회로이론 기출문제

회로이론 핵심
\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\), \(X_L=\omega L,\ X_C=\tfrac1{\omega C}\), 공진 \(f_0=\dfrac1{2\pi\sqrt{LC}}\), 실효값 \(\tfrac{V_m}{\sqrt2}\), 전력 \(P=VI\cos\theta\), 테브낭 등가.

풀이
옴의 법칙 \(V = IR\)

\[ I = \frac{V}{R} = \frac{50}{10} = \mathbf{5} \text{ [A]} \]
전압이 높을수록, 저항이 낮을수록 전류가 많이 흐릅니다.

직렬 저항 합성

\[ R_{total} = R_1 + R_2 + R_3 = 2 + 3 + 5 = 10 \text{ [Ω]} \]\[ I = \frac{V}{R_{total}} = \frac{100}{10} = \mathbf{10} \text{ [A]} \]
직렬 연결에서는 각 저항에 같은 전류가 흐릅니다.

병렬 저항 합성

\[ R_{eq} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{6 \times 3}{6 + 3} = \frac{18}{9} = \mathbf{2} \text{ [Ω]} \]
병렬 연결에서는 각 저항에 같은 전압이 걸립니다.
합성 저항은 각 저항보다 항상 작습니다.

분압기 (전압 분배)

\[ V_2 = V \times \frac{R_2}{R_1 + R_2} = 100 \times \frac{70}{30 + 70} = \mathbf{70} \text{ [V]} \]
직렬 회로에서 각 저항의 전압 강하는 저항값에 비례합니다.

분류기 (전류 분배)

\[ I_2 = I \times \frac{R_1}{R_1 + R_2} = 10 \times \frac{2}{2 + 8} = \mathbf{2} \text{ [A]} \]
⚠️ 병렬 회로에서 \(I_2\)는 반대편 저항 \(R_1\)에 비례합니다!
전류는 저항이 작은 쪽에 더 많이 흐릅니다.

KVL (키르히호프 전압 법칙)

먼저 전류를 구합니다:
\[ I = \frac{V}{R_1+R_2+R_3} = \frac{24}{2+4+6} = \frac{24}{12} = 2 \text{ [A]} \]
\(R_2\)의 전압 강하:
\[ V_2 = I \times R_2 = 2 \times 4 = \mathbf{8} \text{ [V]} \]
KVL: 폐회로에서 전압의 대수합 = 0

KCL (키르히호프 전류 법칙)

한 노드에서 유입 전류의 합 = 유출 전류의 합:
\[ I_1 = I_2 + I_3 + I_4 \]\[ 8 = 3 + 2 + I_4 \]\[ I_4 = 8 - 5 = \mathbf{3} \text{ [A]} \]
KCL: 노드에서 전하가 축적되지 않으므로 전류의 대수합 = 0

테브난 정리

테브난 등가회로에서 부하 전류:
\[ I_L = \frac{V_{th}}{R_{th} + R_L} = \frac{12}{4 + 4} = \frac{12}{8} = \mathbf{1.5} \text{ [A]} \]
테브난 정리: 복잡한 회로를 하나의 전압원과 직렬 저항으로 등가 변환합니다.

중첩 정리 (Superposition)
그림처럼 두 전압원 \(V_1,\ V_2\)와 저항 \(R\)이 한 루프에 직렬로 있고, 두 전원이 전류를 같은 방향(가극성)으로 흘립니다.

중첩 적용 — 한 전원만 남기고 나머지 전압원은 단락(전류원이면 개방)으로 둡니다.
• \(V_1\)만 작용: \(I'=\dfrac{V_1}{R}=\dfrac{10}{5}=2\) [A]
• \(V_2\)만 작용: \(I''=\dfrac{V_2}{R}=\dfrac{20}{5}=4\) [A]
두 성분이 같은 방향이므로 그대로 더합니다.
\[ I = I' + I'' = 2 + 4 = \mathbf{6}\ \text{[A]} \]교차 검증(직렬 가극성): 두 전원이 서로 도우므로 \(I=\dfrac{V_1+V_2}{R}=\dfrac{10+20}{5}=6\) [A] 로 일치합니다.
※ 만약 두 전원이 반대 방향(차극성)이면 \(I=\dfrac{V_2-V_1}{R}=\dfrac{20-10}{5}=2\) [A]가 됩니다.

최대 전력 전달 정리

\(R_L = R_{th}\)일 때 최대 전력이 전달됩니다.
\[ P_{max} = \frac{V_{th}^2}{4 R_{th}} = \frac{100^2}{4 \times 25} = \frac{10000}{100} = \mathbf{100} \text{ [W]} \]
이때 전원 전력의 50%가 부하에 전달되고, 50%는 내부 저항에서 소비됩니다.

정현파 실효값 (RMS)

\[ V_{rms} = \frac{V_m}{\sqrt{2}} = \frac{141.4}{1.414} = \mathbf{100} \text{ [V]} \]
실효값은 같은 크기의 직류가 같은 열을 발생시킬 때의 값입니다.
일반 가정용 220V AC는 최대값이 \(220\sqrt{2} \approx 311\)V입니다.

정현파 반주기 평균값

\[ V_{avg} = \frac{2}{ \pi} V_m = \frac{2}{\pi} \times 100 \approx 0.637 \times 100 = \mathbf{63.7} \text{ [V]} \]
파형률: \(k_f = \dfrac{V_{rms}}{V_{avg}} = \dfrac{\pi}{2\sqrt{2}} \approx 1.11\)
파고율: \(k_a = \dfrac{V_m}{V_{rms}} = \sqrt{2} \approx 1.414\)

유도 리액턴스 \(X_L = \omega L = 2\pi f L\)

\[ X_L = 2\pi \times 60 \times 0.1 = 2 \times 3.14 \times 6 = \mathbf{37.68} \text{ [Ω]} \]
주파수가 높을수록 \(X_L\)이 커져 교류를 더 많이 저지합니다.
직류(f=0)에서는 \(X_L = 0\)으로 단락과 같습니다.

용량 리액턴스 \(X_C = \dfrac{1}{\omega C} = \dfrac{1}{2\pi f C}\)

\[ X_C = \frac{1}{2\pi \times 60 \times 100 \times 10^{-6}} = \frac{1}{2 \times 3.14 \times 60 \times 10^{-4}} = \frac{1}{0.03768} \approx \mathbf{26.5} \text{ [Ω]} \]
주파수가 높을수록 \(X_C\)가 작아집니다 (직류에서는 개방과 같음).

RL 직렬 임피던스

\[ |Z| = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = \mathbf{5} \text{ [Ω]} \]
위상각: \(\theta = \arctan\dfrac{X_L}{R} = \arctan\dfrac{4}{3} \approx 53.1°\)
전류가 전압보다 위상이 뒤집니다 (지상전류).

RLC 직렬 임피던스

\[ |Z| = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{4^2 + (8-5)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = \mathbf{5} \text{ [Ω]} \]
\(X_L \gt X_C\)이면 유도성 회로 (전류 지상), \(X_L \lt X_C\)이면 용량성 회로 (전류 진상).

직렬 공진 주파수

\[ f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{0.1 \times 100 \times 10^{-6}}} \]\[ = \frac{1}{2\pi\sqrt{10^{-5}}} = \frac{1}{2 \times 3.14 \times 3.162 \times 10^{-3}} \approx \mathbf{15.9 \approx 16} \text{ [Hz]} \]
공진 시 \(X_L = X_C\), 임피던스 최소(=R), 전류 최대

역률 (Power Factor)

\[ |Z| = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ [Ω]} \]\[ \cos\theta = \frac{R}{|Z|} = \frac{6}{10} = \mathbf{0.6} \]
역률 = 유효전력 / 피상전력 = R / |Z|
역률이 1에 가까울수록 전력이 효율적으로 사용됩니다.

단상 유효전력

\[ P = VI\cos\theta = 200 \times 10 \times 0.8 = \mathbf{1600} \text{ [W]} \]
또는 \(P = I^2 R\) [W] — 저항에서 소비되는 실제 전력
단위: [W] (와트)

전력 삼각형

\[ S = \sqrt{P^2 + Q^2} = \sqrt{800^2 + 600^2} = \sqrt{640000 + 360000} = \sqrt{10^6} = \mathbf{1000} \text{ [VA]} \]
역률: \(\cos\theta = P/S = 800/1000 = 0.8\)
P [W] : 유효전력 (실제 소비), Q [VAR] : 무효전력, S [VA] : 피상전력

Y결선 전압 관계

\[ V_L = \sqrt{3} \times V_p = 1.732 \times 220 = \mathbf{381} \text{ [V]} \]
Y결선 정리:
• 선간전압 \(V_L = \sqrt{3} V_p\)
• 선전류 \(I_L = I_p\) (선전류 = 상전류)
국내 3상 계통: \(V_L = 380\)V → \(V_p = 220\)V

Δ결선 전류 관계

\[ I_L = \sqrt{3} \times I_p = 1.732 \times 10 = \mathbf{17.32} \text{ [A]} \]
Δ결선 정리:
• 선간전압 \(V_L = V_p\) (선간전압 = 상전압)
• 선전류 \(I_L = \sqrt{3} I_p\)

3상 유효전력

\[ P = \sqrt{3} V_L I_L \cos\theta = 1.732 \times 200 \times 10 \times 0.8 = \mathbf{2771} \text{ [W]} \]
3상 전력 공식 (Y·Δ 공통):
• 유효전력: \(P = \sqrt{3} V_L I_L \cos\theta\)
• 무효전력: \(Q = \sqrt{3} V_L I_L \sin\theta\)
• 피상전력: \(S = \sqrt{3} V_L I_L\)

RC 회로 시정수

\[ \tau = RC = 1 \times 10^3 \times 100 \times 10^{-6} = \mathbf{0.1} \text{ [s]} \]
시정수 τ 경과 후 전압은 최종값의 약 63.2%에 도달합니다.
\[ v_C(t) = V(1 - e^{-t/\tau}) \]
5τ 경과 후 거의 완전 충전(99.3%)됩니다.

RL 회로 과도응답

정상 상태에서 인덕터는 단락 회로로 동작합니다 (\(X_L \to 0\)).
\[ I_\infty = \frac{V}{R} = \frac{100}{10} = \mathbf{10} \text{ [A]} \]
과도응답: \[ i(t) = \frac{V}{R}(1 - e^{-t/\tau}), \quad \tau = \frac{L}{R} = \frac{0.1}{10} = 0.01 \text{ [s]} \]
초기(t=0)에는 전류 0, 정상 상태에서 V/R로 증가합니다.

단위계단 함수 라플라스 변환

\[ \mathcal{L}\{u(t)\} = \int_0^{\infty} e^{-st}\,dt = \left[-\frac{e^{-st}}{s}\right]_0^{\infty} = \frac{1}{s} \]
t≥0에서 1인 함수의 라플라스 변환은 1/s입니다.
s→∞이면 e^(-st)→0이므로 상한은 0, 하한은 -1/s → 결과 1/s.

단위임펄스 함수 라플라스 변환

임펄스 함수의 체거름 성질(sifting property)에 의해:
\[ \mathcal{L}\{\delta(t)\} = \int_0^{\infty} \delta(t)e^{-st}\,dt = e^{-s \cdot 0} = \mathbf{1} \]
δ(t)는 t=0에서만 값을 가지므로 e^(-st)의 t=0 값인 e⁰=1이 그대로 나옵니다.
모든 주파수 성분을 균일하게 포함하는 '이상적인 신호'입니다.

지수함수 라플라스 변환

일반 공식: \(\mathcal{L}\{e^{-at}u(t)\} = \dfrac{1}{s+a}\)

a=3을 대입하면:
\[ F(s) = \int_0^{\infty} e^{-3t} e^{-st}\,dt = \int_0^{\infty} e^{-(s+3)t}\,dt = \frac{1}{s+3} \]
수렴 조건: Re(s) > -3
극점이 s = -3 (좌반 평면 → 인과·안정 시스템)

초기값 정리 (Initial Value Theorem)

\[ f(0^+) = \lim_{s \to \infty} s F(s) \]

\[ sF(s) = \frac{s(s+2)}{s^2+3s+2} = \frac{s^2+2s}{s^2+3s+2} \]

분자·분모를 s²으로 나누면:
\[ \lim_{s \to \infty} \frac{1 + 2/s}{1 + 3/s + 2/s^2} = \frac{1+0}{1+0+0} = \mathbf{1} \]
⚠️ 초기값 정리: s→∞, 최종값 정리: s→0

RC 회로의 라플라스 해석

s 영역의 KVL:
\[ \frac{V}{s} = I(s) \cdot R + \frac{I(s)}{sC} \]

R=1, C=1 대입 → \(I(s) = \dfrac{V/s}{R + 1/(sC)} = \dfrac{10/s}{1 + 1/s} = \dfrac{10}{s+1}\)

콘덴서 전압:
\[ V_C(s) = \frac{I(s)}{sC} = \frac{10/(s+1)}{s} = \frac{10}{s(s+1)} \]
역변환하면 \(v_C(t) = 10(1-e^{-t})\) — 시정수 τ=RC=1 [s]

기본 주파수와 주기의 관계

\[ f_0 = \frac{1}{T} = \frac{1}{2} = \mathbf{0.5} \text{ [Hz]} \]

각주파수(기본 각주파수):
\[ \omega_0 = 2\pi f_0 = 2\pi \times 0.5 = \pi \text{ [rad/s]} \]
푸리에 급수에서 n차 고조파 주파수 = n × f₀
예: 3차 고조파 = 3 × 0.5 = 1.5 Hz

우함수(Even Function)의 푸리에 급수 대칭성

푸리에 급수: \(f(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}[a_n\cos(n\omega_0 t) + b_n\sin(n\omega_0 t)]\)

사인 계수: \[ b_n = \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(t)\sin(n\omega_0 t)\,dt \]

우함수 × 홀함수(sin) = 홀함수 → 대칭 구간 적분 = 0

정리:
• 우함수 → \(b_n = 0\) (코사인 성분만)
• 홀함수 → \(a_n = 0\) (사인 성분만)

푸리에 변환 시간 이동 성질

\[ \mathcal{F}\{f(t-t_0)\} = e^{-j\omega t_0}F(\omega) \]

증명: \(\tau = t - t_0\)으로 치환하면
\[ \int_{-\infty}^{\infty} f(t-t_0)e^{-j\omega t}dt = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)e^{-j\omega(\tau+t_0)}d\tau = e^{-j\omega t_0}F(\omega) \]

의미: 시간 지연 t₀ → 주파수 영역에서 위상 회전 e^(-jωt₀)
⚠️ 크기 스펙트럼 |F(ω)|는 변하지 않고 위상만 변합니다.

파세발 정리 (Parseval's Theorem)

\[ \int_{-\infty}^{\infty} |f(t)|^2\,dt = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} |F(\omega)|^2\,d\omega \]

의미: 시간 영역에서 계산한 에너지 = 주파수 영역에서 계산한 에너지

푸리에 변환은 에너지를 보존합니다 (유니타리 변환).
|F(ω)|²: 에너지 스펙트럼 밀도(Energy Spectral Density)
이를 이용해 주파수별 에너지 분포를 분석할 수 있습니다.

