전자기학
정전계
전위경도
2017.8 기출
점전하 전위함수 \(V=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r}\)일 때 grad V(=∇V)는?
- ① \(-\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}a_r\) 정답
- ② \(+\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}a_r\)
- ③ \(\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r}\)
- ④ \(0\)
📖 해설
전위 경도(gradient)와 전계의 관계
전계는 전위의 음의 기울기입니다: \(\mathbf{E}=-\nabla V\) → \(\nabla V=-\mathbf{E}\).
직접 계산 (구면좌표 · r만의 함수)
\(V=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r}\)는 \(r\)에만 의존하므로
\[ \nabla V=\frac{dV}{dr}\,\mathbf{a}_r=\frac{d}{dr}\!\left(\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r}\right)\mathbf{a}_r=-\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\,\mathbf{a}_r \]확인
점전하 전계 \(\mathbf{E}=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\mathbf{a}_r\) 이므로 \(\nabla V=-\mathbf{E}\)로 일치합니다. (\(\nabla V\)는 전위가 증가하는 방향, \(\mathbf{E}\)는 감소하는 방향 → 부호가 반대)
※ 함정 — 부호(−)를 빠뜨려 \(+\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}a_r\)로 답하면 오답(그건 \(+E\)). \(\dfrac{d}{dr}\dfrac{1}{r}=-\dfrac{1}{r^2}\)에서 (−)가 나옵니다.
전계는 전위의 음의 기울기입니다: \(\mathbf{E}=-\nabla V\) → \(\nabla V=-\mathbf{E}\).
직접 계산 (구면좌표 · r만의 함수)
\(V=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r}\)는 \(r\)에만 의존하므로
\[ \nabla V=\frac{dV}{dr}\,\mathbf{a}_r=\frac{d}{dr}\!\left(\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r}\right)\mathbf{a}_r=-\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\,\mathbf{a}_r \]확인
점전하 전계 \(\mathbf{E}=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\mathbf{a}_r\) 이므로 \(\nabla V=-\mathbf{E}\)로 일치합니다. (\(\nabla V\)는 전위가 증가하는 방향, \(\mathbf{E}\)는 감소하는 방향 → 부호가 반대)
※ 함정 — 부호(−)를 빠뜨려 \(+\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}a_r\)로 답하면 오답(그건 \(+E\)). \(\dfrac{d}{dr}\dfrac{1}{r}=-\dfrac{1}{r^2}\)에서 (−)가 나옵니다.