회로이론
회로이론
분지점
2003.8 기출
\(G(s)H(s)=\dfrac{K}{s(s+1)(s+3)}\)에서 실축상 분지점은?
- ① 약 −0.43 정답
- ② 약 −2
- ③ 약 −1.5
- ④ 약 −3
📖 해설
실축상 분지점(이탈점, breakaway point)
근궤적이 실축을 따라오다 복소평면으로 갈라져 나가는 점으로, 특성방정식을 \(K\)에 대해 풀어 \(\dfrac{dK}{ds}=0\)이 되는 위치이다.
① 근궤적이 존재하는 실축 구간
극점은 \(s=0,\,-1,\,-3\). 실축상의 한 점은 그 오른쪽에 있는 극·영점의 총수가 홀수일 때만 근궤적 위에 있다.
• \(0\sim-1\) 구간: 오른쪽 극 1개(0) → 홀수 → 근궤적 존재
• \(-1\sim-3\) 구간: 오른쪽 극 2개(0, −1) → 짝수 → 근궤적 없음
• \(-3\) 왼쪽: 오른쪽 극 3개 → 홀수 → 근궤적 존재
따라서 분지점은 반드시 \(0\)과 \(-1\) 사이에 있어야 한다.
② 특성방정식을 K로 정리\[ 1+\dfrac{K}{s(s+1)(s+3)}=0 \;\Rightarrow\; K=-s(s+1)(s+3) \]\[ K=-(s^3+4s^2+3s) \]
③ \(\dfrac{dK}{ds}=0\) 적용\[ \dfrac{dK}{ds}=-(3s^2+8s+3)=0 \;\Rightarrow\; 3s^2+8s+3=0 \]\[ s=\dfrac{-8\pm\sqrt{64-36}}{6}=\dfrac{-8\pm\sqrt{28}}{6} \]\[ s\approx-0.45 \quad \text{또는} \quad s\approx-2.22 \]
④ 유효한 근 선택
\(s\approx-2.22\)는 근궤적이 없는 \(-1\sim-3\) 구간이므로 분지점이 될 수 없다. 근궤적이 존재하는 \(0\sim-1\) 구간에 있는 \(s\approx-0.45\)가 실제 분지점이다.
정답은 ① 약 −0.43(반올림값).
근궤적이 실축을 따라오다 복소평면으로 갈라져 나가는 점으로, 특성방정식을 \(K\)에 대해 풀어 \(\dfrac{dK}{ds}=0\)이 되는 위치이다.
① 근궤적이 존재하는 실축 구간
극점은 \(s=0,\,-1,\,-3\). 실축상의 한 점은 그 오른쪽에 있는 극·영점의 총수가 홀수일 때만 근궤적 위에 있다.
• \(0\sim-1\) 구간: 오른쪽 극 1개(0) → 홀수 → 근궤적 존재
• \(-1\sim-3\) 구간: 오른쪽 극 2개(0, −1) → 짝수 → 근궤적 없음
• \(-3\) 왼쪽: 오른쪽 극 3개 → 홀수 → 근궤적 존재
따라서 분지점은 반드시 \(0\)과 \(-1\) 사이에 있어야 한다.
② 특성방정식을 K로 정리\[ 1+\dfrac{K}{s(s+1)(s+3)}=0 \;\Rightarrow\; K=-s(s+1)(s+3) \]\[ K=-(s^3+4s^2+3s) \]
③ \(\dfrac{dK}{ds}=0\) 적용\[ \dfrac{dK}{ds}=-(3s^2+8s+3)=0 \;\Rightarrow\; 3s^2+8s+3=0 \]\[ s=\dfrac{-8\pm\sqrt{64-36}}{6}=\dfrac{-8\pm\sqrt{28}}{6} \]\[ s\approx-0.45 \quad \text{또는} \quad s\approx-2.22 \]
④ 유효한 근 선택
\(s\approx-2.22\)는 근궤적이 없는 \(-1\sim-3\) 구간이므로 분지점이 될 수 없다. 근궤적이 존재하는 \(0\sim-1\) 구간에 있는 \(s\approx-0.45\)가 실제 분지점이다.
정답은 ① 약 −0.43(반올림값).