전자기학
전자기학
전기쌍극자
2004.5 기출
쌍극자모멘트 \(M\)인 전기쌍극자에서 축과 점 P를 잇는 각이 얼마일 때 전계가 최대인가?
- ① 0 정답
- ② \(\pi/2\)
- ③ \(\pi/3\)
- ④ \(\pi/4\)
📖 해설
전기쌍극자의 전계
쌍극자 모멘트 \(M=q\,d\)인 쌍극자에서, 거리 \(r\)·각 \(\theta\)인 점 P의 전위는\[ V=\dfrac{M\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0 r^2} \]이다. 전계는 \(\vec E=-\nabla V\)로 구면좌표에서 반경·접선 성분을 갖는다.\[ E_r=-\dfrac{\partial V}{\partial r}=\dfrac{2M\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0 r^3},\quad E_\theta=-\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial V}{\partial\theta}=\dfrac{M\sin\theta}{4\pi\varepsilon_0 r^3} \]
전계의 크기\[ E=\sqrt{E_r^2+E_\theta^2}=\dfrac{M}{4\pi\varepsilon_0 r^3}\sqrt{4\cos^2\theta+\sin^2\theta} \]\[ =\dfrac{M}{4\pi\varepsilon_0 r^3}\sqrt{1+3\cos^2\theta} \]
최대·최소 판정
\(\sqrt{1+3\cos^2\theta}\)는 \(\cos^2\theta\)가 클수록 커진다.
• \(\theta=0\)(축상): \(\cos^2\theta=1\) → \(\sqrt{4}=2\) → 최대 \(\bigl(E=\tfrac{2M}{4\pi\varepsilon_0 r^3}\bigr)\)
• \(\theta=\pi/2\)(적도상): \(\cos^2\theta=0\) → \(\sqrt{1}=1\) → 최소(축상의 절반)
따라서 전계가 최대인 각은 ① \(\theta=0\). 축상 전계는 적도상 전계의 2배다.
보기 검토
• ② \(\pi/2\): 오히려 전계가 최소인 각
• ③ \(\pi/3\)·④ \(\pi/4\): \(\cos^2\theta\)가 1보다 작아 최대가 될 수 없다.
쌍극자 모멘트 \(M=q\,d\)인 쌍극자에서, 거리 \(r\)·각 \(\theta\)인 점 P의 전위는\[ V=\dfrac{M\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0 r^2} \]이다. 전계는 \(\vec E=-\nabla V\)로 구면좌표에서 반경·접선 성분을 갖는다.\[ E_r=-\dfrac{\partial V}{\partial r}=\dfrac{2M\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0 r^3},\quad E_\theta=-\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial V}{\partial\theta}=\dfrac{M\sin\theta}{4\pi\varepsilon_0 r^3} \]
전계의 크기\[ E=\sqrt{E_r^2+E_\theta^2}=\dfrac{M}{4\pi\varepsilon_0 r^3}\sqrt{4\cos^2\theta+\sin^2\theta} \]\[ =\dfrac{M}{4\pi\varepsilon_0 r^3}\sqrt{1+3\cos^2\theta} \]
최대·최소 판정
\(\sqrt{1+3\cos^2\theta}\)는 \(\cos^2\theta\)가 클수록 커진다.
• \(\theta=0\)(축상): \(\cos^2\theta=1\) → \(\sqrt{4}=2\) → 최대 \(\bigl(E=\tfrac{2M}{4\pi\varepsilon_0 r^3}\bigr)\)
• \(\theta=\pi/2\)(적도상): \(\cos^2\theta=0\) → \(\sqrt{1}=1\) → 최소(축상의 절반)
따라서 전계가 최대인 각은 ① \(\theta=0\). 축상 전계는 적도상 전계의 2배다.
보기 검토
• ② \(\pi/2\): 오히려 전계가 최소인 각
• ③ \(\pi/3\)·④ \(\pi/4\): \(\cos^2\theta\)가 1보다 작아 최대가 될 수 없다.