전자기학
벡터해석
curl
2016.3 기출
원통좌표계에서 벡터 \(\vec A=2r\,\hat a_r+r^2\,\hat a_\phi+\sin\phi\,\hat a_z\)일 때, 점 \((r=3,\ \phi=180°)\)에서 \(\nabla\times\vec A\)의 \(r\)성분(\(\hat a_r\) 계수)은 약 얼마인가?
- ① 0.33
- ② −0.33 정답
- ③ 3.0
- ④ −3.0
📖 해설
원통좌표계의 curl 공식
\[ \nabla\times\vec A=\Big(\tfrac1r\tfrac{\partial A_z}{\partial\phi}-\tfrac{\partial A_\phi}{\partial z}\Big)\hat a_r+\Big(\tfrac{\partial A_r}{\partial z}-\tfrac{\partial A_z}{\partial r}\Big)\hat a_\phi+\tfrac1r\Big(\tfrac{\partial(rA_\phi)}{\partial r}-\tfrac{\partial A_r}{\partial\phi}\Big)\hat a_z \]
① 성분 확인
\(A_r=2r,\quad A_\phi=r^2,\quad A_z=\sin\phi\)
② \(r\)성분(\(\hat a_r\)) 계산
\[ (\nabla\times\vec A)_r=\frac1r\frac{\partial A_z}{\partial\phi}-\frac{\partial A_\phi}{\partial z} \]
\(\dfrac{\partial A_z}{\partial\phi}=\dfrac{\partial(\sin\phi)}{\partial\phi}=\cos\phi\), \(\quad\dfrac{\partial A_\phi}{\partial z}=\dfrac{\partial(r^2)}{\partial z}=0\)
\[ (\nabla\times\vec A)_r=\frac{\cos\phi}{r} \]
③ 점 \((r=3,\ \phi=180°)\) 대입
\[ (\nabla\times\vec A)_r=\frac{\cos180°}{3}=\frac{-1}{3}\approx-0.33 \]
핵심 — 원통좌표 curl은 직교좌표와 달리 \(\tfrac1r\) 인자와 \(r A_\phi\) 형태가 들어갑니다. 각 성분이 어떤 편미분의 조합인지 공식을 정확히 적용하는 것이 관건입니다.
\[ \nabla\times\vec A=\Big(\tfrac1r\tfrac{\partial A_z}{\partial\phi}-\tfrac{\partial A_\phi}{\partial z}\Big)\hat a_r+\Big(\tfrac{\partial A_r}{\partial z}-\tfrac{\partial A_z}{\partial r}\Big)\hat a_\phi+\tfrac1r\Big(\tfrac{\partial(rA_\phi)}{\partial r}-\tfrac{\partial A_r}{\partial\phi}\Big)\hat a_z \]
① 성분 확인
\(A_r=2r,\quad A_\phi=r^2,\quad A_z=\sin\phi\)
② \(r\)성분(\(\hat a_r\)) 계산
\[ (\nabla\times\vec A)_r=\frac1r\frac{\partial A_z}{\partial\phi}-\frac{\partial A_\phi}{\partial z} \]
\(\dfrac{\partial A_z}{\partial\phi}=\dfrac{\partial(\sin\phi)}{\partial\phi}=\cos\phi\), \(\quad\dfrac{\partial A_\phi}{\partial z}=\dfrac{\partial(r^2)}{\partial z}=0\)
\[ (\nabla\times\vec A)_r=\frac{\cos\phi}{r} \]
③ 점 \((r=3,\ \phi=180°)\) 대입
\[ (\nabla\times\vec A)_r=\frac{\cos180°}{3}=\frac{-1}{3}\approx-0.33 \]
핵심 — 원통좌표 curl은 직교좌표와 달리 \(\tfrac1r\) 인자와 \(r A_\phi\) 형태가 들어갑니다. 각 성분이 어떤 편미분의 조합인지 공식을 정확히 적용하는 것이 관건입니다.