회로이론
제어공학
주파수응답
2018.8 기출
\(G(j\omega)=\dfrac{1}{j\omega(j\omega+1)}\)에서 \(\omega\to\infty\)일 때 진폭 A와 위상 θ는?
- ① A=0, θ=−90°
- ② A=0, θ=−180° 정답
- ③ A=∞, θ=−90°
- ④ A=∞, θ=−180°
📖 해설
주파수응답 — 크기 A와 위상 θ (그림)
\(G(j\omega)=\dfrac{1}{j\omega\,(j\omega+1)}\)를 극점별로 나눠 봅니다.
크기 \(A=|G(j\omega)|=\dfrac{1}{|j\omega|\,|j\omega+1|}=\dfrac{1}{\omega\sqrt{\omega^2+1}}\)
위상 \(\theta=\angle G=-\angle(j\omega)-\angle(j\omega+1)=-90^\circ-\tan^{-1}\omega\)
각 극점의 위상 기여:
• \(j\omega\) (원점 극점=적분기): 위상 항상 \(-90^\circ\)
• \((j\omega+1)\) (극점 \(\omega=1\)): 위상 \(0^\circ\to-90^\circ\) (\(\omega:0\to\infty\))
극한값
→ \(\omega\to\infty\)에서 A=0, θ=−180°. 정답 ②.
※ 오답 ③ (A=∞, θ=−90°)은 반대쪽 극한 \(\omega\to0\)의 값입니다. ①④는 크기·위상 중 하나가 어긋납니다.
\(G(j\omega)=\dfrac{1}{j\omega\,(j\omega+1)}\)를 극점별로 나눠 봅니다.
크기 \(A=|G(j\omega)|=\dfrac{1}{|j\omega|\,|j\omega+1|}=\dfrac{1}{\omega\sqrt{\omega^2+1}}\)
위상 \(\theta=\angle G=-\angle(j\omega)-\angle(j\omega+1)=-90^\circ-\tan^{-1}\omega\)
각 극점의 위상 기여:
• \(j\omega\) (원점 극점=적분기): 위상 항상 \(-90^\circ\)
• \((j\omega+1)\) (극점 \(\omega=1\)): 위상 \(0^\circ\to-90^\circ\) (\(\omega:0\to\infty\))
극한값
| \(\omega\to0\) | \(\omega\to\infty\) | |
|---|---|---|
| 크기 A | \(\dfrac{1}{\omega\cdot1}\to\infty\) | \(\dfrac{1}{\omega\cdot\omega}=\dfrac{1}{\omega^2}\to 0\) |
| 위상 θ | \(-90^\circ-0^\circ=-90^\circ\) | \(-90^\circ-90^\circ=-180^\circ\) |
※ 오답 ③ (A=∞, θ=−90°)은 반대쪽 극한 \(\omega\to0\)의 값입니다. ①④는 크기·위상 중 하나가 어긋납니다.