전자기학
정전계
반복법 전위
2017.5 기출
정방형관 격자점의 전위를 반복법으로 구할 때 격자점 전위는 약 몇 V인가?
- ① 6.3
- ② 9.4 정답
- ③ 18.8
- ④ 53.2
📖 해설
격자점 전위 — 반복법(이완법, Relaxation) (그림)
전하가 없는 영역의 전위는 라플라스 방정식 \(\nabla^2V=0\)을 만족하며, 격자로 이산화하면 각 격자점 전위는 이웃 4점(상·하·좌·우)의 평균으로 수렴합니다:
\[ V_0=\tfrac14\,(V_1+V_2+V_3+V_4) \]절차: 경계(정방형관 벽) 전위를 고정한 뒤, 내부 격자점을 위 식으로 값이 변하지 않을 때까지 반복 계산합니다.
계산(예시)
어떤 내부 격자점의 이웃 4점 전위가 수렴 후 \(12.5,\ 12.5,\ 12.5,\ 0\,\text{V}\)라면:
\[ V_0=\frac{12.5+12.5+12.5+0}{4}=\frac{37.5}{4}\approx 9.4\,\text{V} \]→ 약 9.4V. 정답 ②.
※ 원 문제는 경계 전위 배치가 그림으로 주어졌던 문항이라, 계산이 보이도록 대표적인 이웃값으로 재구성했습니다. 핵심은 ‘이웃 4점 평균을 반복’해 전위를 구한다는 것입니다(직접 연립하는 가우스 소거보다 격자에 효율적).
전하가 없는 영역의 전위는 라플라스 방정식 \(\nabla^2V=0\)을 만족하며, 격자로 이산화하면 각 격자점 전위는 이웃 4점(상·하·좌·우)의 평균으로 수렴합니다:
\[ V_0=\tfrac14\,(V_1+V_2+V_3+V_4) \]절차: 경계(정방형관 벽) 전위를 고정한 뒤, 내부 격자점을 위 식으로 값이 변하지 않을 때까지 반복 계산합니다.
계산(예시)
어떤 내부 격자점의 이웃 4점 전위가 수렴 후 \(12.5,\ 12.5,\ 12.5,\ 0\,\text{V}\)라면:
\[ V_0=\frac{12.5+12.5+12.5+0}{4}=\frac{37.5}{4}\approx 9.4\,\text{V} \]→ 약 9.4V. 정답 ②.
※ 원 문제는 경계 전위 배치가 그림으로 주어졌던 문항이라, 계산이 보이도록 대표적인 이웃값으로 재구성했습니다. 핵심은 ‘이웃 4점 평균을 반복’해 전위를 구한다는 것입니다(직접 연립하는 가우스 소거보다 격자에 효율적).