구형 펄스의 푸리에 변환과 sinc 함수

구형 펄스의 푸리에 변환:
\[ F(\omega) = A\tau \cdot \text{sinc}\!\left(\frac{\omega\tau}{2}\right) = A\tau \cdot \frac{\sin(\omega\tau/2)}{\omega\tau/2} \]

첫 번째 영점: \(\sin(\omega\tau/2) = 0\)
\[ \frac{\omega\tau}{2} = \pi \quad \Rightarrow \quad \omega = \frac{2\pi}{\tau} \]

의미: 펄스 폭 τ가 좁을수록 스펙트럼이 넓어집니다 (불확정성 원리).
첫 번째 영점 주파수: \(f = 1/\tau\) [Hz]

단위임펄스 Z변환

Z변환 정의: \(X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]z^{-n}\)

\(\delta[n]\)은 n=0에서만 1이므로:
\[ \mathcal{Z}\{\delta[n]\} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta[n]z^{-n} = z^0 = \mathbf{1} \]

비교:
• \(\delta[n]\) → Z변환 = 1 (라플라스의 δ(t) → 1과 동일)
• \(\delta[n-k]\) → Z변환 = z^(-k) (지연 성질)
수렴 영역(ROC): 모든 z (z≠0)

단위계단 Z변환

u[n]은 n≥0에서 모두 1이므로:
\[ \mathcal{Z}\{u[n]\} = \sum_{n=0}^{\infty} z^{-n} = \frac{1}{1-z^{-1}} = \frac{z}{z-1} \quad (|z|\gt 1) \]

등비급수 공식 적용: \(\sum_{n=0}^{\infty} r^n = \dfrac{1}{1-r}\) (|r|<1), 여기서 r = z⁻¹

⚠️ 시험에서 z/(z-1) 형태로 기억하세요.
극점 z=1 → ROC: |z| > 1 (인과 시스템)

지수 수열 Z변환

일반 공식: \(\mathcal{Z}\{a^n u[n]\} = \dfrac{z}{z-a}\) (|z| > |a|)

a = 0.5 대입:
\[ X(z) = \frac{z}{z-0.5} \quad (|z| \gt 0.5) \]

확인: \(X(z) = \sum_{n=0}^{\infty}(0.5)^n z^{-n} = \sum_{n=0}^{\infty}(0.5/z)^n = \dfrac{1}{1-0.5z^{-1}} = \dfrac{z}{z-0.5}\)

극점 z=0.5는 단위원 내부 → 안정 시스템

Z변환의 안정성 조건

인과 시스템의 ROC: |z| > r (단위원 포함 여부가 핵심)

BIBO 안정 조건: ROC가 단위원(|z|=1)을 포함해야 한다.
→ 이는 모든 극점이 단위원 내부(|p| < 1)에 있을 때 성립

비교 (라플라스 변환):
• 라플라스: 모든 극점이 좌반 평면(Re(s) < 0)
• Z변환: 모든 극점이 단위원 내부(|z| < 1)

대응 관계: \(z = e^{sT}\) → 좌반 평면(s) ↔ 단위원 내부(z)

역 Z변환 — 부분분수 분해법

기본 변환쌍 \(\dfrac{z}{z-a} \leftrightarrow a^n u[n]\)을 직접 적용:

\[ X(z) = \frac{z}{z-0.5} \xrightarrow{\mathcal{Z}^{-1}} x[n] = (0.5)^n u[n] \]

부분분수로 확인:
\[ \frac{X(z)}{z} = \frac{1}{z-0.5} \Rightarrow X(z) = \frac{z}{z-0.5} \]
→ 극점 z=0.5에 대한 유수: 1
→ \(x[n] = (0.5)^n u[n]\)

검증: n=0이면 x[0]=1, n=1이면 x[1]=0.5, n=2이면 x[2]=0.25 ✓

정현파의 실효값

실효값(RMS)은 최대값을 \(\sqrt2\)로 나눈 값입니다.
\[ V_{rms}=\frac{V_m}{\sqrt2}=\frac{141.4}{1.414}=100\,[\text{V}] \]
각주파수 \(\omega=377\,[\text{rad/s}]\)는 \(f=60\,[\text{Hz}]\)를 의미하며 실효값과는 무관합니다.

파형률 = 실효값 / 평균값

정현파: 실효값 \(=\dfrac{V_m}{\sqrt2}\), 전파평균 \(=\dfrac{2V_m}{\pi}\)
\[ \text{파형률}=\frac{V_m/\sqrt2}{2V_m/\pi}=\frac{\pi}{2\sqrt2}\approx1.11 \]
참고로 파고율(최대값/실효값) \(=\sqrt2\approx1.414\).

ABCD 파라미터의 상반(가역) 조건

\[ \begin{bmatrix}V_1\\I_1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}\begin{bmatrix}V_2\\I_2\end{bmatrix} \]
상반 회로(수동·선형)에서는 행렬식이 1입니다.
\[ AD-BC=1 \]
또한 좌우 대칭 회로이면 \(A=D\).

직렬 임피던스의 ABCD

입력전류=출력전류이므로 \(I_1=I_2\) → \(C=0,\ D=1\).
전압강하 \(V_1=V_2+ZI_2\) → \(A=1,\ B=Z\).
\[ \begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&Z\\0&1\end{bmatrix} \]
(참고) 병렬 어드미턴스 \(Y\)만 있으면 \(\begin{bmatrix}1&0\\Y&1\end{bmatrix}\).

전달함수의 정의

모든 초기조건을 0으로 두었을 때,
\[ G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\mathcal{L}[\text{출력}]}{\mathcal{L}[\text{입력}]} \]
시스템 자체의 동특성만을 나타내며 입력 종류와 무관합니다.

RC 저역통과(적분기형)

분압 원리로 출력은 \(C\)의 임피던스 \(\frac{1}{sC}\)에 걸리는 전압:
\[ G(s)=\frac{1/sC}{R+1/sC}=\frac{1}{1+sRC} \]
시정수 \(\tau=RC\), 차단각주파수 \(\omega_c=\dfrac{1}{RC}\).

근궤적의 출발점과 도착점

특성방정식 \(1+KG(s)H(s)=0\)에서
• \(K=0\): 근은 개루프 극점에서 출발
• \(K\to\infty\): 근은 개루프 영점(또는 무한대)으로 도착
가지 수는 극점 수 \(n\)과 같습니다.

점근선의 중심(무게중심)

\[ \sigma=\frac{\sum \text{극점}-\sum \text{영점}}{n-m} \]
극점 \(0,-2,-4\) (n=3), 영점 없음 (m=0):
\[ \sigma=\frac{(0-2-4)-0}{3-0}=\frac{-6}{3}=-2 \]

상태천이행렬

\[ \phi(t)=e^{At}=\mathcal{L}^{-1}\big[(sI-A)^{-1}\big] \]
이는 입력이 없는 시스템(\(\dot x=Ax\))의 자유응답 \(x(t)=\phi(t)x(0)\)을 결정합니다.

상태천이행렬의 성질

옳은 성질:
• \(\phi(0)=e^{A\cdot0}=I\) (단위행렬)
• \(\phi(t_1+t_2)=\phi(t_1)\phi(t_2)\)
• \(\phi^{-1}(t)=\phi(-t)\)

따라서 \(\phi(0)=0\)은 틀린 설명입니다 (0이 아니라 \(I\)).

메이슨 이득공식

\[ T=\frac{\sum_k P_k \Delta_k}{\Delta} \]
\(P_k\): k번째 순방향경로 이득, \(\Delta\): 1−(루프이득합)+(2개 비접촉 루프곱)−…, \(\Delta_k\): \(P_k\)와 접촉하지 않는 부분의 \(\Delta\).
블록선도를 거치지 않고 한 번에 전달함수를 얻습니다.

단일경로·단일루프 신호선도

메이슨 공식에서 \(P_1=G\), 루프이득 \(L_1=-GH\), \(\Delta=1-L_1=1+GH\), \(\Delta_1=1\):
\[ \frac{C}{R}=\frac{P_1\Delta_1}{\Delta}=\frac{G}{1+GH} \]
전형적인 부귀환(negative feedback) 결과입니다.

상태공간 표준형

상태방정식: \(\dot{x}=Ax+Bu\) (A: 시스템행렬, B: 입력행렬)
출력방정식: \(y=Cx+Du\) (C: 출력행렬, D: 직결행렬)
상태변수 \(x\)는 보통 에너지저장소자(L의 전류, C의 전압)로 잡습니다.

상태선도의 적분기

상태변수는 적분기의 출력으로 정의되며, 적분 연산은 s 영역에서 \(\dfrac{1}{s}\)에 해당합니다.
\[ x(t)=\int \dot{x}\,dt \;\Leftrightarrow\; X(s)=\frac{1}{s}\dot{X}(s) \]
미분기 \(s\)는 잡음에 민감해 실제 구현에는 적분기를 사용합니다.

메이슨 공식 적용

순방향경로: \(P_1=G_1 G_2\)
루프: 노드 x에서 \(G_2\)를 지나 \(-H\)로 돌아오므로 \(L_1=-G_2 H\)
\[ \Delta=1-L_1=1+G_2 H,\quad \Delta_1=1 \]
\[ \frac{C}{R}=\frac{P_1\Delta_1}{\Delta}=\frac{G_1 G_2}{1+G_2 H} \]
피드백이 \(G_2\)만 감싸므로 분모는 \(1+G_2H\)입니다.

단일 부귀환 폐루프

전향 이득 \(G\), 귀환 이득 \(H\), 부호 \(-\):
\[ \frac{C}{R}=\frac{G}{1+GH} \]
개루프 이득 \(GH\)가 클수록 \(C/R\to 1/H\)에 가까워집니다(정귀환이면 분모 \(1-GH\)).

제어공학 핵심
전달함수 \(G=\dfrac{C}{R}\), 부궤환 \(\dfrac{G}{1+GH}\), 메이슨 \(\dfrac{\sum P_k\Delta_k}{\Delta}\), 라우스(1열 부호변화=우반면근), 정상편차 \(e_{ss}=\lim_{s\to0}\dfrac{sR}{1+GH}\), 2차계 감쇠비 \(\zeta\).

풀이
직렬 결합 후 부귀환

직렬: 전향 이득 \(G=G_1 G_2\)
귀환 \(H\)가 전체를 감싸므로 루프이득 \(=-G_1 G_2 H\):
\[ \frac{C}{R}=\frac{G_1 G_2}{1+G_1 G_2 H} \]

상태공간 표준형

\[ \dot{x}=Ax+Bu,\qquad y=Cx+Du \]
\(A\): 시스템(계)행렬, \(B\): 입력행렬, \(C\): 출력행렬, \(D\): 직접전달항. 상태변수 \(x\)의 1차 미분으로 표현하는 것이 핵심입니다.

제어공학 핵심
전달함수 \(G=\dfrac{C}{R}\), 부궤환 \(\dfrac{G}{1+GH}\), 메이슨 \(\dfrac{\sum P_k\Delta_k}{\Delta}\), 라우스(1열 부호변화=우반면근), 정상편차 \(e_{ss}=\lim_{s\to0}\dfrac{sR}{1+GH}\), 2차계 감쇠비 \(\zeta\).

풀이
상태변수 선택

상태변수는 에너지 저장소자의 독립적인 변수를 택합니다. 즉 인덕터 전류 \(i_L\)(자기에너지)와 커패시터 전압 \(v_C\)(전기에너지)입니다. 이들은 초기조건을 결정하는 양이기도 합니다.

상태방정식·특성방정식
\[ \dot x=Ax+Bu,\quad y=Cx \Rightarrow G(s)=C(sI-A)^{-1}B \]특성방정식은 \(|sI-A|=0\)(또는 전달함수 분모=0)이며, 그 근(극점)이 시스템 응답·안정도를 결정합니다.

풀이
특성방정식

특성방정식은 \(|sI-A|=0\)이며, 그 근(고유값)이 곧 전달함수의 극점입니다. 모든 근의 실수부가 음(좌반면)이면 시스템은 안정합니다.

상태방정식 → 전달함수 (핵심 공식 유도)

상태방정식과 출력방정식은 다음과 같습니다.
\[ \dot{x}=Ax+Bu,\qquad y=Cx\ (+Du) \]
① 라플라스 변환 (초기값 \(x(0)=0\)): \(\dot x\)는 \(sX\)가 됩니다.
\[ sX=AX+BU \]
② X로 정리: \(AX\)를 좌변으로 옮기면 \(sX-AX=BU\). 여기서 \(sX=sIX\)(단위행렬 \(I\)를 끼워야 행렬-행렬 뺄셈이 성립)이므로
\[ (sI-A)X=BU \;\Rightarrow\; X=(sI-A)^{-1}BU \]
③ 출력에 대입: \(Y=CX=C(sI-A)^{-1}BU\)
\[ \boxed{\,G(s)=\dfrac{Y}{U}=C(sI-A)^{-1}B\ (+D)\,} \]

순서를 외우는 법 — 출력 쪽 \(C\)가 맨 앞, 입력 쪽 \(B\)가 맨 뒤, 가운데에 \((sI-A)^{-1}\). 즉 신호가 흐르는 순서 입력→B→(시스템)→C→출력을 수식으로는 거꾸로(왼쪽부터 C) 적는다고 기억하면 헷갈리지 않습니다.

왜 \((sI-A)^{-1}\)인가? 스칼라 1차계 \(\dot x=ax+bu\)면 \(G=\dfrac{b}{s-a}\). 행렬에서는 나눗셈이 역행렬이므로 \(\dfrac{1}{s-a}\)가 \((sI-A)^{-1}\)로 바뀐 것입니다.

계산 예제 — \(A=\begin{bmatrix}0&1\\-2&-3\end{bmatrix},\ B=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix},\ C=[\,1\ \ 0\,]\)
1) \(sI-A=\begin{bmatrix}s&-1\\2&s+3\end{bmatrix}\)
2) \(|sI-A|=s(s+3)+2=s^2+3s+2\) ← 이 값이 분모=특성방정식
3) \((sI-A)^{-1}=\dfrac{1}{s^2+3s+2}\begin{bmatrix}s+3&1\\-2&s\end{bmatrix}\) (2×2 역행렬: 주대각 교환, 반대각 부호반전 후 행렬식으로 나눔)
4) \((sI-A)^{-1}B=\dfrac{1}{s^2+3s+2}\begin{bmatrix}1\\s\end{bmatrix}\), 앞에 \(C=[1\ 0]\)를 곱하면 위 성분만 남아
\[ G(s)=\dfrac{1}{s^2+3s+2} \]
분모 \(|sI-A|\)의 근 \(s=-1,-2\)가 곧 시스템의 극점(고유값)입니다.

상태천이행렬 성질

\(\phi(0)=e^{A\cdot0}=I\) (단위행렬)이며 0이 아닙니다. 따라서 '\(\phi(0)=0\)'은 틀린 설명입니다.
나머지: \(\phi(t)=\mathcal{L}^{-1}[(sI-A)^{-1}]\), \(\phi^{-1}(t)=\phi(-t)\), \(\phi(t_1+t_2)=\phi(t_1)\phi(t_2)\)는 모두 성립합니다.

자유응답(영입력응답)

\(u=0\)이면 \(\dot{x}=Ax\)이고 해는 \[ x(t)=e^{At}x(0)=\phi(t)\,x(0) \]
입력이 있으면 합성곱 항 \(\int_0^t \phi(t-\tau)Bu(\tau)d\tau\)이 추가됩니다.

고유값 계산

\[ |sI-A|=\begin{vmatrix}s&-1\\2&s+3\end{vmatrix}=s(s+3)+2=s^2+3s+2=0 \]
\((s+1)(s+2)=0 \Rightarrow s=-1,\,-2\). 두 근 모두 음의 실수부이므로 시스템은 안정합니다.

제어표준형(동반행렬)

분모 \(s^2+3s+2\)에서 \(a_0=2,\ a_1=3\). 위상변수 \(x_1=y,\ x_2=\dot y\)로 두면
\[ A=\begin{bmatrix}0&1\\-a_0&-a_1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&1\\-2&-3\end{bmatrix} \]
최하단 행에 분모계수를 부호 반전해 배치합니다.

제어계 안정도
특성방정식의 모든 근이 s평면 좌반면에 있어야 안정합니다. 라우스·훌비츠(대수적), 나이퀴스트·보드(도식적)로 판별하며, 우반면 근이 있으면 불안정.

풀이
안정 조건

시스템 안정성은 A의 고유값(=특성근=극점)으로 판별합니다. 모든 고유값의 실수부가 음수(s평면 좌반면)이면 자유응답이 시간에 따라 0으로 수렴하므로 안정합니다.

상태선도 → 상태방정식

적분기 출력을 \(x_1=y,\ x_2\)로 두면 \(\dot{x}_1=x_2\), 합산점에서 \(\dot{x}_2=u-2x_1-3x_2\) (귀환이득 −2, −3).
\[ A=\begin{bmatrix}0&1\\-2&-3\end{bmatrix} \]
이는 전달함수 \(G(s)=\dfrac{1}{s^2+3s+2}\)에 해당합니다.

안정 필요조건

특성방정식 \(a_ns^n+\cdots+a_0=0\)이 안정하려면 ① 모든 계수의 부호가 같고 ② 빠진 차수(계수 0)가 없어야 합니다. 다만 이는 필요조건일 뿐이며, 충분조건은 라우스·후르비츠로 판별합니다.

라우스(Routh) 안정도 판별
특성방정식 계수로 라우스 표를 만들어 제1열의 부호변화 횟수 = s평면 우반면(불안정) 근의 개수입니다. 부호변화가 없으면 안정.

풀이
라우스 판별

라우스 표 제1열에 부호변화가 없으면 안정이며, 부호변화 횟수 = s평면 우반면 근(불안정근)의 개수입니다.

라우스 표

\[\begin{array}{c|cc} s^3 & 1 & 4\\ s^2 & 2 & K\\ s^1 & \frac{8-K}{2} & 0\\ s^0 & K \end{array}\]
제1열이 모두 양(+)이려면 \(\frac{8-K}{2}\gt 0\)과 \(K\gt 0\) → \(0\lt K\lt 8\).

회로이론 핵심
\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\), \(X_L=\omega L,\ X_C=\tfrac1{\omega C}\), 공진 \(f_0=\dfrac1{2\pi\sqrt{LC}}\), 실효값 \(\tfrac{V_m}{\sqrt2}\), 전력 \(P=VI\cos\theta\), 테브낭 등가.

