbf{E}\)는 감소하는 방향 → 부호가 반대)
※ 함정 — 부호(−)를 빠뜨려 \(+\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}a_r\)로 답하면 오답(그건 \(+E\)). \(\dfrac{d}{dr}\dfrac{1}{r}=-\dfrac{1}{r^2}\)에서 (−)가 나옵니다.

정전 흡인력·에너지
\[ f=\frac{\sigma^2}{2\varepsilon_0}=\frac12\varepsilon_0E^2\,[\text{N/m}^2],\quad W=\tfrac12CV^2=\tfrac12QV \]극판 단위면적당 흡인력은 전계 제곱에 비례합니다.

풀이
\(w=\dfrac{Q^2}{2C}=\dfrac{Q^2 d}{2\varepsilon_0 S}\).

정전계 핵심
쿨롱 \(F=9\times10^9\dfrac{Q_1Q_2}{r^2}\), 전계 \(E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\), 전위 \(V=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r}\), 용량 \(C=\dfrac{Q}{V}\), 에너지 \(W=\tfrac12CV^2\), 경계 \(E_{1t}=E_{2t},\ D_{1n}=D_{2n}\).

풀이
포아송·라플라스는 \(E=-\nabla V\), \(\nabla\cdot D=\rho\), \(D=\varepsilon E\)로 유도. 패러데이 법칙은 무관.

정자계 핵심
직선 \(H=\dfrac{I}{2\pi r}\), 원형중심 \(H=\dfrac{I}{2a}\), 솔레노이드 \(H=nI\), \(B=\mu H\), 힘 \(F=BIl\sin\theta\), 자기저항 \(R_m=\dfrac{l}{\mu S}=\dfrac{NI}{\phi}\), 인덕턴스 \(L=\dfrac{N^2}{R_m}\).

풀이
축상 자계 \(H=\dfrac{a^2 I}{2(a^2+z^2)^{3/2}}\)에 대입해 계산합니다.

평등자계에 수직 입사한 전자 — 등속 원운동 (그림)

자계에 수직으로 들어온 전하는 로런츠 힘 \(\vec F=q\vec v\times\vec B\)를 받습니다. 이 힘은 항상 속도에 수직이라 속력(에너지)은 바꾸지 못하고 방향만 계속 바꿔 → 등속 원운동을 합니다.

구심력 = 로런츠 힘:
\[ qvB=\frac{mv^2}{r}\ \Rightarrow\ r=\frac{mv}{qB} \]• 반지름 \(r\propto v\) (회전속도에 비례) ← 정답
• 반지름 \(r\propto \dfrac{1}{B}\) (자계에 반비례)
• 주기 \(T=\dfrac{2\pi m}{qB}\), 각주파수 \(\omega=\dfrac{qB}{m}\)(사이클로트론 주파수) — 속도와 무관.

오답 정리
• ① 구심력 \(qvB\)는 속도에 비례(반비례 아님)
• ② 힘은 자계 \(B\)에 비례(반비례 아님)
• ③ 반지름은 자계에 반비례(\(r\propto1/B\), 비례 아님)
∴ 정답 ④ 원운동, 반지름은 회전속도에 비례.

전류·저항 핵심
옴 \(V=IR\), \(R=\rho\dfrac{l}{S}\), 온도 \(R_t=R_0(1+\alpha t)\), 전류밀도 \(J=\sigma E=nev_d\), 접지저항 반구 \(\dfrac{\rho}{2\pi a}\).

풀이
\(RC=\frac{\varepsilon}{\sigma}\) → \(I=\frac{V}{R}=\frac{\sigma}{\varepsilon}CV\).

유전체의 분극
\[ P=\varepsilon_0(\varepsilon_s-1)E=D-\varepsilon_0E \]외부 전계에서 유전체 내 쌍극자가 정렬해 생기는 단위체적당 쌍극자모멘트입니다. \(D=\varepsilon_0E+P\).

