전자기학
정자계
코일 자계
2013.8 기출
같은 길이 도선을 M회·N회 감은 원형 코일에 같은 전류를 흘릴 때 중심 자계의 비 \(H_M/H_N\)는?
- ① \(N/M\)
- ② \(M/N\)
- ③ \((N/M)^2\)
- ④ \((M/N)^2\) 정답
📖 해설
핵심 — '같은 길이 도선'이 조건
길이 \(L\)의 도선을 \(N\)번 감아 원형 코일을 만들면 원둘레의 총합이 도선 길이와 같습니다.
\(N\cdot 2\pi r=L\ \Rightarrow\ r=\dfrac{L}{2\pi N}\), 즉 감은 수가 많을수록 반지름이 작아집니다 (\(r\propto 1/N\)).
원형 코일 중심 자계
\(N\)회 코일 중심의 자계는 \(H=\dfrac{NI}{2r}\). 여기에 \(r=\dfrac{L}{2\pi N}\)를 대입하면
\(H=\dfrac{NI}{2}\cdot\dfrac{2\pi N}{L}=\dfrac{\pi N^2 I}{L}\ \Rightarrow\ H\propto N^2.\)
풀이
\(H_M=\dfrac{\pi M^2 I}{L},\quad H_N=\dfrac{\pi N^2 I}{L}\) 이므로 \(\dfrac{H_M}{H_N}=\dfrac{M^2}{N^2}=\left(\dfrac{M}{N}\right)^2.\)
왜 \(N\)이 아니라 \(N^2\)인가? (흔한 오해)
\(H=\dfrac{NI}{2r}\)만 보면 감은 수 \(N\)에만 비례할 것 같지만, 반지름 \(r\)이 고정이 아닙니다. 도선 길이가 같아 많이 감을수록 반지름이 작아지므로(\(r\propto 1/N\)), 분자의 \(N\)(감은 수)과 분모의 \(\dfrac{1}{r}\,(\propto N)\)이 함께 작용해 \(N\times N=N^2\)이 됩니다.
따라서 정답은 \(\left(\dfrac{M}{N}\right)^2\).
※ 만약 반지름 \(r\)이 일정하다는 조건이었다면 \(H\propto N\)이 되어 답은 \(M/N\)이 됩니다. 이 문제는 '같은 길이 도선'이라 반지름이 함께 변하는 것이 핵심입니다.
길이 \(L\)의 도선을 \(N\)번 감아 원형 코일을 만들면 원둘레의 총합이 도선 길이와 같습니다.
\(N\cdot 2\pi r=L\ \Rightarrow\ r=\dfrac{L}{2\pi N}\), 즉 감은 수가 많을수록 반지름이 작아집니다 (\(r\propto 1/N\)).
원형 코일 중심 자계
\(N\)회 코일 중심의 자계는 \(H=\dfrac{NI}{2r}\). 여기에 \(r=\dfrac{L}{2\pi N}\)를 대입하면
\(H=\dfrac{NI}{2}\cdot\dfrac{2\pi N}{L}=\dfrac{\pi N^2 I}{L}\ \Rightarrow\ H\propto N^2.\)
풀이
\(H_M=\dfrac{\pi M^2 I}{L},\quad H_N=\dfrac{\pi N^2 I}{L}\) 이므로 \(\dfrac{H_M}{H_N}=\dfrac{M^2}{N^2}=\left(\dfrac{M}{N}\right)^2.\)
왜 \(N\)이 아니라 \(N^2\)인가? (흔한 오해)
\(H=\dfrac{NI}{2r}\)만 보면 감은 수 \(N\)에만 비례할 것 같지만, 반지름 \(r\)이 고정이 아닙니다. 도선 길이가 같아 많이 감을수록 반지름이 작아지므로(\(r\propto 1/N\)), 분자의 \(N\)(감은 수)과 분모의 \(\dfrac{1}{r}\,(\propto N)\)이 함께 작용해 \(N\times N=N^2\)이 됩니다.
따라서 정답은 \(\left(\dfrac{M}{N}\right)^2\).
※ 만약 반지름 \(r\)이 일정하다는 조건이었다면 \(H\propto N\)이 되어 답은 \(M/N\)이 됩니다. 이 문제는 '같은 길이 도선'이라 반지름이 함께 변하는 것이 핵심입니다.