전자기학
전자기학
전기력선방정식
2003.5 기출
\(V=x^2+y^2\)[V]의 전위분포에서 전기력선의 방정식은? (A는 상수)
- ① \(x=Ay\)
- ② \(y=Ax\) 정답
- ③ \(y=Ax^2\)
- ④ \(xy=A\)
📖 해설
전기력선 방정식 구하기
전기력선은 각 점에서 전계 \(\vec E\)에 접하는 곡선이다. 따라서 곡선의 기울기 \(\dfrac{dy}{dx}\)가 그 점에서의 \(\dfrac{E_y}{E_x}\)와 같다는 미분방정식을 풀면 된다.
① 전계 구하기
전위 \(V=x^2+y^2\)에서 \(\vec E=-\nabla V\):\[ E_x=-\dfrac{\partial V}{\partial x}=-2x,\qquad E_y=-\dfrac{\partial V}{\partial y}=-2y \]
② 전기력선의 미분방정식\[ \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{E_y}{E_x}=\dfrac{-2y}{-2x}=\dfrac{y}{x} \]
③ 변수분리 적분\[ \dfrac{dy}{y}=\dfrac{dx}{x} \;\Rightarrow\; \ln y=\ln x+C \]\[ y=e^{C}\,x = A x \quad(A=e^{C}\text{: 상수}) \]따라서 전기력선은 원점을 지나는 직선들 \(y=Ax\)이며, 정답은 ② \(y=Ax\).
④ 물리적 의미
등전위면 \(x^2+y^2=\text{const}\)는 원점 중심의 동심원이고, 전기력선은 이 원들과 항상 수직으로 만나야 하므로 원점에서 방사상으로 뻗는 직선이 된다. \(y=Ax\)가 바로 그 방사선(기울기 \(A\))이다.
보기 검토
• ① \(x=Ay\): 형태는 직선이지만 \(\dfrac{dy}{dx}\) 관계를 뒤집어 세운 것으로 유도과정과 맞지 않는다.
• ③ \(y=Ax^2\)·④ \(xy=A\): 원점을 지나는 방사 직선이 아니어서 등전위 동심원과 수직 조건을 만족하지 못한다.
전기력선은 각 점에서 전계 \(\vec E\)에 접하는 곡선이다. 따라서 곡선의 기울기 \(\dfrac{dy}{dx}\)가 그 점에서의 \(\dfrac{E_y}{E_x}\)와 같다는 미분방정식을 풀면 된다.
① 전계 구하기
전위 \(V=x^2+y^2\)에서 \(\vec E=-\nabla V\):\[ E_x=-\dfrac{\partial V}{\partial x}=-2x,\qquad E_y=-\dfrac{\partial V}{\partial y}=-2y \]
② 전기력선의 미분방정식\[ \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{E_y}{E_x}=\dfrac{-2y}{-2x}=\dfrac{y}{x} \]
③ 변수분리 적분\[ \dfrac{dy}{y}=\dfrac{dx}{x} \;\Rightarrow\; \ln y=\ln x+C \]\[ y=e^{C}\,x = A x \quad(A=e^{C}\text{: 상수}) \]따라서 전기력선은 원점을 지나는 직선들 \(y=Ax\)이며, 정답은 ② \(y=Ax\).
④ 물리적 의미
등전위면 \(x^2+y^2=\text{const}\)는 원점 중심의 동심원이고, 전기력선은 이 원들과 항상 수직으로 만나야 하므로 원점에서 방사상으로 뻗는 직선이 된다. \(y=Ax\)가 바로 그 방사선(기울기 \(A\))이다.
보기 검토
• ① \(x=Ay\): 형태는 직선이지만 \(\dfrac{dy}{dx}\) 관계를 뒤집어 세운 것으로 유도과정과 맞지 않는다.
• ③ \(y=Ax^2\)·④ \(xy=A\): 원점을 지나는 방사 직선이 아니어서 등전위 동심원과 수직 조건을 만족하지 못한다.