풀이
단원자 공유결합 단결정은 전자 분극만 발생합니다.

솔레노이드 내부 자계
\[ H=nI\,[\text{AT/m}]\ (n=N/l) \]길이에 비해 충분히 긴 솔레노이드 내부는 균일, 외부는 0에 가깝습니다.

풀이
무한장 솔레노이드 내부 \(H=n_0 I\)로 단위길이당 권수에 비례, 위치·단면적 무관.

유전체 경계조건
· 전계의 접선성분 연속: \(E_{1t}=E_{2t}\)
· 전속밀도의 법선성분 연속: \(D_{1n}=D_{2n}\)
굴절 법칙: \(\dfrac{\tan\theta_1}{\tan\theta_2}=\dfrac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2}\) (유전율 큰 쪽으로 더 벌어짐).

풀이
유전율이 큰 쪽에 전속(유전속)이 더 많이 모입니다 → ε₁>ε₂.

정전계 핵심
쿨롱 \(F=9\times10^9\dfrac{Q_1Q_2}{r^2}\), 전계 \(E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\), 전위 \(V=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r}\), 용량 \(C=\dfrac{Q}{V}\), 에너지 \(W=\tfrac12CV^2\), 경계 \(E_{1t}=E_{2t},\ D_{1n}=D_{2n}\).

풀이
H=Wb/A=Ω·s=J/A². J/(A·s)는 H가 아닙니다.

포인팅 벡터
\[ \vec P=\vec E\times\vec H\,[\text{W/m}^2] \]전자파가 단위면적당 운반하는 전력(에너지 흐름)의 크기·방향을 나타냅니다.

풀이
\(P=E\times H\,[\text{W/m}^2]\).

정자계 핵심
직선 \(H=\dfrac{I}{2\pi r}\), 원형중심 \(H=\dfrac{I}{2a}\), 솔레노이드 \(H=nI\), \(B=\mu H\), 힘 \(F=BIl\sin\theta\), 자기저항 \(R_m=\dfrac{l}{\mu S}=\dfrac{NI}{\phi}\), 인덕턴스 \(L=\dfrac{N^2}{R_m}\).

풀이
자심(변압기 철심)은 히스테리시스손이 작아야 하므로 루프 면적이 작은 것이 좋습니다.

정전계 핵심
쿨롱 \(F=9\times10^9\dfrac{Q_1Q_2}{r^2}\), 전계 \(E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\), 전위 \(V=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r}\), 용량 \(C=\dfrac{Q}{V}\), 에너지 \(W=\tfrac12CV^2\), 경계 \(E_{1t}=E_{2t},\ D_{1n}=D_{2n}\).

풀이
전계 일정 시 에너지밀도 \(\frac12\varepsilon E^2\)는 εr에 비례 → B>A>D>C.

정자계 핵심
직선 \(H=\dfrac{I}{2\pi r}\), 원형중심 \(H=\dfrac{I}{2a}\), 솔레노이드 \(H=nI\), \(B=\mu H\), 힘 \(F=BIl\sin\theta\), 자기저항 \(R_m=\dfrac{l}{\mu S}=\dfrac{NI}{\phi}\), 인덕턴스 \(L=\dfrac{N^2}{R_m}\).

풀이
자기 에너지밀도 \(w=\frac12 HB=\frac12\mu H^2=\frac{B^2}{2\mu}\).

정전계 핵심
쿨롱 \(F=9\times10^9\dfrac{Q_1Q_2}{r^2}\), 전계 \(E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\), 전위 \(V=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r}\), 용량 \(C=\dfrac{Q}{V}\), 에너지 \(W=\tfrac12CV^2\), 경계 \(E_{1t}=E_{2t},\ D_{1n}=D_{2n}\).

풀이
라플라스 방정식 \(\nabla^2 V=0\)은 선형입니다.

