회로이론
회로이론
전속밀도
2005.3 기출
전속밀도 \(D=x^2 a_x+2y^2 a_y+3z\,a_z\)[C/m²]에서 원점의 \(1\text{mm}^3\) 내 전하[C]는?
- ① 3
- ② \(3\times10^{-6}\)
- ③ \(3\times10^{-9}\) 정답
- ④ \(3\times10^{-12}\)
📖 해설
가우스 법칙(미분형): \(\rho=\nabla\cdot D\)
주어진 전속밀도 \(D=x^2 a_x+2y^2 a_y+3z\,a_z\) [C/m²]
발산 계산:
\[ \nabla\cdot D=\frac{\partial D_x}{\partial x}+\frac{\partial D_y}{\partial y}+\frac{\partial D_z}{\partial z}=2x+4y+3 \]원점 \((0,0,0)\)에서 체적전하밀도:
\[ \rho=2(0)+4(0)+3=3\ \text{C/m}^3 \]미소체적(부피) \(\Delta V=1\,\text{mm}^3=(10^{-3}\,\text{m})^3=10^{-9}\,\text{m}^3\) (여기서 \(\Delta V\)는 전압이 아니라 체적(Volume))
\[ Q=\rho\,\Delta V=3\times10^{-9}\ \text{C} \]※ 단위 함정: \(1\,\text{mm}^3=(10^{-3})^3=10^{-9}\,\text{m}^3\) (\(10^{-3}\)이나 \(10^{-6}\)이 아님). \(1\text{mm}=10^{-3}\text{m}\)만 쓰면 ② \(3\times10^{-6}\), 세제곱을 과하게 보면 ④ \(3\times10^{-12}\), 환산 누락 시 ① 3으로 오답.
∴ 정답 ③ \(3\times10^{-9}\) C.
주어진 전속밀도 \(D=x^2 a_x+2y^2 a_y+3z\,a_z\) [C/m²]
발산 계산:
\[ \nabla\cdot D=\frac{\partial D_x}{\partial x}+\frac{\partial D_y}{\partial y}+\frac{\partial D_z}{\partial z}=2x+4y+3 \]원점 \((0,0,0)\)에서 체적전하밀도:
\[ \rho=2(0)+4(0)+3=3\ \text{C/m}^3 \]미소체적(부피) \(\Delta V=1\,\text{mm}^3=(10^{-3}\,\text{m})^3=10^{-9}\,\text{m}^3\) (여기서 \(\Delta V\)는 전압이 아니라 체적(Volume))
\[ Q=\rho\,\Delta V=3\times10^{-9}\ \text{C} \]※ 단위 함정: \(1\,\text{mm}^3=(10^{-3})^3=10^{-9}\,\text{m}^3\) (\(10^{-3}\)이나 \(10^{-6}\)이 아님). \(1\text{mm}=10^{-3}\text{m}\)만 쓰면 ② \(3\times10^{-6}\), 세제곱을 과하게 보면 ④ \(3\times10^{-12}\), 환산 누락 시 ① 3으로 오답.
∴ 정답 ③ \(3\times10^{-9}\) C.