풀이
후르비츠 판별

특성방정식 계수로 만든 후르비츠 행렬식 \(D_1,D_2,\cdots,D_n\)이 모두 양(+)이면 안정합니다. 라우스 판별과 동일한 정보를 주며, 고차에서는 라우스 표가 더 간편합니다.

나이퀴스트 안정도 판별 — \(Z=P-N\)
개루프 전달함수 \(GH(j\omega)\)의 궤적(나이퀴스트 선도)을 그려 폐루프 안정성을 판정합니다(그림).

각 기호
• \(Z\) — 폐루프 극점 중 우반평면(불안정)에 있는 수 (특성방정식 \(1+GH=0\)의 불안정근 수).
• \(P\) — 개루프 \(GH\)의 극점 중 우반평면에 있는 수.
• \(N\) — \(GH(j\omega)\) 궤적이 임계점 (−1, j0)을 반시계 방향으로 감은 횟수.

관계·안정 조건
\[ Z=P-N \]폐루프가 안정하려면 우반면 폐루프극이 없어야 하므로 \(Z=0\), 즉 \(N=P\) 여야 합니다.
• 특히 개루프가 안정(\(P=0\))이면, 궤적이 (−1, j0)을 감싸지 않을 때(\(N=0\)) 폐루프도 안정합니다.
※ 부호 규약 — \(N\)을 반시계 감김(+)으로 잡으면 \(Z=P-N\), 시계 감김(+)으로 잡으면 \(Z=P+N\). 어느 규약이든 \(Z=0\)이면 안정이라는 결론은 같습니다.

정답: (−1, j0)

① 왜 하필 −1인가 (가장 중요)
단위 부귀환 폐루프의 특성방정식은 \(1+G(s)H(s)=0\), 즉 \(G(s)H(s)=-1\)입니다. 폐루프 극이 허수축(안정 경계)에 오는 순간, 개루프 전달함수 값이 정확히 −1이 됩니다. 그래서 복소평면의 −1+j0 점이 안정/불안정을 가르는 임계점이 됩니다.

② −1의 의미 (크기·위상)
\(-1=1\angle180°\)이므로 −1점은 크기(이득)=1(=0dB), 위상=−180°인 상태입니다. 개루프 이득이 위상 −180°에서 크기 1에 도달하면(−1점), 부귀환이 정귀환처럼 작용해 스스로 발진합니다.

③ 나이퀴스트 판정법
개루프 궤적 \(GH(j\omega)\)가 −1점을 몇 번 감싸는가(N)로 폐루프 안정을 판별합니다.
\[ Z=P-N \]Z: 우반면 폐루프극 수(0이어야 안정), P: 우반면 개루프극 수, N: −1점을 시계반대로 감싼 횟수. Z=0이면 안정입니다. (P=0일 때는 −1을 감싸지 않으면 안정)

④ 직관 — 안정 여유
궤적이 −1에서 멀리 떨어져 있을수록 안정합니다. 얼마나 떨어져 있는지가 이득여유(−1까지 크기 여유)·위상여유(−1까지 위상 여유)입니다. 즉 −1은 "발진 직전"의 지점이고, 여기서 멀수록 안정합니다.

암기: "1+GH=0 → GH=−1" → 임계점 (−1, j0). 오답 (0,j0)/(1,j0)/(0,j1)은 특성방정식과 무관.

제어공학 핵심
전달함수 \(G=\dfrac{C}{R}\), 부궤환 \(\dfrac{G}{1+GH}\), 메이슨 \(\dfrac{\sum P_k\Delta_k}{\Delta}\), 라우스(1열 부호변화=우반면근), 정상편차 \(e_{ss}=\lim_{s\to0}\dfrac{sR}{1+GH}\), 2차계 감쇠비 \(\zeta\).

풀이
보드선도 안정조건

이득여유 GM > 0(위상이 −180°일 때 이득이 0dB보다 아래)이고 위상여유 PM > 0(이득이 0dB일 때 위상이 −180°보다 위)이면 안정합니다.

위상여유

이득교차주파수(\(|G|=1\), 0dB)에서의 위상을 \(\angle G\)라 하면 \(PM=180^\circ+\angle G\)입니다. 예: \(\angle G=-150^\circ\)이면 \(PM=30^\circ\)로 안정입니다.

이득여유(Gain Margin)
위상이 −180°가 되는 주파수에서 \(|GH|\)의 역수입니다.
\[ GM[\text{dB}]=-20\log|G(j\omega_{pc})H(j\omega_{pc})| \]클수록 상대안정도가 높습니다(양수면 안정 여유 존재).

풀이
이득여유

이득여유는 위상이 −180°가 되는 위상교차주파수에서 이득이 0dB로부터 얼마나 떨어져 있는지로 정의합니다. \(GM=-20\log|GH|\). 위상교차에서 이득이 0dB 아래이면 GM>0(안정).

가제어성

n차 시스템이 가제어하려면 가제어 행렬 \(M_c=[\,B\ \ AB\ \ A^2B\ \cdots\ A^{n-1}B\,]\)의 계수(rank)가 n(가득 차야) 합니다. 유사하게 가관측성은 \([\,C;\ CA;\cdots]\)의 계수가 n일 것입니다.

나이퀴스트(Nyquist) 안정도 판별 (그림)

개루프 전달함수 \(G(s)H(s)\)의 나이퀴스트 선도로 폐루프 안정성을 판별합니다:
\[ Z=P-N \]• Z = 우반면(불안정) 폐루프 극의 수 — 0이어야 안정
• P = 우반면 개루프 극의 수
• N = \(GH\) 궤적이 (−1, j0)점을 반시계로 감싸는 횟수

이 문제
• 우반면 개루프극 없음 → \(P=0\)
• 궤적이 (−1, j0)을 감싸지 않음(그림에서 −1점이 곡선 바깥) → \(N=0\)
\[ Z=P-N=0-0=0 \]→ 우반면 폐루프극이 0개 → 안정. 정답 ①.

※ 만약 궤적이 (−1)점을 감쌌다면 \(N\ne0\)이 되어 \(P=0\)일 때 \(Z=-N>0\)(우반면 폐루프극 발생) → 불안정. 즉 ‘(−1)점을 감싸지 않는다’가 이 시스템 안정의 핵심 조건입니다.

천이행렬 계산

\(sI-A=\begin{bmatrix}s&-1\\0&s\end{bmatrix}\), \((sI-A)^{-1}=\dfrac{1}{s^2}\begin{bmatrix}s&1\\0&s\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1/s&1/s^2\\0&1/s\end{bmatrix}\)
역라플라스 → \(\phi(t)=\begin{bmatrix}1&t\\0&1\end{bmatrix}\).

천이행렬과 라플라스

\(\dot{x}=Ax\)를 라플라스하면 \(sX-x(0)=AX\) → \(X=(sI-A)^{-1}x(0)\). 시간영역으로 역변환하면 \(x(t)=\mathcal{L}^{-1}[(sI-A)^{-1}]\,x(0)\)이므로 \(\phi(t)=\mathcal{L}^{-1}[(sI-A)^{-1}]\)입니다.

라플라스·과도 핵심
\(1\to\tfrac1s,\ e^{-at}\to\tfrac1{s+a},\ \sin\omega t\to\tfrac{\omega}{s^2+\omega^2}\), 시정수 \(\tau=L/R\) 또는 \(RC\)(최종값 63.2%), 초기값 \(\lim_{s\to\infty}sF\)·최종값 \(\lim_{s\to0}sF\).

풀이
완전응답

완전응답 = 자유응답(영입력) + 강제응답(영상태, 합성곱):
\[ x(t)=\phi(t)x(0)+\int_0^t \phi(t-\tau)Bu(\tau)\,d\tau \]
출력은 \(y=Cx+Du\).

회로이론 핵심
\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\), \(X_L=\omega L,\ X_C=\tfrac1{\omega C}\), 공진 \(f_0=\dfrac1{2\pi\sqrt{LC}}\), 실효값 \(\tfrac{V_m}{\sqrt2}\), 전력 \(P=VI\cos\theta\), 테브낭 등가.

풀이
가관측성

n차 시스템이 가관측하려면 가관측 행렬 \(M_o=[\,C;\ CA;\ \cdots;\ CA^{n-1}\,]\)의 계수(rank)가 n이어야 합니다. 출력만 보고 모든 상태를 추정할 수 있다는 의미입니다.

회로이론 핵심
\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\), \(X_L=\omega L,\ X_C=\tfrac1{\omega C}\), 공진 \(f_0=\dfrac1{2\pi\sqrt{LC}}\), 실효값 \(\tfrac{V_m}{\sqrt2}\), 전력 \(P=VI\cos\theta\), 테브낭 등가.

풀이
쌍대성

가제어성과 가관측성은 쌍대(dual) 관계입니다. \((A,B)\)가 가제어이면 전치 시스템 \((A^T,B^T)\)는 가관측이고, \((A,C)\)가 가관측이면 \((A^T,C^T)\)는 가제어입니다.

회로이론 핵심
\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\), \(X_L=\omega L,\ X_C=\tfrac1{\omega C}\), 공진 \(f_0=\dfrac1{2\pi\sqrt{LC}}\), 실효값 \(\tfrac{V_m}{\sqrt2}\), 전력 \(P=VI\cos\theta\), 테브낭 등가.

풀이
출력방정식

\(y=Cx+Du\)에서 \(D\)는 입력 \(u\)가 상태를 거치지 않고 출력에 직접 전달되는 항(직접전달항, feedthrough)입니다. 대부분의 물리계에서 \(D=0\)인 경우가 많습니다.

대각정준형

고유벡터로 구성한 \(P\)로 \(\Lambda=P^{-1}AP=\text{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)\)를 만들면 각 상태가 \(e^{\lambda_i t}\) 모드로 분리(비연성)됩니다. 상사변환이므로 고유값(극점)은 변하지 않습니다.

RLC 상태변수

상태변수는 에너지 저장소자의 독립 변수인 인덕터 전류 \(i_L\)(자기에너지)와 커패시터 전압 \(v_C\)(전기에너지)를 택합니다.
\[ L\frac{di_L}{dt}=u-Ri_L-v_C,\quad C\frac{dv_C}{dt}=i_L \]
\(A=\begin{bmatrix}-R/L&-1/L\\1/C&0\end{bmatrix},\ B=\begin{bmatrix}1/L\\0\end{bmatrix}\)

위치오차상수 \(K_p\) (그림: 단위 피드백 제어계)

① G(s)·H(s)의 정의
• \(G(s)\) = 전향(순방향) 전달함수 — 입력(편차)에서 출력 \(C\)로 가는 경로. \(G=\dfrac{C}{E}\)
• \(H(s)\) = 궤환(피드백) 전달함수 — 출력을 검출해 입력쪽으로 되먹이는 경로. 단위 피드백이면 \(H(s)=1\).
• 개루프 전달함수 = \(G(s)H(s)\) (루프를 한 바퀴 도는 전달함수).

② 위치상수·정상편차 (계단입력)
\[ K_p=\lim_{s\to0}G(s)H(s),\qquad e_{ss}=\lim_{s\to0}\frac{s\,R(s)}{1+G(s)H(s)}=\frac{1}{1+K_p} \]→ 정답 ① \(\displaystyle\lim_{s\to0}G(s)H(s)\).

③ 제어계의 ‘형(type)’ — 원점 극점(적분기 \(1/s\)) 개수
\(G(s)H(s)\)에 \(s=0\)인 극점(적분기)이 몇 개냐로 정해집니다.
• 0형: 적분기 0개 → \(K_p\) 유한 → 계단입력 정상편차 유한(\(\tfrac{1}{1+K_p}\))
• 1형: 적분기 1개(\(1/s\)) → \(K_p=\infty\) → 계단입력 정상편차 0 (단, 램프입력엔 유한편차)
• 2형: 적분기 2개 → 램프도 0, 포물선입력에 유한편차

형별 정상편차 정리 (\(K_v=\lim s GH,\ K_a=\lim s^2 GH\))

형	계단	램프	포물선
0형	\(\tfrac{1}{1+K_p}\)	∞	∞
1형	0	\(\tfrac{1}{K_v}\)	∞
2형	0	0	\(\tfrac{1}{K_a}\)

※ 입력별로 상수가 다릅니다 — 계단=위치상수 \(K_p\), 램프=속도상수 \(K_v\), 포물선=가속도상수 \(K_a\). ‘형’이 높을수록(적분기 많을수록) 더 낮은 차수 입력에서 오차가 0이 됩니다.

회로이론 핵심
\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\), \(X_L=\omega L,\ X_C=\tfrac1{\omega C}\), 공진 \(f_0=\dfrac1{2\pi\sqrt{LC}}\), 실효값 \(\tfrac{V_m}{\sqrt2}\), 전력 \(P=VI\cos\theta\), 테브낭 등가.

풀이
PI 조작량 \(y=K_p\!\left(z+\frac{1}{T_i}\int z\,dt\right)=4\!\left(2t+\frac14\int2t\,dt\right)=4(2t+\frac14 t^2)=t^2+8t\).

z 변환(이산시스템)
\[ F(z)=\sum_{n=0}^{\infty}f(nT)z^{-n} \]샘플링된 신호를 다루며 \(z=e^{sT}\). 주요쌍: 단위계단 \(\tfrac{z}{z-1}\), \(e^{-aT}\to\tfrac{z}{z-e^{-aT}}\). 이산제어계의 전달함수·안정도(단위원 기준)에 사용.

풀이
\(\mathcal{Z}[\sin\omega t]=\dfrac{z\sin\omega T}{z^2-2z\cos\omega T+1}\).

메이슨 이득공식
\[ \frac{C}{R}=\frac{\sum_k P_k\Delta_k}{\Delta},\quad \Delta=1-\sum L_i+\sum L_iL_j-\cdots \]① 분모 \(\Delta\) — 두 루프가 서로 접촉하므로 곱(\(L_1L_2\))항은 없습니다.
\[ \Delta=1-(L_1+L_2)=1-(-5-35)=1+40=41 \]② 분자 — 전향경로가 모든 루프와 접촉하면 \(\Delta_1=1\).
\[ \sum P_k\Delta_k=P\times1=-6 \]③ 전달함수
\[ \frac{C}{R}=\frac{-6}{41} \]핵심 — 분모는 \(1-\)(루프이득 합), 분자는 (전향경로 이득)×(그 경로와 안 닿는 루프만 남긴 \(\Delta_k\)). 여기선 모두 접촉해 \(\Delta_1=1\).

제어공학 핵심
전달함수 \(G=\dfrac{C}{R}\), 부궤환 \(\dfrac{G}{1+GH}\), 메이슨 \(\dfrac{\sum P_k\Delta_k}{\Delta}\), 라우스(1열 부호변화=우반면근), 정상편차 \(e_{ss}=\lim_{s\to0}\dfrac{sR}{1+GH}\), 2차계 감쇠비 \(\zeta\).

풀이
라우스 표 1열에서 \(s^2\)행 \(=\frac{2\cdot1-1\cdot4}{2}=-1\)로 부호가 바뀝니다. 1열 부호변화 2회 → 우반평면 근 2개 → 불안정.

상태방정식·특성방정식
\[ \dot x=Ax+Bu,\quad y=Cx \Rightarrow G(s)=C(sI-A)^{-1}B \]특성방정식은 \(|sI-A|=0\)(또는 전달함수 분모=0)이며, 그 근(극점)이 시스템 응답·안정도를 결정합니다.

풀이
특성방정식 \(\det(sI-A)=\det\begin{bmatrix}s&-1\\3&s-4\end{bmatrix}=s(s-4)+3=s^2-4s+3=0\).

근궤적(Root Locus)
이득 \(K\)를 0→∞로 변화시킬 때 특성방정식 근이 \(s\)평면에서 그리는 자취입니다. 극점(×)에서 출발해 영점(○) 또는 무한대로 이동하며, 가지 수 = 극점 수, 실축상 규칙·점근선으로 개형을 그립니다. 근이 우반면에 들어가는 \(K\)가 안정한계.

풀이
근궤적 가지 수 = 개루프 극점 수 = \(s,\,s{+}1,\,s{+}3,\,s{+}4\)의 4개 → 4.

전달함수 \(G(s)\)
모든 초기값을 0으로 놓았을 때 출력의 라플라스변환 ÷ 입력의 라플라스변환입니다.
\[ G(s)=\frac{C(s)}{R(s)} \]선형시불변(LTI) 시스템의 입출력 관계를 \(s\)영역에서 나타냅니다.

풀이
전압분배 \(\dfrac{V_2}{V_1}=\dfrac{R}{R+sL+\frac{1}{sC}}=\dfrac{RCs}{LCs^2+RCs+1}\).