정자계 핵심
직선 \(H=\dfrac{I}{2\pi r}\), 원형중심 \(H=\dfrac{I}{2a}\), 솔레노이드 \(H=nI\), \(B=\mu H\), 힘 \(F=BIl\sin\theta\), 자기저항 \(R_m=\dfrac{l}{\mu S}=\dfrac{NI}{\phi}\), 인덕턴스 \(L=\dfrac{N^2}{R_m}\).

풀이
자화의 세기 J는 자속밀도와 같은 Wb/m².

정전계 핵심
쿨롱 \(F=9\times10^9\dfrac{Q_1Q_2}{r^2}\), 전계 \(E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\), 전위 \(V=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r}\), 용량 \(C=\dfrac{Q}{V}\), 에너지 \(W=\tfrac12CV^2\), 경계 \(E_{1t}=E_{2t},\ D_{1n}=D_{2n}\).

풀이
원형 선전하 축상 전계 \(E_z=\dfrac{\rho_L a z}{2\varepsilon_0(a^2+z^2)^{3/2}}\).

전계의 세기 \(E\)
점전하 \(E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}=9\times10^9\dfrac{Q}{r^2}\), 무한도체판 \(E=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\). 단위전하가 받는 힘 \(F=QE\).

풀이
\(E=-\frac{dV}{dx}=-2x=-2\times0.2=-0.4\) → −x 방향 0.4V/m.

패러데이 전자유도 법칙
\[ e=-N\frac{d\phi}{dt} \]쇄교자속의 시간변화율에 비례하는 기전력이 유기되고, (−)는 이를 방해하는 방향(렌츠 법칙)입니다.

풀이
패러데이 법칙 \(\nabla\times E=-\dfrac{\partial B}{\partial t}\).

변위전류
\[ i_d=\frac{\partial D}{\partial t}=\varepsilon\frac{\partial E}{\partial t} \]콘덴서처럼 전류가 흐르지 않는 유전체에서 전속밀도 \(D\)의 시간변화가 만드는 전류로, 맥스웰이 도입해 전자파 전파를 설명합니다.

풀이
변위전류 \(\frac{\partial D}{\partial t}\)는 유전체(콘덴서)에서 흐릅니다.

정자계 핵심
직선 \(H=\dfrac{I}{2\pi r}\), 원형중심 \(H=\dfrac{I}{2a}\), 솔레노이드 \(H=nI\), \(B=\mu H\), 힘 \(F=BIl\sin\theta\), 자기저항 \(R_m=\dfrac{l}{\mu S}=\dfrac{NI}{\phi}\), 인덕턴스 \(L=\dfrac{N^2}{R_m}\).

풀이
\(\oint H\cdot dl=\int J\cdot dS\), \(H\cdot2\pi r=\int_0^r Kr^2\cdot2\pi r\,dr\) → \(H=\frac{Kr^3}{4}a_\phi\).

정전용량
\[ C=\frac{Q}{V}\ [\text{F}],\quad 구:\ 4\pi\varepsilon a,\quad 평행판:\ \frac{\varepsilon S}{d},\quad 동심구:\ \frac{4\pi\varepsilon ab}{b-a} \]단위전압당 저장전하로, 전하일정이면 \(V=Q/C\).

풀이
용량이 각도에 비례하므로 \(C=\dfrac{\theta}{\pi}C_0\)(반원 기준) 형태로 변화합니다.

정자계 핵심
직선 \(H=\dfrac{I}{2\pi r}\), 원형중심 \(H=\dfrac{I}{2a}\), 솔레노이드 \(H=nI\), \(B=\mu H\), 힘 \(F=BIl\sin\theta\), 자기저항 \(R_m=\dfrac{l}{\mu S}=\dfrac{NI}{\phi}\), 인덕턴스 \(L=\dfrac{N^2}{R_m}\).

풀이
\(L=\frac{\mu_0}{2\pi}\ln\frac{b}{a}=\frac{2\times10^{-7}\ln2}{1}\approx1.39\times10^{-7}\,\text{H/m}\).

