회로이론
회로이론
라우스 임계
기출유사
특성방정식 \(s^3+2s^2+4s+K=0\)에서 지속진동(임계안정)이 되는 \(K\)값과 그때의 진동 각주파수 \(\omega\)는?
- ① \(K=4,\ \omega=\sqrt2\)
- ② \(K=8,\ \omega=2\) 정답
- ③ \(K=8,\ \omega=\sqrt2\)
- ④ \(K=4,\ \omega=2\)
📖 해설
임계안정 = 라우스 1열에 0이 생기는 경계
① 임계 K — \(s^1\)행 1열 \(=0\): \(\dfrac{8-K}{2}=0\Rightarrow K=8\).
② 진동주파수 — 바로 위 \(s^2\)행으로 보조방정식을 세웁니다.
\[ 2s^2+K=2s^2+8=0\Rightarrow s^2=-4\Rightarrow s=\pm j2 \]허수축 근 \(\pm j2\) → \(\omega=2\,\text{rad/s}\)로 지속진동.
정리 — 안정범위는 \(0\lt K\lt 8\), \(K=8\)에서 임계(진동), \(K\gt 8\)에서 불안정.
| 차수 | 1열 | 2열 |
|---|---|---|
| \(s^3\) | 1 | 4 |
| \(s^2\) | 2 | \(K\) |
| \(s^1\) | \(\dfrac{8-K}{2}\) | 0 |
| \(s^0\) | \(K\) |
② 진동주파수 — 바로 위 \(s^2\)행으로 보조방정식을 세웁니다.
\[ 2s^2+K=2s^2+8=0\Rightarrow s^2=-4\Rightarrow s=\pm j2 \]허수축 근 \(\pm j2\) → \(\omega=2\,\text{rad/s}\)로 지속진동.
정리 — 안정범위는 \(0\lt K\lt 8\), \(K=8\)에서 임계(진동), \(K\gt 8\)에서 불안정.