제어계 안정도
특성방정식의 모든 근이 s평면 좌반면에 있어야 안정합니다. 라우스·훌비츠(대수적), 나이퀴스트·보드(도식적)로 판별하며, 우반면 근이 있으면 불안정.

풀이
근이 허수축 위에 있으면 지속 진동 상태로 임계(안정 경계) 안정입니다.

논리식 간소화
불대수(흡수 \(A+AB=A\), \(A+\bar AB=A+B\))·드모르간·카르노맵으로 최소항을 구합니다.

풀이
\(A\bar B+AB=A(B+\bar B)=A\), 여기에 \(\bar A B\)를 더하면 \(A+\bar A B=A+B\).

3상 회로 핵심
Y: \(V_l=\sqrt3V_p,\ I_l=I_p\); Δ: \(V_l=V_p,\ I_l=\sqrt3I_p\). 전력 \(P=\sqrt3V_lI_l\cos\theta\), 2전력계 \(P=W_1+W_2\), 대칭분(영상·정상·역상).

풀이
평형·순저항이라 전력계 지시 \(W=V_{ab}I\cos30°=\frac{\sqrt3}{2}V_{ab}I\)에서 선전류 \(I=\dfrac{2W}{\sqrt3\,V_{ab}}\). 평형이므로 c상 전류도 같습니다.

3상 회로 핵심
Y: \(V_l=\sqrt3V_p,\ I_l=I_p\); Δ: \(V_l=V_p,\ I_l=\sqrt3I_p\). 전력 \(P=\sqrt3V_lI_l\cos\theta\), 2전력계 \(P=W_1+W_2\), 대칭분(영상·정상·역상).

풀이
역상분 \(I_2=\frac13(I_a+a^2 I_b+a I_c)\), \(a=1\angle120°\). 계산하면 \(I_2\approx1.91+j6.24\,[A]\).

라플라스: \(RI(s)+\frac{I(s)}{Cs}=\frac{V}{s}\) → \(I(s)=\dfrac{V}{R}\cdot\dfrac{1}{s+\frac{1}{RC}}\). 시간영역 \(i(t)=\frac{V}{R}e^{-t/RC}\).

\(Q=\sqrt3\,V_L I_L\sin\theta\), \(\sin\theta=0.8\). \(I_L=\dfrac{Q}{\sqrt3\,V_L\sin\theta}=\dfrac{10000}{\sqrt3\times100\times0.8}\approx72.2\,\text{A}\).

회로이론 핵심
\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\), \(X_L=\omega L,\ X_C=\tfrac1{\omega C}\), 공진 \(f_0=\dfrac1{2\pi\sqrt{LC}}\), 실효값 \(\tfrac{V_m}{\sqrt2}\), 전력 \(P=VI\cos\theta\), 테브낭 등가.

풀이
T형: \(A=1+\dfrac{Z_1}{Z_3}=1+\dfrac{Y_3}{Y_1}\), \(C=\dfrac{1}{Z_3}=Y_3\).

교류전력
순시 \(p=vi\), 평균(유효) \(P=VI\cos\theta\), 복소전력 \(S=VI^*=P+jQ\), \(|S|=VI\).

풀이
피상전력 \(|S|=\sqrt{P^2+Q^2}=\sqrt{300^2+400^2}=500\,\text{VA}\).

기본파: \(Z_1=\sqrt{4^2+3^2}=5\), \(I_1=20\)A, \(P_1=20^2\times4=1600\)W. 3고조파: \(Z_3=\sqrt{4^2+9^2}=9.85\), \(I_3=5.08\)A, \(P_3=103\)W. 합 \(P\approx1703\,\text{W}\).

회로이론 핵심
\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\), \(X_L=\omega L,\ X_C=\tfrac1{\omega C}\), 공진 \(f_0=\dfrac1{2\pi\sqrt{LC}}\), 실효값 \(\tfrac{V_m}{\sqrt2}\), 전력 \(P=VI\cos\theta\), 테브낭 등가.

풀이
무손실 선로 진행파 속도 \(v=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}\,[\text{m/s}]\). (특성임피던스는 \(\sqrt{L/C}\))

초기값·최종값 정리
\[ f(0^+)=\lim_{s\to\infty}sF(s),\qquad f(\infty)=\lim_{s\to0}sF(s) \]역변환 없이 시간응답의 처음·끝 값을 구합니다(최종값 정리는 안정할 때만 유효).

풀이
초기전하 없는 커패시터는 t=0⁺에 단락(전압 0)처럼 작동하므로 \(i(0^+)=\dfrac{V}{R}\). 이후 지수적으로 감소해 정상상태에서 0이 됩니다.

제어공학 핵심
전달함수 \(G=\dfrac{C}{R}\), 부궤환 \(\dfrac{G}{1+GH}\), 메이슨 \(\dfrac{\sum P_k\Delta_k}{\Delta}\), 라우스(1열 부호변화=우반면근), 정상편차 \(e_{ss}=\lim_{s\to0}\dfrac{sR}{1+GH}\), 2차계 감쇠비 \(\zeta\).

풀이
정상편차 \(e_{ss}=\dfrac{1}{1+K_p}\)이므로 개루프 이득(K_p)을 크게 할수록 정상편차가 작아집니다. (단 너무 크면 안정도 저하)

제어계 안정도
특성방정식의 모든 근이 s평면 좌반면에 있어야 안정합니다. 라우스·훌비츠(대수적), 나이퀴스트·보드(도식적)로 판별하며, 우반면 근이 있으면 불안정.

풀이
라우스 1열: \(1,\,2,\,\frac{2K-10}{2},\,10\). 모두 (+)이려면 \(2K-10\gt 0\) → K>5.

라플라스·과도 핵심
\(1\to\tfrac1s,\ e^{-at}\to\tfrac1{s+a},\ \sin\omega t\to\tfrac{\omega}{s^2+\omega^2}\), 시정수 \(\tau=L/R\) 또는 \(RC\)(최종값 63.2%), 초기값 \(\lim_{s\to\infty}sF\)·최종값 \(\lim_{s\to0}sF\).

풀이
\(\dfrac{3z}{z-e^{-3T}}\leftrightarrow 3e^{-3t}\leftrightarrow \dfrac{3}{s+3}\).

논리식 간소화
불대수(흡수 \(A+AB=A\), \(A+\bar AB=A+B\))·드모르간·카르노맵으로 최소항을 구합니다.

풀이
드모르간 법칙: \(\overline{\overline{A}\cdot\overline{B}}=\overline{\overline{A}}+\overline{\overline{B}}=A+B\).

제어공학 핵심
전달함수 \(G=\dfrac{C}{R}\), 부궤환 \(\dfrac{G}{1+GH}\), 메이슨 \(\dfrac{\sum P_k\Delta_k}{\Delta}\), 라우스(1열 부호변화=우반면근), 정상편차 \(e_{ss}=\lim_{s\to0}\dfrac{sR}{1+GH}\), 2차계 감쇠비 \(\zeta\).

풀이
이득여유는 위상이 −180°가 되는 주파수에서의 이득 크기(dB). 안정하려면 이 지점 이득이 0dB보다 낮아야 합니다.

블록선도·전달함수
직렬 곱, 병렬 합, 부궤환 \(\dfrac{G}{1+GH}\). 복잡하면 메이슨 공식 \(\dfrac{\sum P_k\Delta_k}{\Delta}\).

풀이
\(\dfrac{C}{R}=\dfrac{G_1G_2}{1+G_2H_1+G_1G_2H_2}=\dfrac{1\cdot2}{1+2\cdot3+1\cdot2\cdot4}=\dfrac{2}{15}\).

제어공학 핵심
전달함수 \(G=\dfrac{C}{R}\), 부궤환 \(\dfrac{G}{1+GH}\), 메이슨 \(\dfrac{\sum P_k\Delta_k}{\Delta}\), 라우스(1열 부호변화=우반면근), 정상편차 \(e_{ss}=\lim_{s\to0}\dfrac{sR}{1+GH}\), 2차계 감쇠비 \(\zeta\).

풀이
상태변수 \(x_1=c,\ x_2=\dot c\): \(\dot x_1=x_2,\ \dot x_2=-3x_1-5x_2+r\). \(A=\begin{bmatrix}0&1\\-3&-5\end{bmatrix}\).

근궤적 점근선
개수 \(=n-m\)(극점−영점 수), 각 \(=\dfrac{(2k+1)180°}{n-m}\), 실축 교점 \(\sigma=\dfrac{\sum극점-\sum영점}{n-m}\).

풀이
점근선 각 \(\alpha=\dfrac{(2k+1)180°}{P-Z}=\dfrac{(2k+1)180°}{4-1}=60°,180°,300°\). 대표값 60°.

정상상태 편차(오차)
\[ e_{ss}=\lim_{s\to0}\frac{sR(s)}{1+G(s)H(s)} \]· 계단입력 → 위치편차상수 \(K_p\), 램프 → 속도편차상수 \(K_v\), 포물선 → 가속도편차상수 \(K_a\)
제어계 형(type)이 높을수록 정상편차가 작아집니다.

풀이
1형(적분기 1개 이상) 시스템은 위치오차상수 \(K_p=\infty\)이므로 계단입력 정상편차 \(e_{ss}=\dfrac{1}{1+K_p}=0\).

제어공학 핵심
전달함수 \(G=\dfrac{C}{R}\), 부궤환 \(\dfrac{G}{1+GH}\), 메이슨 \(\dfrac{\sum P_k\Delta_k}{\Delta}\), 라우스(1열 부호변화=우반면근), 정상편차 \(e_{ss}=\lim_{s\to0}\dfrac{sR}{1+GH}\), 2차계 감쇠비 \(\zeta\).

풀이
\(G=\dfrac{2}{7}+\dfrac{5}{7s}\) = 비례항 + 적분항 → 비례적분(PI) 제어기.

라플라스·과도 핵심
\(1\to\tfrac1s,\ e^{-at}\to\tfrac1{s+a},\ \sin\omega t\to\tfrac{\omega}{s^2+\omega^2}\), 시정수 \(\tau=L/R\) 또는 \(RC\)(최종값 63.2%), 초기값 \(\lim_{s\to\infty}sF\)·최종값 \(\lim_{s\to0}sF\).

풀이
\(\mathcal{L}[t^2]=\dfrac{2}{s^3}\), 복소추이 \(s\to s+a\) → \(\dfrac{2}{(s+a)^3}\).

대칭분·불평형률
\(V_0,V_1,V_2\)(영상·정상·역상). 불평형률 \(=\dfrac{역상분}{정상분}\times100\%\).

풀이
정상분 \(I_1=\frac13(I_a+aI_b+a^2I_c)\), \(a=1\angle120°\). 계산하면 크기 \(\approx6.4\,\text{A}\).

회로이론 핵심
\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\), \(X_L=\omega L,\ X_C=\tfrac1{\omega C}\), 공진 \(f_0=\dfrac1{2\pi\sqrt{LC}}\), 실효값 \(\tfrac{V_m}{\sqrt2}\), 전력 \(P=VI\cos\theta\), 테브낭 등가.

풀이
전파정수 \(\gamma=\sqrt{ZY}=\sqrt{(R+j\omega L)(G+j\omega C)}=\alpha+j\beta\) (감쇠+위상정수). 특성임피던스는 \(\sqrt{Z/Y}\).

비정현파(왜형파)의 실효값 공식
주파수가 서로 다른 성분들은 직교하여(한 주기 평균 곱 = 0) 전력이 각각 더해집니다. 그래서 실효값은 각 성분 실효값의 제곱합의 제곱근입니다.
\[ V=\sqrt{V_0^2+V_1^2+V_3^2+\cdots} \]

① 각 성분의 실효값 구하기

성분	식	실효값
직류분 \(V_0\)	\(3\)	그대로 \(=3\)
기본파 \(V_1\)	\(5\sqrt2\sin\omega t\)	\(\dfrac{5\sqrt2}{\sqrt2}=5\)
3고조파 \(V_3\)	\(10\sqrt2\sin(3\omega t-\tfrac\pi3)\)	\(\dfrac{10\sqrt2}{\sqrt2}=10\)

※ 정현파는 실효값 = 최대값 ÷ √2. 직류분은 그 자체가 실효값이고, 위상(−π/3)은 실효값에 영향을 주지 않습니다.

② 제곱합의 제곱근
\[ V=\sqrt{V_0^2+V_1^2+V_3^2}=\sqrt{3^2+5^2+10^2}=\sqrt{9+25+100}=\sqrt{134} \]
\[ V\approx 11.58\approx \mathbf{11.6\ V} \]

포인트 — 최대값 \(5\sqrt2,\,10\sqrt2\)를 그대로 제곱하지 말고 먼저 √2로 나눠 실효값(5, 10)으로 바꾼 뒤 제곱합하세요. (만약 최대값으로 계산하면 \(\sqrt{3^2+(5\sqrt2)^2+(10\sqrt2)^2}=\sqrt{259}\approx16.1\)로 틀린 답이 됩니다.)

교류전력
순시 \(p=vi\), 평균(유효) \(P=VI\cos\theta\), 복소전력 \(S=VI^*=P+jQ\), \(|S|=VI\).

풀이
\(I=V/Z\), \(S=VI^*=\dfrac{|V|^2}{Z^*}=\dfrac{13^2+20^2}{8-j6}=\dfrac{569}{8-j6}\approx45.5+j34.1\,\text{VA}\).

4단자 정수 \(A=1+\frac{R}{5},B=R,C=\frac15,D=1\). \(Z_{01}=\sqrt{\frac{AB}{CD}}=\sqrt{R^2+5R}=6\) → \(R^2+5R-36=0\) → \(R=4\).

3상 회로 핵심
Y: \(V_l=\sqrt3V_p,\ I_l=I_p\); Δ: \(V_l=V_p,\ I_l=\sqrt3I_p\). 전력 \(P=\sqrt3V_lI_l\cos\theta\), 2전력계 \(P=W_1+W_2\), 대칭분(영상·정상·역상).

풀이
Δ결선 각 상에 선간전압 V가 그대로 걸리므로 상전류 \(I=\dfrac{V}{R}\).

3상 회로 핵심
Y: \(V_l=\sqrt3V_p,\ I_l=I_p\); Δ: \(V_l=V_p,\ I_l=\sqrt3I_p\). 전력 \(P=\sqrt3V_lI_l\cos\theta\), 2전력계 \(P=W_1+W_2\), 대칭분(영상·정상·역상).

풀이
\(V_{ab}=V_{an}-V_{bn}=\sqrt3\,V_{an}\angle{+30°}\) — Y결선 선간전압은 상전압보다 √3배 크고 30° 앞섭니다.

회로이론 핵심
\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\), \(X_L=\omega L,\ X_C=\tfrac1{\omega C}\), 공진 \(f_0=\dfrac1{2\pi\sqrt{LC}}\), 실효값 \(\tfrac{V_m}{\sqrt2}\), 전력 \(P=VI\cos\theta\), 테브낭 등가.

풀이
\(R=2\sqrt{L/C}\)이면 판별식 0 → 임계제동. (R이 크면 과제동, 작으면 부족제동, R=0이면 무제동)

메이슨 이득공식(신호흐름선도·블록선도)
\[ \frac{C}{R}=\frac{\sum_k P_k\Delta_k}{\Delta},\quad \Delta=1-\sum L_i+\sum L_iL_j-\cdots \]· \(P_k\): k번째 전향경로 이득, \(L\): 루프이득, \(\Delta_k\): 그 경로와 접하지 않는 루프만 남긴 값
단일 루프면 \(\dfrac{C}{R}=\dfrac{P}{1-L}\).

풀이
부(−)귀환 단일루프: 메이슨 공식 \(\dfrac{C}{R}=\dfrac{G}{1+GH}\). (정귀환이면 \(1-GH\))

회로이론 핵심
\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\), \(X_L=\omega L,\ X_C=\tfrac1{\omega C}\), 공진 \(f_0=\dfrac1{2\pi\sqrt{LC}}\), 실효값 \(\tfrac{V_m}{\sqrt2}\), 전력 \(P=VI\cos\theta\), 테브낭 등가.

풀이
선형회로에서 각 독립전원 단독 응답을 대수적으로 합하는 것이 중첩의 정리(전압원=단락, 전류원=개방으로 죽임).

1차 지연요소의 벡터궤적 \(G(j\omega)=\dfrac{K}{1+j\omega T}\)

주요 점
• \(\omega=0\): \(G=K\) → 실수축 위 점 \((K,0)\).
• \(\omega\to\infty\): \(G\to0\) → 원점.
• \(\omega=\dfrac{1}{T}\): \(G=\dfrac{K}{1+j}=\dfrac{K}{2}(1-j)\) → 크기 \(\dfrac{K}{\sqrt2}\), 위상 \(-45^\circ\).