전류·저항 핵심
옴 \(V=IR\), \(R=\rho\dfrac{l}{S}\), 온도 \(R_t=R_0(1+\alpha t)\), 전류밀도 \(J=\sigma E=nev_d\), 접지저항 반구 \(\dfrac{\rho}{2\pi a}\).

풀이
무한평면 전류의 자계는 거리와 무관(일정)하므로 비는 1.

포아송 방정식으로 전하밀도 구하기
\[ \rho=-\varepsilon\nabla^2 V=-\varepsilon_0\varepsilon_r\nabla^2 V \]
① 라플라시안 계산
\(V=40x^2 y\)이므로
\[ \frac{\partial^2 V}{\partial x^2}=80y,\quad \frac{\partial^2 V}{\partial y^2}=0,\quad \frac{\partial^2 V}{\partial z^2}=0 \]
\[ \nabla^2 V=80y \]
② 점 \((\tfrac12,2)\) 대입 (y=2)
\[ \nabla^2 V=80\times2=160 \]
③ 전하밀도 (\(\varepsilon_r=2\))
\[ \rho=-\varepsilon_0\varepsilon_r\nabla^2 V=-\varepsilon_0\times2\times160=-320\,\varepsilon_0\ [\text{C/m}^3] \]
핵심 — 전위를 두 번 미분(라플라시안)한 뒤 \(-\varepsilon_0\varepsilon_r\)을 곱합니다. (전하가 없으면 \(\nabla^2V=0\), 라플라스 방정식)

철손(히스테리시스손·와전류손)
\[ P_h=\eta fB_m^{1.6},\qquad P_e=k f^2 B_m^2 t^2 \]와전류손은 성층(얇은 철판)으로 줄입니다. 둘의 합이 철손.

풀이
손실 = 루프 면적×주파수×체적으로 계산 → 약 4.8×10⁻².

자계 속 자석·코일의 회전력(토크)
\[ T=m\times H=MH\sin\theta\ (자석),\qquad T=NBIA\cos\alpha\ (코일) \]자기모멘트와 자계의 벡터곱으로, 자계와 나란해지려는 방향으로 작용합니다.

풀이
\(T=m\times B\), \(m=IS\). 계산 시 \(5.66\times10^{-4}a_z\).

정전계 핵심
쿨롱 \(F=9\times10^9\dfrac{Q_1Q_2}{r^2}\), 전계 \(E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\), 전위 \(V=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r}\), 용량 \(C=\dfrac{Q}{V}\), 에너지 \(W=\tfrac12CV^2\), 경계 \(E_{1t}=E_{2t},\ D_{1n}=D_{2n}\).

풀이
영상전하 포함, 평면 수직성분 \(E=\dfrac{-Qa}{2\pi\varepsilon_0(a^2+x^2)^{3/2}}\).

투자율
\[ \mu=\mu_0\mu_s,\qquad B=\mu H \]· \(\mu_0=4\pi\times10^{-7}\), \(\mu_s\):비투자율(강자성체 수백~수천)
자속이 잘 통하는 정도입니다.

풀이
\(\mu_0=4\pi\times10^{-7}=12.56\times10^{-7}\,\text{H/m}\).

전자유도·전자파 핵심
\(e=-N\dfrac{d\phi}{dt}=Blv\), 상호유도 \(V_2=M\dfrac{di_1}{dt}\), \(M=k\sqrt{L_1L_2}\), 변위전류 \(i_d=\dfrac{\partial D}{\partial t}\), 전파속도 \(v=\dfrac1{\sqrt{\mu\varepsilon}}\), 포인팅 \(P=E\times H\).

풀이
단극유도는 원판과 자석을 같은 방향으로 함께 돌려도 상대운동 있어 기전력 발생(자석 자계는 회전 안 함).

