전자기학
정전계
정전용량
기출유사
동축케이블(내반지름 a, 외반지름 b, 길이 l)의 정전용량은?
- ① \(C=\dfrac{2\pi\varepsilon l}{\ln(b/a)}\) 정답
- ② \(C=\dfrac{\varepsilon l}{2\pi\ln(b/a)}\)
- ③ \(C=2\pi\varepsilon l\ln(b/a)\)
- ④ \(C=\dfrac{4\pi\varepsilon ab}{b-a}\)
📖 해설
정답: \(C=\dfrac{2\pi\varepsilon l}{\ln(b/a)}\)
① 구조
내도체에 \(+Q\), 외도체에 \(-Q\)가 있고 사이를 유전율 \(\varepsilon\)의 유전체가 채웁니다. 전계 \(E\)는 중심에서 바깥으로 방사형(반지름 방향)으로 퍼집니다.
② 가우스 법칙으로 전계 E 구하기
반지름 \(r\)인 원통(길이 \(l\))을 가우스면으로 잡으면 측면적 \(=2\pi r l\):
\[ E\cdot(2\pi r l)=\frac{Q}{\varepsilon}\ \Rightarrow\ E=\frac{Q}{2\pi\varepsilon l\,r} \]즉 \(E\)는 \(r\)에 반비례합니다(안쪽이 셈).
③ 전위차 V (a에서 b까지 E 적분)
\[ V=\int_a^b E\,dr=\frac{Q}{2\pi\varepsilon l}\int_a^b\frac{dr}{r}=\frac{Q}{2\pi\varepsilon l}\ln\frac{b}{a} \]④ 정전용량 C = Q/V
\[ C=\frac{Q}{V}=\frac{Q}{\dfrac{Q}{2\pi\varepsilon l}\ln(b/a)}=\frac{2\pi\varepsilon l}{\ln(b/a)} \]
핵심 직관·암기
• 원통(동축) → 분모에 \(\ln(b/a)\) (로그!)
• 동심구 → \(C=\dfrac{4\pi\varepsilon ab}{b-a}\)
• 평행판 → \(C=\dfrac{\varepsilon S}{d}\)
반지름비 \(b/a\)가 클수록(외피가 멀수록) \(\ln(b/a)\)가 커져 정전용량은 작아집니다. "동축 = 2πεl ÷ ln(b/a)"로 외우세요.
① 구조
내도체에 \(+Q\), 외도체에 \(-Q\)가 있고 사이를 유전율 \(\varepsilon\)의 유전체가 채웁니다. 전계 \(E\)는 중심에서 바깥으로 방사형(반지름 방향)으로 퍼집니다.
② 가우스 법칙으로 전계 E 구하기
반지름 \(r\)인 원통(길이 \(l\))을 가우스면으로 잡으면 측면적 \(=2\pi r l\):
\[ E\cdot(2\pi r l)=\frac{Q}{\varepsilon}\ \Rightarrow\ E=\frac{Q}{2\pi\varepsilon l\,r} \]즉 \(E\)는 \(r\)에 반비례합니다(안쪽이 셈).
③ 전위차 V (a에서 b까지 E 적분)
\[ V=\int_a^b E\,dr=\frac{Q}{2\pi\varepsilon l}\int_a^b\frac{dr}{r}=\frac{Q}{2\pi\varepsilon l}\ln\frac{b}{a} \]④ 정전용량 C = Q/V
\[ C=\frac{Q}{V}=\frac{Q}{\dfrac{Q}{2\pi\varepsilon l}\ln(b/a)}=\frac{2\pi\varepsilon l}{\ln(b/a)} \]
핵심 직관·암기
• 원통(동축) → 분모에 \(\ln(b/a)\) (로그!)
• 동심구 → \(C=\dfrac{4\pi\varepsilon ab}{b-a}\)
• 평행판 → \(C=\dfrac{\varepsilon S}{d}\)
반지름비 \(b/a\)가 클수록(외피가 멀수록) \(\ln(b/a)\)가 커져 정전용량은 작아집니다. "동축 = 2πεl ÷ ln(b/a)"로 외우세요.