왜 반원인가
\(\dfrac{1}{G}=\dfrac{1+j\omega T}{K}\)에서 실수부가 \(\dfrac{1}{K}\)로 일정합니다. 실수부가 일정한 \(1/G\)의 자취는 G평면에서 원이 되며, 이 원은 원점과 \((K,0)\)을 지름으로 합니다 (중심 \((K/2,\,0)\), 반지름 \(K/2\)).
\(\omega\gt0\)이면 \(\operatorname{Im}(G)\lt0\)이므로 아래쪽 반원(제4사분면)만 그립니다.
∴ 궤적은 실수축 아래 제4사분면의 반원.
※ 위상이 \(0^\circ\)(ω=0) → \(-45^\circ\)(ω=1/T) → \(-90^\circ\)(ω→∞)로 변하며 반원을 그립니다.

근궤적(Root Locus)
이득 \(K\)를 0→∞로 변화시킬 때 특성방정식 근이 \(s\)평면에서 그리는 자취입니다. 극점(×)에서 출발해 영점(○) 또는 무한대로 이동하며, 가지 수 = 극점 수, 실축상 규칙·점근선으로 개형을 그립니다. 근이 우반면에 들어가는 \(K\)가 안정한계.

풀이
근궤적이 우반면에 있으면 불안정입니다. 안정 조건이라 한 ④가 틀립니다.

회로이론 핵심
\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\), \(X_L=\omega L,\ X_C=\tfrac1{\omega C}\), 공진 \(f_0=\dfrac1{2\pi\sqrt{LC}}\), 실효값 \(\tfrac{V_m}{\sqrt2}\), 전력 \(P=VI\cos\theta\), 테브낭 등가.

풀이
정상상태 추종 성능(위치편차) 시험에는 단위계단함수가 널리 쓰입니다.

2차계의 안정 조건
특성방정식 \(s^2+a_1 s+a_0=0\)(2차)이 안정하려면 모든 계수가 양수이면 충분·필요합니다. (2차식은 계수가 모두 양수이면 라우스 표 제1열에 부호변화가 없어 두 근이 모두 좌반면)

주어진 식 \(s^2+K s+(2K-1)=0\) 의 계수 조건:
• \(s^2\) 계수 \(=1 \gt 0\) (항상 만족)
• \(s\) 계수 \(=K\) → \(K \gt 0\)
• 상수항 \(=2K-1\) → \(2K-1 \gt 0\) → \(K \gt \dfrac12\)

두 조건 \(K \gt 0\) 와 \(K \gt \dfrac12\) 를 모두 만족해야 하므로, 더 강한 조건인 \(K \gt \dfrac12\) 가 답입니다.
※ 라우스 표로도 확인 — \(s^2\)행: \(1,\ 2K-1\) / \(s^1\)행: \(K\) / \(s^0\)행: \(2K-1\). 제1열 \((1,\ K,\ 2K-1)\)이 모두 양수여야 하므로 \(K \gt 0\) 그리고 \(2K-1 \gt 0\), 결국 \(K \gt \dfrac12\).

상태공간 → 전달함수

\(sX=AX+BU\Rightarrow X=(sI-A)^{-1}BU\), 출력 \(Y=CX+DU\)에 대입하면
\[ G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D \]
핵심은 \((sI-A)^{-1}\)로 역행렬을 취한다는 점(스칼라의 \(\tfrac{1}{s-a}\)에 대응). \(D\)는 입력이 출력으로 직접 전달되는 성분으로, 대부분의 회로에서는 \(D=0\)입니다. 분모 \(|sI-A|\)가 특성방정식이 되어 극점을 정합니다. [[state-to-tf]]와 함께 보세요.

제어공학 핵심
전달함수 \(G=\dfrac{C}{R}\), 부궤환 \(\dfrac{G}{1+GH}\), 메이슨 \(\dfrac{\sum P_k\Delta_k}{\Delta}\), 라우스(1열 부호변화=우반면근), 정상편차 \(e_{ss}=\lim_{s\to0}\dfrac{sR}{1+GH}\), 2차계 감쇠비 \(\zeta\).

풀이
제1열 부호변화 횟수 = 우반평면(불안정) 근의 수입니다.

메이슨 이득공식(신호흐름선도·블록선도)
\[ \frac{C}{R}=\frac{\sum_k P_k\Delta_k}{\Delta},\quad \Delta=1-\sum L_i+\sum L_iL_j-\cdots \]· \(P_k\): k번째 전향경로 이득, \(L\): 루프이득, \(\Delta_k\): 그 경로와 접하지 않는 루프만 남긴 값
단일 루프면 \(\dfrac{C}{R}=\dfrac{P}{1-L}\).

풀이
부귀환 폐루프 전달함수 \(\dfrac{C}{R}=\dfrac{G}{1+GH}\).

메이슨 이득공식(신호흐름선도·블록선도)
\[ \frac{C}{R}=\frac{\sum_k P_k\Delta_k}{\Delta},\quad \Delta=1-\sum L_i+\sum L_iL_j-\cdots \]· \(P_k\): k번째 전향경로 이득, \(L\): 루프이득, \(\Delta_k\): 그 경로와 접하지 않는 루프만 남긴 값
단일 루프면 \(\dfrac{C}{R}=\dfrac{P}{1-L}\).

풀이
메이슨 공식 \(T=\dfrac{\sum P_k\Delta_k}{\Delta}\), \(\Delta=1-\sum L\) → 단일루프면 \(\dfrac{P}{1-L}\).

회로이론 핵심
\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\), \(X_L=\omega L,\ X_C=\tfrac1{\omega C}\), 공진 \(f_0=\dfrac1{2\pi\sqrt{LC}}\), 실효값 \(\tfrac{V_m}{\sqrt2}\), 전력 \(P=VI\cos\theta\), 테브낭 등가.

풀이
\(A+\overline{A}=1\)입니다(0이 아님). ①이 틀립니다.

z 변환(이산시스템)
\[ F(z)=\sum_{n=0}^{\infty}f(nT)z^{-n} \]샘플링된 신호를 다루며 \(z=e^{sT}\). 주요쌍: 단위계단 \(\tfrac{z}{z-1}\), \(e^{-aT}\to\tfrac{z}{z-e^{-aT}}\). 이산제어계의 전달함수·안정도(단위원 기준)에 사용.

풀이
\(\mathcal{Z}[e^{-at}]=\dfrac{z}{z-e^{-aT}}\).

영상 성분
3상 동상인 영상분(\(I_0=\tfrac13(I_a+I_b+I_c)\))에 대한 임피던스. 지락(1선지락) 시 \(3I_0\)가 대지로 흐르며 중성점 접지에 의존합니다.

풀이
\(Z_{01}=\sqrt{\dfrac{AB}{CD}},\ Z_{02}=\sqrt{\dfrac{BD}{AC}}\).

시정수 \(\tau\)
\(RL:\ \tau=L/R\), \(RC:\ \tau=RC\) [s]. 최종값의 63.2%에 도달하는 시간, 클수록 응답이 느립니다.

풀이
RL 시정수 \(\tau=\dfrac{L}{R}=\dfrac{40\times10^{-3}}{20}=2\times10^{-3}\,\text{s}\).

왜형률(THD)
\[ THD=\frac{\sqrt{\sum_{n\ge2}V_n^2}}{V_1}\times100\,[\%] \]기본파 대비 고조파 성분의 비율. 정현파는 0%, 클수록 파형이 일그러짐. 무왜형파는 고조파가 없는 파형.

풀이
왜형률 \(=\dfrac{\sqrt{20^2+30^2+40^2}}{56}=\dfrac{\sqrt{2900}}{56}\approx0.96\).

3상 회로 핵심
Y: \(V_l=\sqrt3V_p,\ I_l=I_p\); Δ: \(V_l=V_p,\ I_l=\sqrt3I_p\). 전력 \(P=\sqrt3V_lI_l\cos\theta\), 2전력계 \(P=W_1+W_2\), 대칭분(영상·정상·역상).

풀이
n상 성형 \(V_l=2V_p\sin\dfrac{\pi}{n}\). n=6이면 \(2V_p\sin30°=V_p\).

대칭분·불평형률
\(V_0,V_1,V_2\)(영상·정상·역상). 불평형률 \(=\dfrac{역상분}{정상분}\times100\%\).

풀이
정상분 \(V_1=\frac13(V_a+aV_b+a^2V_c)\). (영상분은 단순 평균, 역상분은 a↔a² 교환)

선로의 특성(파동)임피던스
\[ Z_0=\sqrt{\frac{Z}{Y}}=\sqrt{\frac{R+j\omega L}{G+j\omega C}}\ \xrightarrow{\text{무손실}}\ \sqrt{\frac{L}{C}} \]
· \(L\): 단위길이 인덕턴스, \(C\): 단위길이 정전용량
선로에 진행파가 느끼는 임피던스로, 길이와 무관하게 \(\sqrt{L/C}\)로 정해집니다.

계산
\(Z_0=\sqrt{\dfrac{L}{C}}=\sqrt{\dfrac{96\times10^{-3}}{0.6\times10^{-6}}}=\sqrt{160000}=400\,\Omega\).

회로이론 핵심
\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\), \(X_L=\omega L,\ X_C=\tfrac1{\omega C}\), 공진 \(f_0=\dfrac1{2\pi\sqrt{LC}}\), 실효값 \(\tfrac{V_m}{\sqrt2}\), 전력 \(P=VI\cos\theta\), 테브낭 등가.

풀이
커패시터는 전압, 인덕터는 전류가 급변할 수 없습니다(에너지 연속).

\(\tan\theta=\sqrt3\dfrac{W_1-W_2}{W_1+W_2}=\sqrt3\dfrac{200}{800}=0.433\), \(\theta=23.4°\), \(\cos\theta\approx91.8\%\).

회로이론 핵심
\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\), \(X_L=\omega L,\ X_C=\tfrac1{\omega C}\), 공진 \(f_0=\dfrac1{2\pi\sqrt{LC}}\), 실효값 \(\tfrac{V_m}{\sqrt2}\), 전력 \(P=VI\cos\theta\), 테브낭 등가.

풀이
\(X_L=2\pi fL=2\pi\times60\times0.1=37.7\,\Omega\). \(I=\dfrac{100}{37.7}\approx2.65\,\text{A}\).

라플라스 변환
\[ F(s)=\int_0^\infty f(t)e^{-st}dt \]주요쌍: \(1\!\to\!\tfrac1s\), \(t\!\to\!\tfrac1{s^2}\), \(e^{-at}\!\to\!\tfrac1{s+a}\), \(\sin\omega t\!\to\!\tfrac{\omega}{s^2+\omega^2}\), \(\cos\omega t\!\to\!\tfrac{s}{s^2+\omega^2}\). 미분방정식을 대수식으로 바꿔 회로·제어 해석에 씁니다.

풀이
시간 이동된 임펄스 \(\mathcal{L}[\delta(t-T)]=e^{-Ts}\).

2차계 과도응답
\[ G=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2} \]감쇠비 \(\zeta\)<1 부족제동(진동), =1 임계, >1 과제동. \(\omega_n\):고유주파수.

풀이
표준형 \(s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2=0\). \(\omega_n^2=2500→\omega_n=50\), \(2\zeta\omega_n=50→\zeta=0.5\).

메이슨 이득공식(신호흐름선도·블록선도)
\[ \frac{C}{R}=\frac{\sum_k P_k\Delta_k}{\Delta},\quad \Delta=1-\sum L_i+\sum L_iL_j-\cdots \]· \(P_k\): k번째 전향경로 이득, \(L\): 루프이득, \(\Delta_k\): 그 경로와 접하지 않는 루프만 남긴 값
단일 루프면 \(\dfrac{C}{R}=\dfrac{P}{1-L}\).

풀이
메이슨 공식 \(T=\dfrac{\sum P_k\Delta_k}{\Delta}\), \(\Delta=1-\sum L\) → 단일루프면 \(\dfrac{G}{1-L}\).

제어공학 핵심
전달함수 \(G=\dfrac{C}{R}\), 부궤환 \(\dfrac{G}{1+GH}\), 메이슨 \(\dfrac{\sum P_k\Delta_k}{\Delta}\), 라우스(1열 부호변화=우반면근), 정상편차 \(e_{ss}=\lim_{s\to0}\dfrac{sR}{1+GH}\), 2차계 감쇠비 \(\zeta\).

풀이
근궤적법: K를 0→∞로 변화시킬 때 폐루프 극(특성근)이 s평면에서 그리는 자취.

회로이론 핵심
\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\), \(X_L=\omega L,\ X_C=\tfrac1{\omega C}\), 공진 \(f_0=\dfrac1{2\pi\sqrt{LC}}\), 실효값 \(\tfrac{V_m}{\sqrt2}\), 전력 \(P=VI\cos\theta\), 테브낭 등가.

풀이
0<ζ<1이면 진동하며 수렴하는 부족제동. ζ=1 임계, ζ>1 과제동, ζ=0 무제동.

안정 판정
특성방정식 근(극점)·시스템행렬 고유값의 실수부가 모두 음(좌반면)이면 안정. 하나라도 우반면이면 불안정.

풀이
\(s^2+7s+12=(s+3)(s+4)=0\) → \(s=-3,\,-4\). 좌반면이라 안정.

회로이론 핵심
\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\), \(X_L=\omega L,\ X_C=\tfrac1{\omega C}\), 공진 \(f_0=\dfrac1{2\pi\sqrt{LC}}\), 실효값 \(\tfrac{V_m}{\sqrt2}\), 전력 \(P=VI\cos\theta\), 테브낭 등가.

풀이
아날로그 신호는 연속값이라 이진 신호가 아닙니다.

보드선도
이득 \(20\log|G|\)[dB]와 위상을 주파수 대수축에 표시. 절점(코너)주파수에서 기울기 ±20dB/dec 변화.

풀이
이득여유는 위상이 −180°가 되는 주파수에서의 이득과 0dB의 차이입니다.

블록선도·전달함수
직렬 곱, 병렬 합, 부궤환 \(\dfrac{G}{1+GH}\). 복잡하면 메이슨 공식 \(\dfrac{\sum P_k\Delta_k}{\Delta}\).

풀이
직렬은 곱, 병렬은 합, 부(−)귀환은 \(\frac{G}{1+GH}\). 옳은 것은 '직렬=곱'.

회로이론 핵심
\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\), \(X_L=\omega L,\ X_C=\tfrac1{\omega C}\), 공진 \(f_0=\dfrac1{2\pi\sqrt{LC}}\), 실효값 \(\tfrac{V_m}{\sqrt2}\), 전력 \(P=VI\cos\theta\), 테브낭 등가.

풀이
기동 후 X의 a접점으로 자신을 계속 여자시키는 자기유지(self-holding)회로입니다.

제어공학 핵심
전달함수 \(G=\dfrac{C}{R}\), 부궤환 \(\dfrac{G}{1+GH}\), 메이슨 \(\dfrac{\sum P_k\Delta_k}{\Delta}\), 라우스(1열 부호변화=우반면근), 정상편차 \(e_{ss}=\lim_{s\to0}\dfrac{sR}{1+GH}\), 2차계 감쇠비 \(\zeta\).

풀이
K가 커지면 근이 복소수(공액)로 갈라져 중근이 아닌 공액복소근이 됩니다. ④가 틀립니다.

회로이론 핵심
\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\), \(X_L=\omega L,\ X_C=\tfrac1{\omega C}\), 공진 \(f_0=\dfrac1{2\pi\sqrt{LC}}\), 실효값 \(\tfrac{V_m}{\sqrt2}\), 전력 \(P=VI\cos\theta\), 테브낭 등가.

풀이
\(R\propto\) 길이 → \(R'=\frac23 R\). \(P=\dfrac{E^2}{R}\)이므로 \(P'=\dfrac{E^2}{\frac23 R}=\dfrac32 P\).

회로이론 핵심
\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\), \(X_L=\omega L,\ X_C=\tfrac1{\omega C}\), 공진 \(f_0=\dfrac1{2\pi\sqrt{LC}}\), 실효값 \(\tfrac{V_m}{\sqrt2}\), 전력 \(P=VI\cos\theta\), 테브낭 등가.

풀이
가역(상반) 4단자망은 항상 AD−BC=1이 성립합니다(대칭이면 A=D).

회로이론 핵심
\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\), \(X_L=\omega L,\ X_C=\tfrac1{\omega C}\), 공진 \(f_0=\dfrac1{2\pi\sqrt{LC}}\), 실효값 \(\tfrac{V_m}{\sqrt2}\), 전력 \(P=VI\cos\theta\), 테브낭 등가.

풀이
\(W=\dfrac12 CV^2\) → \(C=\dfrac{2W}{V^2}=\dfrac{2\times9}{300^2}=2\times10^{-4}\,\text{F}=200\,\mu F\).

