회로이론
과도현상
역라플라스
2019.3 기출
\(\dfrac{a}{s(s+a)}\)의 역라플라스 변환은?
- ① \(t e^{aT}\)
- ② \(t e^{-aT}\)
- ③ \(1-e^{-at}\) 정답
- ④ \(1+e^{-at}\)
📖 해설
정답: \(1-e^{-at}\)
① 부분분수 분해
\[ \frac{a}{s(s+a)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+a} \]양변에 분모를 곱해 \(a=A(s+a)+Bs\).
• \(s=0\) 대입: \(a=Aa\Rightarrow A=1\)
• \(s=-a\) 대입: \(a=-Ba\Rightarrow B=-1\)
\[ \frac{a}{s(s+a)}=\frac{1}{s}-\frac{1}{s+a} \]
② 각 항 역변환
\(\mathcal{L}^{-1}\!\left[\dfrac1s\right]=u(t)=1\), \(\mathcal{L}^{-1}\!\left[\dfrac{1}{s+a}\right]=e^{-at}\)
\[ f(t)=1-e^{-at} \]RC 충전곡선처럼 0에서 시작해 1로 지수적으로 수렴하는 형태입니다.
① 부분분수 분해
\[ \frac{a}{s(s+a)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+a} \]양변에 분모를 곱해 \(a=A(s+a)+Bs\).
• \(s=0\) 대입: \(a=Aa\Rightarrow A=1\)
• \(s=-a\) 대입: \(a=-Ba\Rightarrow B=-1\)
\[ \frac{a}{s(s+a)}=\frac{1}{s}-\frac{1}{s+a} \]
② 각 항 역변환
\(\mathcal{L}^{-1}\!\left[\dfrac1s\right]=u(t)=1\), \(\mathcal{L}^{-1}\!\left[\dfrac{1}{s+a}\right]=e^{-at}\)
\[ f(t)=1-e^{-at} \]RC 충전곡선처럼 0에서 시작해 1로 지수적으로 수렴하는 형태입니다.