회로이론
제어공학
안정도
2019.8 기출
특성방정식 \(s^2+Ks+2K-1=0\)인 계가 안정하기 위한 K의 범위는?
- ① \(K \lt 0\)
- ② \(K \gt \dfrac12\) 정답
- ③ \(0 \lt K \lt \dfrac12\)
- ④ \(K \gt 2\)
📖 해설
2차계의 안정 조건
특성방정식 \(s^2+a_1 s+a_0=0\)(2차)이 안정하려면 모든 계수가 양수이면 충분·필요합니다. (2차식은 계수가 모두 양수이면 라우스 표 제1열에 부호변화가 없어 두 근이 모두 좌반면)
주어진 식 \(s^2+K s+(2K-1)=0\) 의 계수 조건:
• \(s^2\) 계수 \(=1 \gt 0\) (항상 만족)
• \(s\) 계수 \(=K\) → \(K \gt 0\)
• 상수항 \(=2K-1\) → \(2K-1 \gt 0\) → \(K \gt \dfrac12\)
두 조건 \(K \gt 0\) 와 \(K \gt \dfrac12\) 를 모두 만족해야 하므로, 더 강한 조건인 \(K \gt \dfrac12\) 가 답입니다.
※ 라우스 표로도 확인 — \(s^2\)행: \(1,\ 2K-1\) / \(s^1\)행: \(K\) / \(s^0\)행: \(2K-1\). 제1열 \((1,\ K,\ 2K-1)\)이 모두 양수여야 하므로 \(K \gt 0\) 그리고 \(2K-1 \gt 0\), 결국 \(K \gt \dfrac12\).
특성방정식 \(s^2+a_1 s+a_0=0\)(2차)이 안정하려면 모든 계수가 양수이면 충분·필요합니다. (2차식은 계수가 모두 양수이면 라우스 표 제1열에 부호변화가 없어 두 근이 모두 좌반면)
주어진 식 \(s^2+K s+(2K-1)=0\) 의 계수 조건:
• \(s^2\) 계수 \(=1 \gt 0\) (항상 만족)
• \(s\) 계수 \(=K\) → \(K \gt 0\)
• 상수항 \(=2K-1\) → \(2K-1 \gt 0\) → \(K \gt \dfrac12\)
두 조건 \(K \gt 0\) 와 \(K \gt \dfrac12\) 를 모두 만족해야 하므로, 더 강한 조건인 \(K \gt \dfrac12\) 가 답입니다.
※ 라우스 표로도 확인 — \(s^2\)행: \(1,\ 2K-1\) / \(s^1\)행: \(K\) / \(s^0\)행: \(2K-1\). 제1열 \((1,\ K,\ 2K-1)\)이 모두 양수여야 하므로 \(K \gt 0\) 그리고 \(2K-1 \gt 0\), 결국 \(K \gt \dfrac12\).