회로이론 핵심
\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\), \(X_L=\omega L,\ X_C=\tfrac1{\omega C}\), 공진 \(f_0=\dfrac1{2\pi\sqrt{LC}}\), 실효값 \(\tfrac{V_m}{\sqrt2}\), 전력 \(P=VI\cos\theta\), 테브낭 등가.

풀이
Δ↔Y 등가변환으로 복잡한 저항망을 평형 Y부하로 환산해 선전류를 계산합니다.

임펄스·과도응답
임펄스응답 \(h(t)=\mathcal L^{-1}\{G(s)\}\). 극점 위치가 응답 형태(지수·진동·감쇠)를 결정합니다.

풀이
전달함수 \(H(s)=\dfrac{1/RC}{s+1/RC}\)의 역변환 \(h(t)=\dfrac{1}{RC}e^{-t/RC}\).

\(I=\sqrt{\left(\frac{30}{\sqrt2}\right)^2+\left(\frac{40}{\sqrt2}\right)^2}=\sqrt{450+800}=\sqrt{1250}=25\sqrt2\,\text{A}\).

상전압 \(V_p=\dfrac{173.2}{\sqrt3}\angle{-30°}=100\angle{-30°}\). \(Z=\dfrac{V_p}{I}=\dfrac{100\angle{-30°}}{20\angle{-120°}}=5\angle90°\,\Omega\).

2전력계법(3상전력)
\[ P=W_1+W_2,\quad Q=\sqrt3(W_1-W_2),\quad \cos\theta=\frac{W_1+W_2}{2\sqrt{W_1^2+W_2^2-W_1W_2}} \]

풀이
\(P=W_1+W_2=2000\)W, \(Q=\sqrt3(W_2-W_1)=\sqrt3\times1000=1732\)var. \(S=\sqrt{P^2+Q^2}\approx2646\,\text{VA}\).

회로이론 핵심
\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\), \(X_L=\omega L,\ X_C=\tfrac1{\omega C}\), 공진 \(f_0=\dfrac1{2\pi\sqrt{LC}}\), 실효값 \(\tfrac{V_m}{\sqrt2}\), 전력 \(P=VI\cos\theta\), 테브낭 등가.

풀이
\(v=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}=\dfrac{1}{\sqrt{25\times10^{-3}\times0.005\times10^{-6}}}\approx8.95\times10^4\,\text{km/s}\).

라플라스 변환
\[ F(s)=\int_0^\infty f(t)e^{-st}dt \]주요쌍: \(1\!\to\!\tfrac1s\), \(t\!\to\!\tfrac1{s^2}\), \(e^{-at}\!\to\!\tfrac1{s+a}\), \(\sin\omega t\!\to\!\tfrac{\omega}{s^2+\omega^2}\), \(\cos\omega t\!\to\!\tfrac{s}{s^2+\omega^2}\). 미분방정식을 대수식으로 바꿔 회로·제어 해석에 씁니다.

풀이
\(\mathcal{L}[e^{j\omega t}]=\dfrac{1}{s-j\omega}\) (지수함수 \(e^{at}\to\frac{1}{s-a}\)에서 \(a=j\omega\)).

메이슨 이득공식(신호흐름선도·블록선도)
\[ \frac{C}{R}=\frac{\sum_k P_k\Delta_k}{\Delta},\quad \Delta=1-\sum L_i+\sum L_iL_j-\cdots \]· \(P_k\): k번째 전향경로 이득, \(L\): 루프이득, \(\Delta_k\): 그 경로와 접하지 않는 루프만 남긴 값
단일 루프면 \(\dfrac{C}{R}=\dfrac{P}{1-L}\).

풀이
루프는 어떤 마디에서 출발해 같은 마디를 다시 지나지 않고 그 마디로 되돌아오는 폐경로입니다.

제어계 안정도
특성방정식의 모든 근이 s평면 좌반면에 있어야 안정합니다. 라우스·훌비츠(대수적), 나이퀴스트·보드(도식적)로 판별하며, 우반면 근이 있으면 불안정.

풀이
안정하려면 모든 계수가 (+)이고 부호가 같아야 합니다. ②③④는 음계수/결항이 있어 불안정. ①만 라우스 조건도 만족.

회로이론 핵심
\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\), \(X_L=\omega L,\ X_C=\tfrac1{\omega C}\), 공진 \(f_0=\dfrac1{2\pi\sqrt{LC}}\), 실효값 \(\tfrac{V_m}{\sqrt2}\), 전력 \(P=VI\cos\theta\), 테브낭 등가.

풀이
입력 시 즉시 동작(순시동작), 차단 후 지연되어 복귀(한시복귀) → 순시동작 한시복귀형(off delay).

안정도(라우스)
특성근 실수부가 모두 음(좌반면)이면 안정. 라우스 1열 부호변화 없어야 안정, 경계값이 임계안정.

풀이
특성식 \(s^3+5s^2+4s+K=0\). 라우스 \(\frac{5\times4-K}{5}=\frac{20-K}{5}\gt 0\), \(K\gt 0\) → \(0\lt K\lt 20\).

정답: \(1-e^{-at}\)

① 부분분수 분해
\[ \frac{a}{s(s+a)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+a} \]양변에 분모를 곱해 \(a=A(s+a)+Bs\).
• \(s=0\) 대입: \(a=Aa\Rightarrow A=1\)
• \(s=-a\) 대입: \(a=-Ba\Rightarrow B=-1\)
\[ \frac{a}{s(s+a)}=\frac{1}{s}-\frac{1}{s+a} \]
② 각 항 역변환
\(\mathcal{L}^{-1}\!\left[\dfrac1s\right]=u(t)=1\), \(\mathcal{L}^{-1}\!\left[\dfrac{1}{s+a}\right]=e^{-at}\)
\[ f(t)=1-e^{-at} \]RC 충전곡선처럼 0에서 시작해 1로 지수적으로 수렴하는 형태입니다.

회로이론 핵심
\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\), \(X_L=\omega L,\ X_C=\tfrac1{\omega C}\), 공진 \(f_0=\dfrac1{2\pi\sqrt{LC}}\), 실효값 \(\tfrac{V_m}{\sqrt2}\), 전력 \(P=VI\cos\theta\), 테브낭 등가.

풀이
기본 시험입력은 계단·램프(정속도)·포물선(정가속도)·임펄스. 정현파는 주파수응답용입니다.

근궤적 점근선
개수 \(=n-m\)(극점−영점 수), 각 \(=\dfrac{(2k+1)180°}{n-m}\), 실축 교점 \(\sigma=\dfrac{\sum극점-\sum영점}{n-m}\).

풀이
점근선 교차점(무게중심) \(\sigma=\dfrac{\sum\text{극점}-\sum\text{영점}}{p-z}\) (p:극점수, z:영점수).

제어공학 핵심
전달함수 \(G=\dfrac{C}{R}\), 부궤환 \(\dfrac{G}{1+GH}\), 메이슨 \(\dfrac{\sum P_k\Delta_k}{\Delta}\), 라우스(1열 부호변화=우반면근), 정상편차 \(e_{ss}=\lim_{s\to0}\dfrac{sR}{1+GH}\), 2차계 감쇠비 \(\zeta\).

풀이
상태천이행렬은 입력이 없을 때 초기상태에 의한 자유응답을 나타냅니다(정상상태응답 아님). ④가 틀립니다.

회로이론 핵심
\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\), \(X_L=\omega L,\ X_C=\tfrac1{\omega C}\), 공진 \(f_0=\dfrac1{2\pi\sqrt{LC}}\), 실효값 \(\tfrac{V_m}{\sqrt2}\), 전력 \(P=VI\cos\theta\), 테브낭 등가.

풀이
\(G(s)=0.02(s+60)=0\) → 영점 \(s=-60\).

고조파 전류
n고조파에 대해 \(X_L=n\omega L\)(증가), \(X_C=\dfrac1{n\omega C}\)(감소). 각 차수별 전류를 구한 뒤 실효값은 \(\sqrt{\sum I_n^2}\)로 합성합니다.

풀이
3고조파 임피던스 \(Z_3=\sqrt{R^2+(3\omega L)^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5\). \(I_3=\dfrac{75}{5}=15\,\text{A}\).

3상 결선
Y: \(V_l=\sqrt3V_p\), \(I_l=I_p\). Δ: \(V_l=V_p\), \(I_l=\sqrt3I_p\). 선전류=상전압/임피던스 등으로 계산.

풀이
상전류 \(=\dfrac{200}{\sqrt{6^2+8^2}}=\dfrac{200}{10}=20\)A. Δ 선전류 \(=\sqrt3\times20=20\sqrt3\,\text{A}\).

회로이론 핵심
\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\), \(X_L=\omega L,\ X_C=\tfrac1{\omega C}\), 공진 \(f_0=\dfrac1{2\pi\sqrt{LC}}\), 실효값 \(\tfrac{V_m}{\sqrt2}\), 전력 \(P=VI\cos\theta\), 테브낭 등가.

풀이
무왜형 조건에서는 감쇠정수가 주파수와 무관하게 일정하고 감쇠량이 최소가 되어 파형 왜곡이 없습니다.

회로이론 핵심
\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\), \(X_L=\omega L,\ X_C=\tfrac1{\omega C}\), 공진 \(f_0=\dfrac1{2\pi\sqrt{LC}}\), 실효값 \(\tfrac{V_m}{\sqrt2}\), 전력 \(P=VI\cos\theta\), 테브낭 등가.

풀이
t=0⁺: \(i=0,\ V_C=0\). KVL \(V=iR+L\frac{di}{dt}+V_C\) → \(\frac{di}{dt}=\frac{V}{L}=\frac{10}{1}=10\,\text{A/s}\).

라플라스·과도 핵심
\(1\to\tfrac1s,\ e^{-at}\to\tfrac1{s+a},\ \sin\omega t\to\tfrac{\omega}{s^2+\omega^2}\), 시정수 \(\tau=L/R\) 또는 \(RC\)(최종값 63.2%), 초기값 \(\lim_{s\to\infty}sF\)·최종값 \(\lim_{s\to0}sF\).

풀이
최종값 정리 \(\lim_{t\to\infty}f(t)=\lim_{s\to0}sF(s)=\lim_{s\to0}\dfrac{15}{s+3}=\dfrac{15}{3}=5\).

대칭 n상 성형(Y)결선의 선간-상전압 위상차
\[ \theta=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{n}=\frac{n-2}{2n}\times180° \]n=5 대입
\[ \theta=\frac{5-2}{2\times5}\times180°=\frac{3}{10}\times180°=54° \]확인 — 3상이면 \(\dfrac{1}{6}\times180°=30°\)(익숙한 값). 상수가 많을수록 위상차가 커집니다.
선간전압 크기는 \(V_l=2\sin\dfrac{\pi}{n}\times V_p\)입니다.

파형별 실효·평균값
정현반파: 실효 \(V_m/2\), 평균 \(V_m/\pi\). 전파: 실효 \(V_m/\sqrt2\), 평균 \(2V_m/\pi\). 파형률=실효/평균.

풀이
반파정류 실효값 \(=\dfrac{V_m}{2}\) (전파는 \(V_m/\sqrt2\)).

회로이론 핵심
\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\), \(X_L=\omega L,\ X_C=\tfrac1{\omega C}\), 공진 \(f_0=\dfrac1{2\pi\sqrt{LC}}\), 실효값 \(\tfrac{V_m}{\sqrt2}\), 전력 \(P=VI\cos\theta\), 테브낭 등가.

풀이
테브난/노턴 등가 임피던스는 전압원을 단락, 전류원을 개방하고 단자에서 본 임피던스입니다.

대칭분·불평형률
\(V_0,V_1,V_2\)(영상·정상·역상). 불평형률 \(=\dfrac{역상분}{정상분}\times100\%\).

풀이
\(V_1=\frac13(V_a+aV_b+a^2V_c)=\frac13(V_a+a^3V_a+a^3V_a)=\frac13(3V_a)=V_a\) (\(a^3=1\)).

교류전력
순시 \(p=vi\), 평균(유효) \(P=VI\cos\theta\), 복소전력 \(S=VI^*=P+jQ\), \(|S|=VI\).

풀이
비정현파 평균전력 \(P=V_0I_0+\sum_n V_n I_n\cos\theta_n\) — 같은 차수 성분끼리만 전력이 생깁니다(다른 차수는 0).

메이슨 이득공식(신호흐름선도·블록선도)
\[ \frac{C}{R}=\frac{\sum_k P_k\Delta_k}{\Delta},\quad \Delta=1-\sum L_i+\sum L_iL_j-\cdots \]· \(P_k\): k번째 전향경로 이득, \(L\): 루프이득, \(\Delta_k\): 그 경로와 접하지 않는 루프만 남긴 값
단일 루프면 \(\dfrac{C}{R}=\dfrac{P}{1-L}\).

풀이
메이슨: \(\Delta=1-(-GH)=1+GH\), \(T=\dfrac{G}{1+GH}\).

안정도(라우스)
특성근 실수부가 모두 음(좌반면)이면 안정. 라우스 1열 부호변화 없어야 안정, 경계값이 임계안정.

풀이
P=0이면 \(Z=P-N=-N\). 안정(Z=0)이려면 N=0, 즉 궤적이 (−1,j0)을 감싸지 않아야 합니다.

안정도(라우스)
특성근 실수부가 모두 음(좌반면)이면 안정. 라우스 1열 부호변화 없어야 안정, 경계값이 임계안정.

풀이
궤적이 −1을 통과하면 폐루프 극이 허수축 위에 있어 임계안정(지속진동)입니다. 이득여유·위상여유가 모두 0입니다.

제어공학 핵심
전달함수 \(G=\dfrac{C}{R}\), 부궤환 \(\dfrac{G}{1+GH}\), 메이슨 \(\dfrac{\sum P_k\Delta_k}{\Delta}\), 라우스(1열 부호변화=우반면근), 정상편차 \(e_{ss}=\lim_{s\to0}\dfrac{sR}{1+GH}\), 2차계 감쇠비 \(\zeta\).

풀이
위상 −180°에서 |GH|<1이면 궤적이 −1점을 감싸지 못하므로 안정합니다(이득여유 GM>0).

제어공학 핵심
전달함수 \(G=\dfrac{C}{R}\), 부궤환 \(\dfrac{G}{1+GH}\), 메이슨 \(\dfrac{\sum P_k\Delta_k}{\Delta}\), 라우스(1열 부호변화=우반면근), 정상편차 \(e_{ss}=\lim_{s\to0}\dfrac{sR}{1+GH}\), 2차계 감쇠비 \(\zeta\).

풀이
궤적이 −1에서 얼마나 떨어져 있는지를 이득여유(GM)·위상여유(PM)로 나타내며, 클수록 상대안정도가 높습니다.

3상 회로 핵심
Y: \(V_l=\sqrt3V_p,\ I_l=I_p\); Δ: \(V_l=V_p,\ I_l=\sqrt3I_p\). 전력 \(P=\sqrt3V_lI_l\cos\theta\), 2전력계 \(P=W_1+W_2\), 대칭분(영상·정상·역상).

풀이
절대안정도=안정/불안정 판정(라우스·후르비츠), 상대안정도=안정의 여유 정도(이득여유·위상여유).

회로이론 핵심
\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\), \(X_L=\omega L,\ X_C=\tfrac1{\omega C}\), 공진 \(f_0=\dfrac1{2\pi\sqrt{LC}}\), 실효값 \(\tfrac{V_m}{\sqrt2}\), 전력 \(P=VI\cos\theta\), 테브낭 등가.

풀이
나이퀴스트는 개루프 주파수응답 궤적으로 폐루프 안정을 판별하며, 이득·위상 여유(상대안정도)까지 알 수 있습니다.

이득여유(Gain Margin)
위상이 −180°가 되는 주파수에서 \(|GH|\)의 역수입니다.
\[ GM[\text{dB}]=-20\log|G(j\omega_{pc})H(j\omega_{pc})| \]클수록 상대안정도가 높습니다(양수면 안정 여유 존재).

풀이
이득여유는 위상 −180°에서 −1점까지의 크기 여유. GM이 클수록 −1에서 멀어 더 안정합니다(단 과도하면 응답은 느려질 수 있음).

블록선도·전달함수
직렬 곱, 병렬 합, 부궤환 \(\dfrac{G}{1+GH}\). 복잡하면 메이슨 공식 \(\dfrac{\sum P_k\Delta_k}{\Delta}\).

풀이
직렬(종속) 연결은 전달함수를 곱합니다: \(G_1 G_2\). (병렬은 합)

2차계 과도응답
\[ G=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2} \]감쇠비 \(\zeta\)<1 부족제동(진동), =1 임계, >1 과제동. \(\omega_n\):고유주파수.

풀이
\(0\lt \zeta\lt 1\): 진동하며 수렴하는 감쇠진동(부족제동). ζ=1 임계, ζ>1 과제동, ζ=0 무제동(지속진동).