정전계 핵심
쿨롱 \(F=9\times10^9\dfrac{Q_1Q_2}{r^2}\), 전계 \(E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\), 전위 \(V=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r}\), 용량 \(C=\dfrac{Q}{V}\), 에너지 \(W=\tfrac12CV^2\), 경계 \(E_{1t}=E_{2t},\ D_{1n}=D_{2n}\).

풀이
점전하 전계 \(E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\).

전자파의 전파속도
\[ v=\frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}=\frac{c}{\sqrt{\mu_s\varepsilon_s}} \]진공: \(c=3\times10^8\,\text{m/s}\). 매질의 투자율·유전율이 클수록 느려집니다.

풀이
\(v=\dfrac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}\).

유전체의 분극
\[ P=\varepsilon_0(\varepsilon_s-1)E=D-\varepsilon_0E \]외부 전계에서 유전체 내 쌍극자가 정렬해 생기는 단위체적당 쌍극자모멘트입니다. \(D=\varepsilon_0E+P\).

풀이
\(D=\varepsilon_0 E+P\) → \(P=D-\varepsilon_0 E\).

정자계 핵심
직선 \(H=\dfrac{I}{2\pi r}\), 원형중심 \(H=\dfrac{I}{2a}\), 솔레노이드 \(H=nI\), \(B=\mu H\), 힘 \(F=BIl\sin\theta\), 자기저항 \(R_m=\dfrac{l}{\mu S}=\dfrac{NI}{\phi}\), 인덕턴스 \(L=\dfrac{N^2}{R_m}\).

풀이
가동(가극성) 직렬: \(L=L_1+L_2+2M\)(차동은 −2M).

정전계 핵심
쿨롱 \(F=9\times10^9\dfrac{Q_1Q_2}{r^2}\), 전계 \(E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\), 전위 \(V=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r}\), 용량 \(C=\dfrac{Q}{V}\), 에너지 \(W=\tfrac12CV^2\), 경계 \(E_{1t}=E_{2t},\ D_{1n}=D_{2n}\).

풀이
공기층·유전체층 직렬 합성 \(C=\dfrac{2\varepsilon_r}{1+\varepsilon_r}C_0\).

벡터퍼텐셜·유도전계
\(\vec B=\nabla\times\vec A\), 시변자계는 \(\vec E=-\dfrac{\partial\vec A}{\partial t}\)의 유도전계를 만듭니다(패러데이 법칙의 미분형 \(\nabla\times E=-\partial B/\partial t\)).

풀이
\(B=\nabla\times A\), \(H=B/\mu=\dfrac{1}{\mu}\nabla\times A\).

자기저항(릴럭턴스)
\[ R_m=\frac{l}{\mu S}=\frac{NI}{\phi}\,[\text{AT/Wb}] \]· \(l\): 자로길이, \(\mu\): 투자율, \(S\): 단면적
자기회로의 ‘저항’으로, 기자력 \(NI=R_m\phi\)(옴의 법칙 대응).

풀이
\(R_m=\dfrac{l}{\mu S}\): 길이에 비례, 투자율·단면적에 반비례.

정전계 핵심
쿨롱 \(F=9\times10^9\dfrac{Q_1Q_2}{r^2}\), 전계 \(E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\), 전위 \(V=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r}\), 용량 \(C=\dfrac{Q}{V}\), 에너지 \(W=\tfrac12CV^2\), 경계 \(E_{1t}=E_{2t},\ D_{1n}=D_{2n}\).

풀이
동축 단위길이당 정전용량 \(C=\dfrac{2\pi\varepsilon}{\ln(b/a)}\).

정자계 핵심
직선 \(H=\dfrac{I}{2\pi r}\), 원형중심 \(H=\dfrac{I}{2a}\), 솔레노이드 \(H=nI\), \(B=\mu H\), 힘 \(F=BIl\sin\theta\), 자기저항 \(R_m=\dfrac{l}{\mu S}=\dfrac{NI}{\phi}\), 인덕턴스 \(L=\dfrac{N^2}{R_m}\).

