전자기학
정전계
전하밀도
2017.5 기출
비유전율 2인 유전체 내 전위가 \(V=40x^2 y\)[V]로 주어질 때, 점 \((\tfrac12,\,2)\)에서 체적전하밀도 \(\rho\)[C/m³]는?
- ① \(-20\varepsilon_0\)
- ② \(-40\varepsilon_0\)
- ③ \(-160\varepsilon_0\)
- ④ \(-320\varepsilon_0\) 정답
📖 해설
포아송 방정식으로 전하밀도 구하기
\[ \rho=-\varepsilon\nabla^2 V=-\varepsilon_0\varepsilon_r\nabla^2 V \]
① 라플라시안 계산
\(V=40x^2 y\)이므로
\[ \frac{\partial^2 V}{\partial x^2}=80y,\quad \frac{\partial^2 V}{\partial y^2}=0,\quad \frac{\partial^2 V}{\partial z^2}=0 \]
\[ \nabla^2 V=80y \]
② 점 \((\tfrac12,2)\) 대입 (y=2)
\[ \nabla^2 V=80\times2=160 \]
③ 전하밀도 (\(\varepsilon_r=2\))
\[ \rho=-\varepsilon_0\varepsilon_r\nabla^2 V=-\varepsilon_0\times2\times160=-320\,\varepsilon_0\ [\text{C/m}^3] \]
핵심 — 전위를 두 번 미분(라플라시안)한 뒤 \(-\varepsilon_0\varepsilon_r\)을 곱합니다. (전하가 없으면 \(\nabla^2V=0\), 라플라스 방정식)
\[ \rho=-\varepsilon\nabla^2 V=-\varepsilon_0\varepsilon_r\nabla^2 V \]
① 라플라시안 계산
\(V=40x^2 y\)이므로
\[ \frac{\partial^2 V}{\partial x^2}=80y,\quad \frac{\partial^2 V}{\partial y^2}=0,\quad \frac{\partial^2 V}{\partial z^2}=0 \]
\[ \nabla^2 V=80y \]
② 점 \((\tfrac12,2)\) 대입 (y=2)
\[ \nabla^2 V=80\times2=160 \]
③ 전하밀도 (\(\varepsilon_r=2\))
\[ \rho=-\varepsilon_0\varepsilon_r\nabla^2 V=-\varepsilon_0\times2\times160=-320\,\varepsilon_0\ [\text{C/m}^3] \]
핵심 — 전위를 두 번 미분(라플라시안)한 뒤 \(-\varepsilon_0\varepsilon_r\)을 곱합니다. (전하가 없으면 \(\nabla^2V=0\), 라플라스 방정식)