제어공학 핵심
전달함수 \(G=\dfrac{C}{R}\), 부궤환 \(\dfrac{G}{1+GH}\), 메이슨 \(\dfrac{\sum P_k\Delta_k}{\Delta}\), 라우스(1열 부호변화=우반면근), 정상편차 \(e_{ss}=\lim_{s\to0}\dfrac{sR}{1+GH}\), 2차계 감쇠비 \(\zeta\).

풀이
1샘플(T) 지연은 \(z^{-1}\)을 곱합니다 → \(G(z)z^{-1}\).

정상편차·감도
\(e_{ss}=\lim_{s\to0}\dfrac{sR(s)}{1+GH}\). 비례제어는 잔류편차(offset) 존재, 적분(I) 추가로 제거. 감도는 파라미터 변화에 대한 응답 민감도.

풀이
비례(P) 제어는 잔류편차(off-set)가 남습니다. 적분항(I)이 있으면 잔류편차를 없앱니다.

안정도(라우스)
특성근 실수부가 모두 음(좌반면)이면 안정. 라우스 1열 부호변화 없어야 안정, 경계값이 임계안정.

풀이
BIBO 안정: 유한(bounded) 입력에 대해 출력도 유한하면 안정입니다.

근궤적 점근선
개수 \(=n-m\)(극점−영점 수), 각 \(=\dfrac{(2k+1)180°}{n-m}\), 실축 교점 \(\sigma=\dfrac{\sum극점-\sum영점}{n-m}\).

풀이
\(\sigma=\dfrac{\sum\text{극}-\sum\text{영}}{p-z}=\dfrac{(0-3-6)-0}{3}=-3\).

라우스(Routh) 안정도 판별 — 우반면 근의 개수

특성방정식 \(s^3+11s^2+2s+40=0\)의 계수를 두 줄로 배열해 라우스 표를 만듭니다:

차수	1열	2열
\(s^3\)	1	2
\(s^2\)	11	40
\(s^1\)	\(\dfrac{11\cdot2-1\cdot40}{11}=\dfrac{-18}{11}\approx-1.64\)	0
\(s^0\)	40

제1열의 부호: \(1(+)\ \to\ 11(+)\ \to\ -1.64(-)\ \to\ 40(+)\)
부호가 바뀌는 곳: 11 → −1.64(+→−), −1.64 → 40(−→+) — 총 2회.

판정: 라우스 판별법에서 제1열 부호변화 횟수 = s평면 우반면(양의 실수부, 불안정) 근의 개수입니다.
→ 부호변화 2회이므로 양의 실수부를 갖는 근은 2개(이 계는 불안정).
∴ 정답 ② 2개.
※ \(s^1\)행 계산: \(b_1=\dfrac{(s^2\text{행 1열})(s^3\text{행 2열})-(s^3\text{행 1열})(s^2\text{행 2열})}{s^2\text{행 1열}}=\dfrac{11\cdot2-1\cdot40}{11}\).

논리식 간소화
불대수(흡수 \(A+AB=A\), \(A+\bar AB=A+B\))·드모르간·카르노맵으로 최소항을 구합니다.

풀이
\(xy+x\bar y=x\), \(x+\bar x y=x+y\).

부궤환 폐루프 전달함수
출력 \(C=G\cdot(R-HC)\)에서 \(C(1+GH)=GR\):
\[ \frac{C}{R}=\frac{G}{1+GH} \]
· 분자: 전향경로 이득 \(G\)
· 분모: \(1+\)(개루프 이득 \(GH\)) — 부궤환이라 (+)부호
정(+)궤환이면 \(\dfrac{G}{1-GH}\)가 됩니다.
예 — \(G=4,\ H=\tfrac{5}{28}\)이면 \(\dfrac{C}{R}=\dfrac{4}{1+4\cdot\frac{5}{28}}=\dfrac{4}{1+\frac{5}{7}}=\dfrac{4}{12/7}=\dfrac{7}{3}\approx2.33\).

주파수응답 — 크기 A와 위상 θ (그림)

\(G(j\omega)=\dfrac{1}{j\omega\,(j\omega+1)}\)를 극점별로 나눠 봅니다.

크기 \(A=|G(j\omega)|=\dfrac{1}{|j\omega|\,|j\omega+1|}=\dfrac{1}{\omega\sqrt{\omega^2+1}}\)
위상 \(\theta=\angle G=-\angle(j\omega)-\angle(j\omega+1)=-90^\circ-\tan^{-1}\omega\)

각 극점의 위상 기여:
• \(j\omega\) (원점 극점=적분기): 위상 항상 \(-90^\circ\)
• \((j\omega+1)\) (극점 \(\omega=1\)): 위상 \(0^\circ\to-90^\circ\) (\(\omega:0\to\infty\))

극한값

	\(\omega\to0\)	\(\omega\to\infty\)
크기 A	\(\dfrac{1}{\omega\cdot1}\to\infty\)	\(\dfrac{1}{\omega\cdot\omega}=\dfrac{1}{\omega^2}\to 0\)
위상 θ	\(-90^\circ-0^\circ=-90^\circ\)	\(-90^\circ-90^\circ=-180^\circ\)

→ \(\omega\to\infty\)에서 A=0, θ=−180°. 정답 ②.
※ 오답 ③ (A=∞, θ=−90°)은 반대쪽 극한 \(\omega\to0\)의 값입니다. ①④는 크기·위상 중 하나가 어긋납니다.

\(X_C=\dfrac{1}{2\pi fC}=\dfrac{1}{2\pi\times60\times30\times10^{-6}}\approx88.4\Omega\), \(Z=\sqrt{100^2+88.4^2}\approx133.5\), \(I=\dfrac{100}{133.5}\approx0.75\,\text{A}\).

회로이론 핵심
\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\), \(X_L=\omega L,\ X_C=\tfrac1{\omega C}\), 공진 \(f_0=\dfrac1{2\pi\sqrt{LC}}\), 실효값 \(\tfrac{V_m}{\sqrt2}\), 전력 \(P=VI\cos\theta\), 테브낭 등가.

풀이
무손실 특성임피던스는 \(Z_0=\sqrt{L/C}\)입니다(C/L 아님). ②가 틀립니다.

라플라스·과도 핵심
\(1\to\tfrac1s,\ e^{-at}\to\tfrac1{s+a},\ \sin\omega t\to\tfrac{\omega}{s^2+\omega^2}\), 시정수 \(\tau=L/R\) 또는 \(RC\)(최종값 63.2%), 초기값 \(\lim_{s\to\infty}sF\)·최종값 \(\lim_{s\to0}sF\).

풀이
시간이동 정리: \(\mathcal{L}[u(t-T)]=\dfrac{e^{-Ts}}{s}\).

2전력계법(3상전력)
\[ P=W_1+W_2,\quad Q=\sqrt3(W_1-W_2),\quad \cos\theta=\frac{W_1+W_2}{2\sqrt{W_1^2+W_2^2-W_1W_2}} \]

풀이
\(P=700+1400=2100\)W, \(Q=\sqrt3(1400-700)=1212\)var, \(S=\sqrt{2100^2+1212^2}\approx2425\,\text{VA}\).

파형별 실효·평균값
정현반파: 실효 \(V_m/2\), 평균 \(V_m/\pi\). 전파: 실효 \(V_m/\sqrt2\), 평균 \(2V_m/\pi\). 파형률=실효/평균.

풀이
반파정류 실효값 \(=\dfrac{I_m}{2}\)(평균값은 \(I_m/\pi\)).

파고율·파형률
\[ 파고율=\frac{최대값}{실효값},\qquad 파형률=\frac{실효값}{평균값} \]정현파: 파고율 √2≈1.414, 파형률 ≈1.11. 파형의 뾰족함·완만함을 나타냅니다.

풀이
파고율 \(=\dfrac{I_m}{I_m/\sqrt2}=\sqrt2\). (파형률=실효값/평균값=1.11)

4단자(ABCD) 정수 — 종속접속은 행렬 곱 (그림)

두 2포트 소자를 직렬(종속)로 이으면 각 ABCD 행렬을 곱합니다.

① 직렬 임피던스 \(Z=10\,\Omega\):
\[ \begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&Z\\0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&10\\0&1\end{bmatrix} \]② 이상변압기 권수비 \(n=10\) (10:1):
\[ \begin{bmatrix}n&0\\0&\tfrac1n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}10&0\\0&\tfrac1{10}\end{bmatrix} \]종속접속(행렬 곱)
\[ \begin{bmatrix}1&10\\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}10&0\\0&\tfrac1{10}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\cdot10+10\cdot0 & 1\cdot0+10\cdot\tfrac1{10}\\ 0\cdot10+1\cdot0 & 0\cdot0+1\cdot\tfrac1{10}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}10&1\\0&\tfrac1{10}\end{bmatrix} \]∴ \(A=10,\ B=1,\ C=0,\ D=\tfrac1{10}\) → 정답 ④.

※ 검산: \(AD-BC=10\cdot\tfrac1{10}-1\cdot0=1\) — 상반(가역) 회로 조건 만족. 종속접속은 곱 순서가 신호 흐름 순서(입력→출력)와 같아야 합니다.

2차계 과도응답
\[ G=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2} \]감쇠비 \(\zeta\)<1 부족제동(진동), =1 임계, >1 과제동. \(\omega_n\):고유주파수.

풀이
\(i(t)=\dfrac{V}{R}e^{-t/RC}\) — t=0⁺에 최대, 지수적으로 감쇠합니다.

회로이론 핵심
\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\), \(X_L=\omega L,\ X_C=\tfrac1{\omega C}\), 공진 \(f_0=\dfrac1{2\pi\sqrt{LC}}\), 실효값 \(\tfrac{V_m}{\sqrt2}\), 전력 \(P=VI\cos\theta\), 테브낭 등가.

풀이
발전기 기본식: \(V_0=-Z_0 I_0\), \(V_1=E_a-Z_1 I_1\), \(V_2=-Z_2 I_2\). 정상분만 기전력 \(E_a\)를 가집니다.

제어공학 핵심
전달함수 \(G=\dfrac{C}{R}\), 부궤환 \(\dfrac{G}{1+GH}\), 메이슨 \(\dfrac{\sum P_k\Delta_k}{\Delta}\), 라우스(1열 부호변화=우반면근), 정상편차 \(e_{ss}=\lim_{s\to0}\dfrac{sR}{1+GH}\), 2차계 감쇠비 \(\zeta\).

풀이
되먹임이 없으면(H=0) \(\dfrac{C}{R}=G=\dfrac{28}{5}\). (부귀환이면 \(\dfrac{G}{1+GH}\))

보드선도 — 이득[dB]과 위상각
\(G(j\omega)=\dfrac{1}{(j\omega)^2}\), \(\omega=10\)rad/s에서
이득: \(|G|=\dfrac{1}{\omega^2}=\dfrac{1}{100}\)
\[ g=20\log_{10}|G|=20\log_{10}(0.01)=20\times(-2)=-40\,\text{dB} \]
(크기로는 40dB 감쇠)
위상: \((j\omega)^2\)은 \(j^2=-1\)이라 실수 음수 → 위상 \(-180°\)
(적분기 \(1/j\omega\) 하나가 \(-90°\)이므로 두 개면 \(-180°\))
\[ \therefore\ -40\text{dB},\ -180° \]
주의 — 이득이 \(+20\)dB가 아니라 \(-40\)dB(40dB 감쇠)입니다.

논리회로·불대수
기본: AND(\(\cdot\)), OR(\(+\)), NOT(\(\overline{\ }\)). 드모르간 \(\overline{A+B}=\bar A\bar B\), \(\overline{AB}=\bar A+\bar B\). 흡수·분배법칙으로 논리식을 간소화합니다.

풀이
하나라도 1이면 출력 1 → OR 회로.

이득여유(Gain Margin)
위상이 −180°가 되는 주파수에서 \(|GH|\)의 역수입니다.
\[ GM[\text{dB}]=-20\log|G(j\omega_{pc})H(j\omega_{pc})| \]클수록 상대안정도가 높습니다(양수면 안정 여유 존재).

풀이
이득여유는 −1점(불안정)까지의 이득 배수 여유로, 이 계에서는 8입니다.

회로이론 핵심
\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\), \(X_L=\omega L,\ X_C=\tfrac1{\omega C}\), 공진 \(f_0=\dfrac1{2\pi\sqrt{LC}}\), 실효값 \(\tfrac{V_m}{\sqrt2}\), 전력 \(P=VI\cos\theta\), 테브낭 등가.

풀이
궤환제어는 구조가 복잡하고 비용이 큽니다. ③이 특징이 아닙니다.

제어공학 핵심
전달함수 \(G=\dfrac{C}{R}\), 부궤환 \(\dfrac{G}{1+GH}\), 메이슨 \(\dfrac{\sum P_k\Delta_k}{\Delta}\), 라우스(1열 부호변화=우반면근), 정상편차 \(e_{ss}=\lim_{s\to0}\dfrac{sR}{1+GH}\), 2차계 감쇠비 \(\zeta\).

풀이
이산 시스템은 특성근이 z평면 단위원 내부에 있으면 안정(s평면 좌반면 ↔ 단위원 내부).

회로이론 핵심
\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\), \(X_L=\omega L,\ X_C=\tfrac1{\omega C}\), 공진 \(f_0=\dfrac1{2\pi\sqrt{LC}}\), 실효값 \(\tfrac{V_m}{\sqrt2}\), 전력 \(P=VI\cos\theta\), 테브낭 등가.

풀이
온도 검출부는 열전대(thermocouple)입니다.

제어공학 핵심
전달함수 \(G=\dfrac{C}{R}\), 부궤환 \(\dfrac{G}{1+GH}\), 메이슨 \(\dfrac{\sum P_k\Delta_k}{\Delta}\), 라우스(1열 부호변화=우반면근), 정상편차 \(e_{ss}=\lim_{s\to0}\dfrac{sR}{1+GH}\), 2차계 감쇠비 \(\zeta\).

풀이
20dB = 10배 여유. 이 계 조건에서 \(K=\dfrac{3}{10}\).

회로이론 핵심
\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\), \(X_L=\omega L,\ X_C=\tfrac1{\omega C}\), 공진 \(f_0=\dfrac1{2\pi\sqrt{LC}}\), 실효값 \(\tfrac{V_m}{\sqrt2}\), 전력 \(P=VI\cos\theta\), 테브낭 등가.

풀이
공진(XL=Xc=100)에서 \(I=E/R=1\)A, \(V_L=I X_L=1\times100=100\,\text{V}\).

회로이론 핵심
\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\), \(X_L=\omega L,\ X_C=\tfrac1{\omega C}\), 공진 \(f_0=\dfrac1{2\pi\sqrt{LC}}\), 실효값 \(\tfrac{V_m}{\sqrt2}\), 전력 \(P=VI\cos\theta\), 테브낭 등가.

풀이
\(S=\sqrt{230^2+345^2}\approx414.6\)VA, \(I=S/V=414.6/115\approx3.6\,\text{A}\).

시정수 \(\tau\)
\(RL:\ \tau=L/R\), \(RC:\ \tau=RC\) [s]. 최종값의 63.2%에 도달하는 시간, 클수록 응답이 느립니다.

풀이
시정수는 최종값의 63.2%에 도달하는 시간입니다. '0.632%'라 한 ④가 틀립니다.

회로이론 핵심
\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\), \(X_L=\omega L,\ X_C=\tfrac1{\omega C}\), 공진 \(f_0=\dfrac1{2\pi\sqrt{LC}}\), 실효값 \(\tfrac{V_m}{\sqrt2}\), 전력 \(P=VI\cos\theta\), 테브낭 등가.

풀이
무손실(R=G=0): 감쇠정수 α=0, 위상정수 β=ω√(LC).

교류전력
순시 \(p=vi\), 평균(유효) \(P=VI\cos\theta\), 복소전력 \(S=VI^*=P+jQ\), \(|S|=VI\).

풀이
소비전력 \(P=VI\cos\theta\). 주어진 파형의 실효값·위상 대입 시 150W.

정저항·역회로
정저항회로: 주파수와 무관하게 임피던스가 순저항 \(R\)(\(Z_1Z_2=R^2\)). 역회로는 \(Z_1Z_2=K^2\)를 만족하는 쌍대회로입니다.

풀이
역회로 조건 \(Z_1 Z_2=K^2=\dfrac{L}{C}\)를 만족하도록 계산하면 \(L=10\,\text{mH}\).

\(\tan\theta=\sqrt3\dfrac{W_1-W_2}{W_1+W_2}=\sqrt3\dfrac{3W_2-W_2}{3W_2+W_2}=\dfrac{\sqrt3}{2}\), \(\cos\theta\approx0.76\).

라플라스 역변환
부분분수 전개 후 표준쌍으로 되돌림: \(\dfrac1{s+a}\to e^{-at}\), \(\dfrac{\omega}{s^2+\omega^2}\to\sin\omega t\).

