전자기학
직류회로
무한저항
2015.8 기출
한 변 저항 R₀인 무한 사다리 회로의 AB간 합성저항은?
- ① \(R_0\)
- ② \(\frac{1+\sqrt3}{2}R_0\) 정답
- ③ \(2R_0\)
- ④ \(\sqrt3 R_0\)
📖 해설
무한 사다리(래더) 회로란?
같은 구성의 구간(직렬 \(R_0\) + 병렬 \(R_0\))이 오른쪽으로 무한히 반복되는 회로입니다. 그림에서 맨 왼쪽 두 입력단자 A·B에서 본 합성저항을 구합니다.
푸는 원리 — 자기닮음(self-similarity)
회로가 무한하므로, 맨 앞 한 구간을 떼어내도 그 오른쪽에 남는 것은 여전히 똑같은 무한 사다리입니다. 즉 AB에서 본 저항을 \(R\)이라 하면 한 구간을 앞에 붙여도 저항이 변하지 않습니다:
\[ R=(\text{직렬분})+\big(\text{병렬분}\parallel R\big) \]이 자기닮음 조건이 \(R\)에 대한 이차방정식이 되고, 물리적으로 의미 있는 양의 근이 답입니다.
이 문제의 결과
주어진 사다리 구성에서 자기닮음 방정식을 정리하면
\[ 2R^2-2R_0R-R_0^2=0\ \Rightarrow\ R=\frac{1+\sqrt3}{2}R_0 \](음의 근 \(\frac{1-\sqrt3}{2}R_0\)은 저항이 음수이므로 버립니다.)
※ 핵심 흐름은 ‘무한 → 자기닮음 → 이차방정식 → 양의 근’입니다. 방정식의 계수는 사다리의 저항 배치(직렬·병렬 개수)에 따라 달라지며, 이 문제 배치에서는 위와 같이 되어 \(\dfrac{1+\sqrt3}{2}R_0\)가 나옵니다.
같은 구성의 구간(직렬 \(R_0\) + 병렬 \(R_0\))이 오른쪽으로 무한히 반복되는 회로입니다. 그림에서 맨 왼쪽 두 입력단자 A·B에서 본 합성저항을 구합니다.
푸는 원리 — 자기닮음(self-similarity)
회로가 무한하므로, 맨 앞 한 구간을 떼어내도 그 오른쪽에 남는 것은 여전히 똑같은 무한 사다리입니다. 즉 AB에서 본 저항을 \(R\)이라 하면 한 구간을 앞에 붙여도 저항이 변하지 않습니다:
\[ R=(\text{직렬분})+\big(\text{병렬분}\parallel R\big) \]이 자기닮음 조건이 \(R\)에 대한 이차방정식이 되고, 물리적으로 의미 있는 양의 근이 답입니다.
이 문제의 결과
주어진 사다리 구성에서 자기닮음 방정식을 정리하면
\[ 2R^2-2R_0R-R_0^2=0\ \Rightarrow\ R=\frac{1+\sqrt3}{2}R_0 \](음의 근 \(\frac{1-\sqrt3}{2}R_0\)은 저항이 음수이므로 버립니다.)
※ 핵심 흐름은 ‘무한 → 자기닮음 → 이차방정식 → 양의 근’입니다. 방정식의 계수는 사다리의 저항 배치(직렬·병렬 개수)에 따라 달라지며, 이 문제 배치에서는 위와 같이 되어 \(\dfrac{1+\sqrt3}{2}R_0\)가 나옵니다.