회로이론
비정현파
대칭성분
2022.3 기출
우함수 fe(t)와 기함수 fo(t)의 합 f(t)=fe+fo에 대한 설명으로 옳은 것은?
- ① fe는 sin만
- ② fo는 cos만
- ③ fe는 cos·직류, fo는 sin 정답
- ④ 둘 다 직류
📖 해설
푸리에 급수와 대칭성
주기함수는 직류·코사인·사인 성분의 합으로 전개된다.\[ f(t)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos n\omega t+\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin n\omega t \]여기서 각 성분의 대칭성이 핵심이다.
• 직류 \(a_0\), \(\cos n\omega t\) → 우함수(\(y\)축 대칭, \(g(-t)=g(t)\))
• \(\sin n\omega t\) → 기함수(원점 대칭, \(g(-t)=-g(t)\))
따라서
• 우함수 \(f_e(t)\) \((f_e(-t)=f_e(t))\): 우함수 성분만 가지므로 직류 + 코사인 항으로만 구성 (사인 없음)
• 기함수 \(f_o(t)\) \((f_o(-t)=-f_o(t))\): 기함수 성분만 가지므로 사인 항으로만 구성 (직류·코사인 없음)
임의의 함수는 \(f_e=\dfrac{f(t)+f(-t)}{2}\), \(f_o=\dfrac{f(t)-f(-t)}{2}\)로 나눌 수 있다.
정답은 ③ \(f_e\)는 cos·직류, \(f_o\)는 sin.
보기 검토
• ① \(f_e\)는 sin만: sin은 기함수라 우함수에 들어갈 수 없다 → 오답
• ② \(f_o\)는 cos만: cos은 우함수라 기함수에 들어갈 수 없다 → 오답
• ④ 둘 다 직류: 직류는 우함수 성분이라 기함수에는 없다 → 오답
주기함수는 직류·코사인·사인 성분의 합으로 전개된다.\[ f(t)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos n\omega t+\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin n\omega t \]여기서 각 성분의 대칭성이 핵심이다.
• 직류 \(a_0\), \(\cos n\omega t\) → 우함수(\(y\)축 대칭, \(g(-t)=g(t)\))
• \(\sin n\omega t\) → 기함수(원점 대칭, \(g(-t)=-g(t)\))
따라서
• 우함수 \(f_e(t)\) \((f_e(-t)=f_e(t))\): 우함수 성분만 가지므로 직류 + 코사인 항으로만 구성 (사인 없음)
• 기함수 \(f_o(t)\) \((f_o(-t)=-f_o(t))\): 기함수 성분만 가지므로 사인 항으로만 구성 (직류·코사인 없음)
임의의 함수는 \(f_e=\dfrac{f(t)+f(-t)}{2}\), \(f_o=\dfrac{f(t)-f(-t)}{2}\)로 나눌 수 있다.
정답은 ③ \(f_e\)는 cos·직류, \(f_o\)는 sin.
보기 검토
• ① \(f_e\)는 sin만: sin은 기함수라 우함수에 들어갈 수 없다 → 오답
• ② \(f_o\)는 cos만: cos은 우함수라 기함수에 들어갈 수 없다 → 오답
• ④ 둘 다 직류: 직류는 우함수 성분이라 기함수에는 없다 → 오답