전자기학
정전계
영상전하 일
2018.3 기출
무한 평면도체에서 수직거리 \(r\)에 있는 점전하 \(Q\)를 무한원까지 옮기는 데 필요한 일은?
- ① \(\frac{Q^2}{4\pi\varepsilon_0 r}\)
- ② \(\frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0 r}\)
- ③ \(\frac{Q^2}{16\pi\varepsilon_0 r}\) 정답
- ④ \(\frac{Q^2}{32\pi\varepsilon_0 r}\)
📖 해설
영상전하법으로 힘을 구한다
접지된 무한 평면도체 앞 거리 \(r\)의 점전하 \(Q\)는, 평면 뒤쪽 거리 \(r\)에 있는 영상전하 \(-Q\)와 등가입니다(두 전하 사이 거리 \(2r\)).
점전하가 평면에서 거리 \(x\)일 때 영상전하와의 인력은
\[ F(x)=\frac{Q\cdot Q}{4\pi\varepsilon_0(2x)^2}=\frac{Q^2}{16\pi\varepsilon_0 x^2} \]
무한원까지 옮기는 일 (인력을 거슬러 한 일)
\[ W=\int_r^{\infty}F(x)\,dx=\frac{Q^2}{16\pi\varepsilon_0}\int_r^{\infty}\frac{dx}{x^2}=\frac{Q^2}{16\pi\varepsilon_0}\Big[-\frac1x\Big]_r^{\infty} \]
\[ W=\frac{Q^2}{16\pi\varepsilon_0 r}\ [\text{J}] \]
⚠ 흔한 함정 (2배로 틀리기 쉬움)
영상전하를 고정된 실제 전하로 착각해 위치에너지 \(\dfrac{Q^2}{4\pi\varepsilon_0(2r)}=\dfrac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0 r}\)로 계산하면 2배가 되어 틀립니다. 영상전하는 도체에 유도된 것이라 점전하가 움직이면 함께 움직이므로, 실제 일은 그 절반인 \(\dfrac{Q^2}{16\pi\varepsilon_0 r}\)입니다. (힘을 직접 적분하면 자동으로 올바른 값이 나옵니다.)
접지된 무한 평면도체 앞 거리 \(r\)의 점전하 \(Q\)는, 평면 뒤쪽 거리 \(r\)에 있는 영상전하 \(-Q\)와 등가입니다(두 전하 사이 거리 \(2r\)).
점전하가 평면에서 거리 \(x\)일 때 영상전하와의 인력은
\[ F(x)=\frac{Q\cdot Q}{4\pi\varepsilon_0(2x)^2}=\frac{Q^2}{16\pi\varepsilon_0 x^2} \]
무한원까지 옮기는 일 (인력을 거슬러 한 일)
\[ W=\int_r^{\infty}F(x)\,dx=\frac{Q^2}{16\pi\varepsilon_0}\int_r^{\infty}\frac{dx}{x^2}=\frac{Q^2}{16\pi\varepsilon_0}\Big[-\frac1x\Big]_r^{\infty} \]
\[ W=\frac{Q^2}{16\pi\varepsilon_0 r}\ [\text{J}] \]
⚠ 흔한 함정 (2배로 틀리기 쉬움)
영상전하를 고정된 실제 전하로 착각해 위치에너지 \(\dfrac{Q^2}{4\pi\varepsilon_0(2r)}=\dfrac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0 r}\)로 계산하면 2배가 되어 틀립니다. 영상전하는 도체에 유도된 것이라 점전하가 움직이면 함께 움직이므로, 실제 일은 그 절반인 \(\dfrac{Q^2}{16\pi\varepsilon_0 r}\)입니다. (힘을 직접 적분하면 자동으로 올바른 값이 나옵니다.)