풀이
\(\dfrac{1}{s(s+a)}=\dfrac1a\!\left(\dfrac1s-\dfrac1{s+a}\right)\to\dfrac1a(1-e^{-at})\).

3상 회로 핵심
Y: \(V_l=\sqrt3V_p,\ I_l=I_p\); Δ: \(V_l=V_p,\ I_l=\sqrt3I_p\). 전력 \(P=\sqrt3V_lI_l\cos\theta\), 2전력계 \(P=W_1+W_2\), 대칭분(영상·정상·역상).

풀이
\(Z=\sqrt{10^2+10^2}=10\sqrt2\), 상전류 대입 → \(I_t=10\sqrt6\,\text{A}\), \(P_3=3I^2R=6000\,\text{W}\).

회로이론 핵심
\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\), \(X_L=\omega L,\ X_C=\tfrac1{\omega C}\), 공진 \(f_0=\dfrac1{2\pi\sqrt{LC}}\), 실효값 \(\tfrac{V_m}{\sqrt2}\), 전력 \(P=VI\cos\theta\), 테브낭 등가.

풀이
대칭 다상 전류가 대칭 배치 코일에 흐르면 원형(진폭 일정) 회전자계가 생깁니다.

정상상태 편차(오차)
\[ e_{ss}=\lim_{s\to0}\frac{sR(s)}{1+G(s)H(s)} \]· 계단입력 → 위치편차상수 \(K_p\), 램프 → 속도편차상수 \(K_v\), 포물선 → 가속도편차상수 \(K_a\)
제어계 형(type)이 높을수록 정상편차가 작아집니다.

풀이
계단 정상편차 \(e_{ss}=\dfrac{1}{1+K_p}=\dfrac{1}{1+19}=\dfrac{1}{20}=0.05\).

제어공학 핵심
전달함수 \(G=\dfrac{C}{R}\), 부궤환 \(\dfrac{G}{1+GH}\), 메이슨 \(\dfrac{\sum P_k\Delta_k}{\Delta}\), 라우스(1열 부호변화=우반면근), 정상편차 \(e_{ss}=\lim_{s\to0}\dfrac{sR}{1+GH}\), 2차계 감쇠비 \(\zeta\).

풀이
제어량 분류: 자동조정·서보기구·프로세스. 적응제어는 제어방식 분류입니다.

근궤적 점근선의 교차점 = 무게중심(centroid) σ (그림)

극점 수 \(n\)이 영점 수 \(m\)보다 많으면, 무한대로 뻗어나가는 \((n-m)\)개의 점근선이 실축 위의 한 점 \(\sigma\)에서 갈라져 나옵니다. 그 위치는:
\[ \sigma=\frac{\sum(\text{극점})-\sum(\text{영점})}{n-m} \](분자·분모 모두 실수라 \(\sigma\)는 항상 실축 위의 점)

예시 — \(\sigma=-\dfrac74\)가 되는 배치
\(G(s)H(s)=\dfrac{K}{s(s+1)(s+3)^2}\) 라면
• 극점: \(0,\,-1,\,-3,\,-3\) → \(n=4\), 영점 없음 \(m=0\)
\[ \sigma=\frac{0+(-1)+(-3)+(-3)}{4-0}=\frac{-7}{4} \]점근선은 \(n-m=4\)개, 각도 \(=\dfrac{(2k+1)180^\circ}{n-m}=\pm45^\circ,\pm135^\circ\) (그림).

※ 이 \(\sigma\)는 극·영점이 아니라 점근선들이 모이는 실축상의 무게중심입니다. 문제는 그 교차점 값을 묻는 것이므로 답은 \(-\dfrac74\).
∴ 정답 ② \(-\dfrac74\).

라플라스 역변환
부분분수 전개 후 표준쌍으로 되돌림: \(\dfrac1{s+a}\to e^{-at}\), \(\dfrac{\omega}{s^2+\omega^2}\to\sin\omega t\).

풀이
\(\mathcal{L}[u]=\frac1s\), \(\mathcal{Z}[u]=\dfrac{z}{z-1}\).

회로이론 핵심
\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\), \(X_L=\omega L,\ X_C=\tfrac1{\omega C}\), 공진 \(f_0=\dfrac1{2\pi\sqrt{LC}}\), 실효값 \(\tfrac{V_m}{\sqrt2}\), 전력 \(P=VI\cos\theta\), 테브낭 등가.

풀이
동반형(companion) 행렬 \(\begin{bmatrix}0&1\\-a_0&-a_1\end{bmatrix}\).

라플라스·과도 핵심
\(1\to\tfrac1s,\ e^{-at}\to\tfrac1{s+a},\ \sin\omega t\to\tfrac{\omega}{s^2+\omega^2}\), 시정수 \(\tau=L/R\) 또는 \(RC\)(최종값 63.2%), 초기값 \(\lim_{s\to\infty}sF\)·최종값 \(\lim_{s\to0}sF\).

풀이
안정계의 임펄스 응답은 시간이 지나면 0으로 수렴합니다.

메이슨 이득공식(신호흐름선도·블록선도)
\[ \frac{C}{R}=\frac{\sum_k P_k\Delta_k}{\Delta},\quad \Delta=1-\sum L_i+\sum L_iL_j-\cdots \]· \(P_k\): k번째 전향경로 이득, \(L\): 루프이득, \(\Delta_k\): 그 경로와 접하지 않는 루프만 남긴 값
단일 루프면 \(\dfrac{C}{R}=\dfrac{P}{1-L}\).

풀이
부귀환 폐루프 \(\dfrac{C}{R}=\dfrac{G}{1+GH}\).

안정도(라우스)
특성근 실수부가 모두 음(좌반면)이면 안정. 라우스 1열 부호변화 없어야 안정, 경계값이 임계안정.

풀이
라우스 \(\frac{2K-5}{2}\gt 0\) → \(K\gt \frac52\).

논리회로·불대수
기본: AND(\(\cdot\)), OR(\(+\)), NOT(\(\overline{\ }\)). 드모르간 \(\overline{A+B}=\bar A\bar B\), \(\overline{AB}=\bar A+\bar B\). 흡수·분배법칙으로 논리식을 간소화합니다.

풀이
두 입력이 다를 때만 1 → EX-OR(배타적 OR).

대칭좌표법(대칭분)
불평형 3상을 영상·정상·역상 성분으로 분해:
\[ V_0=\tfrac13(V_a+V_b+V_c),\ V_1=\tfrac13(V_a+aV_b+a^2V_c),\ V_2=\tfrac13(V_a+a^2V_b+aV_c) \]\(a=1\angle120°\). 각 고장별로 대칭분 회로를 연결해 해석합니다.

풀이
정상분은 \(\frac13(V_a+aV_b+a^2V_c)\)입니다. ④(단순합)가 틀립니다.

회로이론 핵심
\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\), \(X_L=\omega L,\ X_C=\tfrac1{\omega C}\), 공진 \(f_0=\dfrac1{2\pi\sqrt{LC}}\), 실효값 \(\tfrac{V_m}{\sqrt2}\), 전력 \(P=VI\cos\theta\), 테브낭 등가.

풀이
방전 \(i=\frac{E}{R}e^{-t/\tau}\), \(t=\tau\)에서 \(e^{-1}=0.368\) → \(0.368E/R\).

왜형률(THD)
\[ THD=\frac{\sqrt{\sum_{n\ge2}V_n^2}}{V_1}\times100\,[\%] \]기본파 대비 고조파 성분의 비율. 정현파는 0%, 클수록 파형이 일그러짐. 무왜형파는 고조파가 없는 파형.

풀이
무왜형에서 \(\alpha=\sqrt{RG}\)(주파수 무관), \(\beta=\omega\sqrt{LC}\).

회로이론 핵심
\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\), \(X_L=\omega L,\ X_C=\tfrac1{\omega C}\), 공진 \(f_0=\dfrac1{2\pi\sqrt{LC}}\), 실효값 \(\tfrac{V_m}{\sqrt2}\), 전력 \(P=VI\cos\theta\), 테브낭 등가.

풀이
\(H_{11}=\dfrac{V_1}{I_1}\Big|_{V_2=0}\) (출력 단락 입력임피던스).

회로이론 핵심
\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\), \(X_L=\omega L,\ X_C=\tfrac1{\omega C}\), 공진 \(f_0=\dfrac1{2\pi\sqrt{LC}}\), 실효값 \(\tfrac{V_m}{\sqrt2}\), 전력 \(P=VI\cos\theta\), 테브낭 등가.

풀이
1조 \(=10\times0.1=1\Omega\), 5조 병렬 \(=1/5=0.2\,\Omega\).

라플라스·과도 핵심
\(1\to\tfrac1s,\ e^{-at}\to\tfrac1{s+a},\ \sin\omega t\to\tfrac{\omega}{s^2+\omega^2}\), 시정수 \(\tau=L/R\) 또는 \(RC\)(최종값 63.2%), 초기값 \(\lim_{s\to\infty}sF\)·최종값 \(\lim_{s\to0}sF\).

풀이
\(F(s)=\displaystyle\int_0^\infty f(t)e^{-st}dt\).

회로이론 핵심
\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\), \(X_L=\omega L,\ X_C=\tfrac1{\omega C}\), 공진 \(f_0=\dfrac1{2\pi\sqrt{LC}}\), 실효값 \(\tfrac{V_m}{\sqrt2}\), 전력 \(P=VI\cos\theta\), 테브낭 등가.

풀이
반파대칭 \(f(t\pm T/2)=-f(t)\)이면 홀수(기수) 고조파만 존재합니다.

파형별 실효·평균값
정현반파: 실효 \(V_m/2\), 평균 \(V_m/\pi\). 전파: 실효 \(V_m/\sqrt2\), 평균 \(2V_m/\pi\). 파형률=실효/평균.

풀이
반파정류 실효값 \(=\dfrac{E_m}{2}\).

Y결선의 선간전압·상전압 관계
Y(성형)결선에서는 선간전압이 상전압의 \(\sqrt3\)배이고 위상은 30° 앞섭니다.
\[ V_{선}=\sqrt3\,V_{상}\ \Rightarrow\ V_{상}=\frac{V_{선}}{\sqrt3}=\frac{200}{\sqrt3}\approx115.5\approx116\,\text{V} \]
비교 — △(델타)결선은 선간=상전압(\(V_{선}=V_{상}\)), 선전류가 상전류의 \(\sqrt3\)배입니다. Y는 전압이 \(\sqrt3\), △는 전류가 \(\sqrt3\).

메이슨 이득공식(신호흐름선도·블록선도)
\[ \frac{C}{R}=\frac{\sum_k P_k\Delta_k}{\Delta},\quad \Delta=1-\sum L_i+\sum L_iL_j-\cdots \]· \(P_k\): k번째 전향경로 이득, \(L\): 루프이득, \(\Delta_k\): 그 경로와 접하지 않는 루프만 남긴 값
단일 루프면 \(\dfrac{C}{R}=\dfrac{P}{1-L}\).

풀이
부귀환 폐루프 \(\dfrac{C}{R}=\dfrac{G}{1+GH}\).

보드선도
이득 \(20\log|G|\)[dB]와 위상을 주파수 대수축에 표시. 절점(코너)주파수에서 기울기 ±20dB/dec 변화.

풀이
대역폭이 좁으면 고주파 성분을 못 따라가 응답이 늦어집니다.

논리회로 → 출력식
그림은 입력 \(A,\ B\)를 각각 NOT(인버터) 한 뒤 AND로 묶은 회로입니다. 따라서 출력은
\[ X=\overline{A}\cdot\overline{B} \]드모르간 정리로 변형
\(\overline{A}\cdot\overline{B}=\overline{A+B}\) → 두 입력이 모두 0일 때만 출력 1이 되는 NOR와 같습니다.
따라서 정답은 \(\overline{A+B}\).
※ 오답 정리 — \(\overline{A\cdot B}\)는 \(\overline{A}+\overline{B}\)(NAND)로 다른 식입니다. 드모르간: 곱의 부정=합의… 이 아니라 각 부정의 곱 \(\overline{A}\,\overline{B}\)는 합의 부정 \(\overline{A+B}\)와 같습니다.

제어요소·주파수응답
비례(P)·적분(I)·미분(D) 요소가 이득·위상에 미치는 영향을 봅니다. 적분 \(1/j\omega\)는 −90°, 미분 \(j\omega\)는 +90° 위상, 이득[dB]=\(20\log|G|\).

풀이
\(\dfrac{Ks}{1+Ts}\)는 미분(s)과 1차지연이 합쳐진 1차 지연 미분요소.

상태천이행렬
\[ \phi(t)=e^{At}=\mathcal L^{-1}\{(sI-A)^{-1}\} \]초기상태로부터의 자유응답 \(x(t)=\phi(t)x(0)\)을 주며, \(\phi(0)=I\).

풀이
천이행렬 \(\phi(t)=e^{At}=\mathcal{L}^{-1}[(sI-A)^{-1}]\).

회로이론 핵심
\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\), \(X_L=\omega L,\ X_C=\tfrac1{\omega C}\), 공진 \(f_0=\dfrac1{2\pi\sqrt{LC}}\), 실효값 \(\tfrac{V_m}{\sqrt2}\), 전력 \(P=VI\cos\theta\), 테브낭 등가.

풀이
제어장치가 제어대상에 가하는 신호 = 조작량.

제어요소(PID)
P: 응답↑·잔류편차, I: 편차 제거·응답느림, D: 응답 빠름·안정도↑. 진상보상은 위상여유·응답속도 개선.

풀이
적분제어는 정상상태 오차(off-set)를 제거합니다.

제어요소·주파수응답
비례(P)·적분(I)·미분(D) 요소가 이득·위상에 미치는 영향을 봅니다. 적분 \(1/j\omega\)는 −90°, 미분 \(j\omega\)는 +90° 위상, 이득[dB]=\(20\log|G|\).

풀이
적분요소 \(\frac{1}{j\omega}\): 크기 \(1/\omega\), 위상 −90°.

라우스(Routh) 안정도 판별
특성방정식 계수로 라우스 표를 만들어 제1열의 부호변화 횟수 = s평면 우반면(불안정) 근의 개수입니다. 부호변화가 없으면 안정.

풀이
제1열 부호변화 횟수 = 우반면(불안정) 근의 수 = 2개.

제어공학 핵심
전달함수 \(G=\dfrac{C}{R}\), 부궤환 \(\dfrac{G}{1+GH}\), 메이슨 \(\dfrac{\sum P_k\Delta_k}{\Delta}\), 라우스(1열 부호변화=우반면근), 정상편차 \(e_{ss}=\lim_{s\to0}\dfrac{sR}{1+GH}\), 2차계 감쇠비 \(\zeta\).

풀이
제1열 부호변화 2회 → 우반면 근 2개(불안정).

회로이론 핵심
\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\), \(X_L=\omega L,\ X_C=\tfrac1{\omega C}\), 공진 \(f_0=\dfrac1{2\pi\sqrt{LC}}\), 실효값 \(\tfrac{V_m}{\sqrt2}\), 전력 \(P=VI\cos\theta\), 테브낭 등가.

풀이
기전력·저항 배치를 KVL로 풀면 전류는 반시계방향입니다.

전달함수 \(G(s)\)
모든 초기값을 0으로 놓았을 때 출력의 라플라스변환 ÷ 입력의 라플라스변환입니다.
\[ G(s)=\frac{C(s)}{R(s)} \]선형시불변(LTI) 시스템의 입출력 관계를 \(s\)영역에서 나타냅니다.

풀이
미분방정식을 라플라스 변환해 \(\dfrac{Y(s)}{X(s)}\)(s의 다항식 비)로 구합니다.

R-L 직렬 과도전류와 시정수
직류 인가 시 RL회로 전류는
\[ i(t)=\frac{V}{R}\Big(1-e^{-t/\tau}\Big)=\underbrace{\frac{V}{R}}_{A}+\underbrace{\Big(-\frac{V}{R}\Big)}_{B}e^{-t/\tau} \]
주어진 형태 \(i(t)=A+Be^{-at}\)와 비교하면 지수의 계수 \(a=\dfrac{1}{\tau}\)입니다.
RL 시정수
\[ \tau=\frac{L}{R}\ \Rightarrow\ a=\frac{1}{\tau}=\frac{R}{L} \]
대입
\[ a=\frac{R}{L}=\frac{4}{10\times10^{-3}}=\frac{4}{0.01}=400 \]
핵심 — 지수 계수 \(a\)는 시정수의 역수(\(R/L\))로, 전원전압 \(V\)나 초기조건과 무관하게 회로의 \(R,L\)만으로 정해집니다. (그래서 \(A\)·\(B\) 값을 몰라도 \(a\)는 구할 수 있습니다.) \(a\)가 클수록 과도현상이 빨리 사라집니다.