회로이론
제어공학
라우스
2022.4 기출
특성방정식 \(s^4+s^3-3s^2-s+2=0\)의 s평면 우반면 근은 몇 개인가?
- ① 0
- ② 1
- ③ 2 정답
- ④ 3
📖 해설
라우스(Routh) 안정도 판별
특성방정식 \(s^4+s^3-3s^2-s+2=0\)의 계수로 라우스 표를 만듭니다.
① 1·2행: 계수를 한 칸씩 건너 배열
② 1열에 0이 나오는 특수경우
\(s^1\)행 1열이 0이 되면 그대로 나눌 수 없으므로 아주 작은 양수 \(\varepsilon(\gt 0)\)로 대체하고 다음 행을 계속 계산합니다.
③ 1열의 부호변화 세기
1열: \(1,\ 1,\ -2,\ \varepsilon(+),\ 2\)
부호: \(+,\ +,\ \mathbf{-},\ +,\ +\) → \(+\to-\) (1회), \(-\to+\) (2회)
\[ 부호변화\ 2회\ =\ s평면\ 우반면(불안정)\ 근\ \mathbf{2개} \]
④ 인수분해로 검증
\(s=1\) 대입: \(1+1-3-1+2=0\) → \((s-1)\) 인수. 나눠 정리하면
\[ s^4+s^3-3s^2-s+2=(s-1)^2(s+1)(s+2)=0 \]
근은 \(s=1(\text{중근}),\ -1,\ -2\). 이 중 \(s=1\)(실수부 \(+\))이 2개이므로 우반면 근이 2개 — 라우스 결과와 일치합니다.
핵심 — 특성방정식 계수에 음(−)이 섞여 있으면(또는 0이 있으면) 반드시 불안정이며, 정확한 우반면 근 개수는 라우스 1열의 부호변화 횟수로 셉니다.
특성방정식 \(s^4+s^3-3s^2-s+2=0\)의 계수로 라우스 표를 만듭니다.
① 1·2행: 계수를 한 칸씩 건너 배열
| 차수 | 1열 | 2열 | 3열 |
|---|---|---|---|
| \(s^4\) | 1 | −3 | 2 |
| \(s^3\) | 1 | −1 | 0 |
| \(s^2\) | \(\dfrac{1(-3)-1(-1)}{1}=-2\) | \(\dfrac{1(2)-1(0)}{1}=2\) | |
| \(s^1\) | \(\dfrac{(-2)(-1)-1(2)}{-2}=0\ \to\ \varepsilon\) | 0 | |
| \(s^0\) | \(\dfrac{\varepsilon(2)-(-2)(0)}{\varepsilon}=2\) |
\(s^1\)행 1열이 0이 되면 그대로 나눌 수 없으므로 아주 작은 양수 \(\varepsilon(\gt 0)\)로 대체하고 다음 행을 계속 계산합니다.
③ 1열의 부호변화 세기
1열: \(1,\ 1,\ -2,\ \varepsilon(+),\ 2\)
부호: \(+,\ +,\ \mathbf{-},\ +,\ +\) → \(+\to-\) (1회), \(-\to+\) (2회)
\[ 부호변화\ 2회\ =\ s평면\ 우반면(불안정)\ 근\ \mathbf{2개} \]
④ 인수분해로 검증
\(s=1\) 대입: \(1+1-3-1+2=0\) → \((s-1)\) 인수. 나눠 정리하면
\[ s^4+s^3-3s^2-s+2=(s-1)^2(s+1)(s+2)=0 \]
근은 \(s=1(\text{중근}),\ -1,\ -2\). 이 중 \(s=1\)(실수부 \(+\))이 2개이므로 우반면 근이 2개 — 라우스 결과와 일치합니다.
핵심 — 특성방정식 계수에 음(−)이 섞여 있으면(또는 0이 있으면) 반드시 불안정이며, 정확한 우반면 근 개수는 라우스 1열의 부호변화 횟수로 셉니다.