회로이론
제어공학
벡터궤적
2019.8 기출
1차 지연요소 \(G(j\omega)=\dfrac{K}{1+j\omega T}\)의 벡터궤적(주파수 전달함수 궤적)의 모양은?
- ① 원점을 지나는 직선
- ② 실수축 아래 제4사분면의 반원 정답
- ③ 허수축과 평행한 직선
- ④ 원점 중심의 완전한 원
📖 해설
1차 지연요소의 벡터궤적 \(G(j\omega)=\dfrac{K}{1+j\omega T}\)
주요 점
• \(\omega=0\): \(G=K\) → 실수축 위 점 \((K,0)\).
• \(\omega\to\infty\): \(G\to0\) → 원점.
• \(\omega=\dfrac{1}{T}\): \(G=\dfrac{K}{1+j}=\dfrac{K}{2}(1-j)\) → 크기 \(\dfrac{K}{\sqrt2}\), 위상 \(-45^\circ\).
왜 반원인가
\(\dfrac{1}{G}=\dfrac{1+j\omega T}{K}\)에서 실수부가 \(\dfrac{1}{K}\)로 일정합니다. 실수부가 일정한 \(1/G\)의 자취는 G평면에서 원이 되며, 이 원은 원점과 \((K,0)\)을 지름으로 합니다 (중심 \((K/2,\,0)\), 반지름 \(K/2\)).
\(\omega\gt0\)이면 \(\operatorname{Im}(G)\lt0\)이므로 아래쪽 반원(제4사분면)만 그립니다.
∴ 궤적은 실수축 아래 제4사분면의 반원.
※ 위상이 \(0^\circ\)(ω=0) → \(-45^\circ\)(ω=1/T) → \(-90^\circ\)(ω→∞)로 변하며 반원을 그립니다.
주요 점
• \(\omega=0\): \(G=K\) → 실수축 위 점 \((K,0)\).
• \(\omega\to\infty\): \(G\to0\) → 원점.
• \(\omega=\dfrac{1}{T}\): \(G=\dfrac{K}{1+j}=\dfrac{K}{2}(1-j)\) → 크기 \(\dfrac{K}{\sqrt2}\), 위상 \(-45^\circ\).
왜 반원인가
\(\dfrac{1}{G}=\dfrac{1+j\omega T}{K}\)에서 실수부가 \(\dfrac{1}{K}\)로 일정합니다. 실수부가 일정한 \(1/G\)의 자취는 G평면에서 원이 되며, 이 원은 원점과 \((K,0)\)을 지름으로 합니다 (중심 \((K/2,\,0)\), 반지름 \(K/2\)).
\(\omega\gt0\)이면 \(\operatorname{Im}(G)\lt0\)이므로 아래쪽 반원(제4사분면)만 그립니다.
∴ 궤적은 실수축 아래 제4사분면의 반원.
※ 위상이 \(0^\circ\)(ω=0) → \(-45^\circ\)(ω=1/T) → \(-90^\circ\)(ω→∞)로 변하며 반원을 그립니다.