전자기학
정전계
반복법
2012.8 기출
정방형관 단면 격자점의 전위를 구하는 수치 해석법은?
- ① 가우스 소거
- ② 반복법(이웃 4점 평균) 정답
- ③ 적분법
- ④ 미분법
📖 해설
격자점 전위 — 유한차분 반복법(완화법) (그림)
전하가 없는 영역의 전위는 라플라스 방정식 \(\nabla^2 V=0\)을 만족합니다. 이를 격자(그리드)로 이산화하면, 각 격자점 전위는 상·하·좌·우 이웃 4점의 평균이 됩니다:
\[ V_0=\tfrac14\,(V_1+V_2+V_3+V_4) \]유도: \(\nabla^2V=\dfrac{\partial^2V}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2V}{\partial y^2}=0\)을 간격 \(h\)로 중심차분하면
\[ \frac{V_1+V_2+V_3+V_4-4V_0}{h^2}=0\ \Rightarrow\ V_0=\tfrac14(V_1+V_2+V_3+V_4) \]절차: 경계(정방형관 벽) 전위를 고정한 뒤, 내부 격자점들을 위 식으로 반복 계산해 값이 수렴할 때까지 갱신합니다(가우스–자이델/완화법).
오답 정리
• ① 가우스 소거 — 연립방정식 직접 풀이(격자 규모가 크면 비효율, 이 문제의 표준 기법 아님)
• ③ 적분법 · ④ 미분법 — 이산 격자 전위 계산법이 아님
∴ 정답 ② 반복법(이웃 4점 평균).
전하가 없는 영역의 전위는 라플라스 방정식 \(\nabla^2 V=0\)을 만족합니다. 이를 격자(그리드)로 이산화하면, 각 격자점 전위는 상·하·좌·우 이웃 4점의 평균이 됩니다:
\[ V_0=\tfrac14\,(V_1+V_2+V_3+V_4) \]유도: \(\nabla^2V=\dfrac{\partial^2V}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2V}{\partial y^2}=0\)을 간격 \(h\)로 중심차분하면
\[ \frac{V_1+V_2+V_3+V_4-4V_0}{h^2}=0\ \Rightarrow\ V_0=\tfrac14(V_1+V_2+V_3+V_4) \]절차: 경계(정방형관 벽) 전위를 고정한 뒤, 내부 격자점들을 위 식으로 반복 계산해 값이 수렴할 때까지 갱신합니다(가우스–자이델/완화법).
오답 정리
• ① 가우스 소거 — 연립방정식 직접 풀이(격자 규모가 크면 비효율, 이 문제의 표준 기법 아님)
• ③ 적분법 · ④ 미분법 — 이산 격자 전위 계산법이 아님
∴ 정답 ② 반복법(이웃 4점 평균).