전자기학
정전계
가우스 법칙
기출유사
반지름 r = 0.5 [m]인 구의 중심에 \(Q = 2 \times 10^{-6}\) [C]의 점전하가 있을 때, 구 표면에서의 전속밀도 D [C/m²]는?
- ① \(3.18 \times 10^{-7}\) [C/m²]
- ② \(6.37 \times 10^{-7}\) [C/m²] 정답
- ③ \(1.27 \times 10^{-6}\) [C/m²]
- ④ \(2.54 \times 10^{-6}\) [C/m²]
📖 해설
가우스 법칙과 전속밀도 D
전속밀도 \(D\)는 단위면적을 지나는 전기력선속(전속)의 밀도로, 매질(유전율)과 무관하게 전하로부터 방사상으로 퍼진다.
① 가우스 법칙
임의의 폐곡면을 지나는 전속의 총합은 그 안에 든 전하량과 같다.\[ \oint \vec D\cdot d\vec S = Q \]점전하를 중심에 둔 반지름 \(r\)의 구면에서는 \(D\)가 표면에 수직·균일하므로,\[ D\cdot(4\pi r^2)=Q \;\Rightarrow\; D=\dfrac{Q}{4\pi r^2} \]여기서 \(4\pi r^2\)은 구의 겉넓이다.
② 수치 대입\[ D=\dfrac{2\times10^{-6}}{4\pi\times(0.5)^2}=\dfrac{2\times10^{-6}}{\pi} \]\[ \approx 6.37\times10^{-7}\;[\text{C/m}^2] \]정답은 ② \(6.37\times10^{-7}\) C/m².
③ 보기 검토
• ① \(3.18\times10^{-7}\): 정답의 \(\tfrac12\)배 — 구 겉넓이를 \(2\pi r^2\)로 잘못 씀
• ③ \(1.27\times10^{-6}\): 정답의 2배 — \(4\pi r^2\) 대신 \(2\pi r^2\)로 계산
• ④ \(2.54\times10^{-6}\): 정답의 4배 — \(r^2\)의 \((0.5)^2=0.25\) 반영을 빠뜨림
참고 — 전계 \(E=\dfrac{D}{\varepsilon_0}=\dfrac{6.37\times10^{-7}}{8.855\times10^{-12}}\approx7.2\times10^{4}\)[V/m]. \(D\)는 매질과 무관하지만 \(E\)는 유전율에 따라 달라진다.
전속밀도 \(D\)는 단위면적을 지나는 전기력선속(전속)의 밀도로, 매질(유전율)과 무관하게 전하로부터 방사상으로 퍼진다.
① 가우스 법칙
임의의 폐곡면을 지나는 전속의 총합은 그 안에 든 전하량과 같다.\[ \oint \vec D\cdot d\vec S = Q \]점전하를 중심에 둔 반지름 \(r\)의 구면에서는 \(D\)가 표면에 수직·균일하므로,\[ D\cdot(4\pi r^2)=Q \;\Rightarrow\; D=\dfrac{Q}{4\pi r^2} \]여기서 \(4\pi r^2\)은 구의 겉넓이다.
② 수치 대입\[ D=\dfrac{2\times10^{-6}}{4\pi\times(0.5)^2}=\dfrac{2\times10^{-6}}{\pi} \]\[ \approx 6.37\times10^{-7}\;[\text{C/m}^2] \]정답은 ② \(6.37\times10^{-7}\) C/m².
③ 보기 검토
• ① \(3.18\times10^{-7}\): 정답의 \(\tfrac12\)배 — 구 겉넓이를 \(2\pi r^2\)로 잘못 씀
• ③ \(1.27\times10^{-6}\): 정답의 2배 — \(4\pi r^2\) 대신 \(2\pi r^2\)로 계산
• ④ \(2.54\times10^{-6}\): 정답의 4배 — \(r^2\)의 \((0.5)^2=0.25\) 반영을 빠뜨림
참고 — 전계 \(E=\dfrac{D}{\varepsilon_0}=\dfrac{6.37\times10^{-7}}{8.855\times10^{-12}}\approx7.2\times10^{4}\)[V/m]. \(D\)는 매질과 무관하지만 \(E\)는 유전율에 따라 달라진다.