풀이
\(H=\frac{NI}{2\pi r}\), \(B=\mu H\)에 대입 → 약 8×10⁻³.

격자점 전위 — 반복법(이완법, Relaxation) (그림)

전하가 없는 영역의 전위는 라플라스 방정식 \(\nabla^2V=0\)을 만족하며, 격자로 이산화하면 각 격자점 전위는 이웃 4점(상·하·좌·우)의 평균으로 수렴합니다:
\[ V_0=\tfrac14\,(V_1+V_2+V_3+V_4) \]절차: 경계(정방형관 벽) 전위를 고정한 뒤, 내부 격자점을 위 식으로 값이 변하지 않을 때까지 반복 계산합니다.

계산(예시)
어떤 내부 격자점의 이웃 4점 전위가 수렴 후 \(12.5,\ 12.5,\ 12.5,\ 0\,\text{V}\)라면:
\[ V_0=\frac{12.5+12.5+12.5+0}{4}=\frac{37.5}{4}\approx 9.4\,\text{V} \]→ 약 9.4V. 정답 ②.
※ 원 문제는 경계 전위 배치가 그림으로 주어졌던 문항이라, 계산이 보이도록 대표적인 이웃값으로 재구성했습니다. 핵심은 ‘이웃 4점 평균을 반복’해 전위를 구한다는 것입니다(직접 연립하는 가우스 소거보다 격자에 효율적).

정전계 핵심
쿨롱 \(F=9\times10^9\dfrac{Q_1Q_2}{r^2}\), 전계 \(E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\), 전위 \(V=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r}\), 용량 \(C=\dfrac{Q}{V}\), 에너지 \(W=\tfrac12CV^2\), 경계 \(E_{1t}=E_{2t},\ D_{1n}=D_{2n}\).

풀이
정전 흡인력 \(f=\dfrac{\sigma^2}{2\varepsilon_0}=\dfrac12\varepsilon_0 E^2\).

자계 속 전류(전하)가 받는 힘
\[ \vec F=I\vec l\times\vec B=q\vec v\times\vec B,\quad F=BIl\sin\theta \]방향은 플레밍 왼손법칙(전동기).

풀이
\(F=BIl\), I·l 각 2배 → 4f.

유도기전력
\[ e=-N\frac{d\phi}{dt}=-L\frac{di}{dt}=Blv \]쇄교자속(또는 전류) 변화율에 비례, (−)는 렌츠 법칙(방해 방향).

풀이
자계가 일정한 공간에서도 폐회로가 운동(면적변화)하면 기전력이 유기됩니다.

전자유도·상호유도
\(e=-N\dfrac{d\phi}{dt}\)(렌츠 −부호), 운동기전력 \(e=Blv\), 상호유도 \(V_2=M\dfrac{di_1}{dt}\), \(M=k\sqrt{L_1L_2}\).

풀이
폐회로 운동으로 쇄교 자속이 변해 기전력이 유기됩니다(플레밍 오른손).

평행도선 사이의 힘
\[ F=\frac{\mu_0 I_1I_2}{2\pi d}\,[\text{N/m}] \]같은 방향 전류는 흡인, 반대는 반발. 거리에 반비례.

풀이
평행 왕복도선 단위길이 인덕턴스 \(L=\dfrac{\mu_0}{\pi}\ln\dfrac{d}{a}\)(외부).

정전계 핵심
쿨롱 \(F=9\times10^9\dfrac{Q_1Q_2}{r^2}\), 전계 \(E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\), 전위 \(V=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r}\), 용량 \(C=\dfrac{Q}{V}\), 에너지 \(W=\tfrac12CV^2\), 경계 \(E_{1t}=E_{2t},\ D_{1n}=D_{2n}\).

풀이
경계면에서 D의 법선성분은 연속(같다).