회로이론
제어공학
근궤적
2018.3 기출
개루프 전달함수의 근궤적 점근선 교차점이 −7/4가 되는 극·영점 배치에서 교차점은?
- ① −3/2
- ② −7/4 정답
- ③ 5/3
- ④ −1/5
📖 해설
근궤적 점근선의 교차점 = 무게중심(centroid) σ (그림)
극점 수 \(n\)이 영점 수 \(m\)보다 많으면, 무한대로 뻗어나가는 \((n-m)\)개의 점근선이 실축 위의 한 점 \(\sigma\)에서 갈라져 나옵니다. 그 위치는:
\[ \sigma=\frac{\sum(\text{극점})-\sum(\text{영점})}{n-m} \](분자·분모 모두 실수라 \(\sigma\)는 항상 실축 위의 점)
예시 — \(\sigma=-\dfrac74\)가 되는 배치
\(G(s)H(s)=\dfrac{K}{s(s+1)(s+3)^2}\) 라면
• 극점: \(0,\,-1,\,-3,\,-3\) → \(n=4\), 영점 없음 \(m=0\)
\[ \sigma=\frac{0+(-1)+(-3)+(-3)}{4-0}=\frac{-7}{4} \]점근선은 \(n-m=4\)개, 각도 \(=\dfrac{(2k+1)180^\circ}{n-m}=\pm45^\circ,\pm135^\circ\) (그림).
※ 이 \(\sigma\)는 극·영점이 아니라 점근선들이 모이는 실축상의 무게중심입니다. 문제는 그 교차점 값을 묻는 것이므로 답은 \(-\dfrac74\).
∴ 정답 ② \(-\dfrac74\).
극점 수 \(n\)이 영점 수 \(m\)보다 많으면, 무한대로 뻗어나가는 \((n-m)\)개의 점근선이 실축 위의 한 점 \(\sigma\)에서 갈라져 나옵니다. 그 위치는:
\[ \sigma=\frac{\sum(\text{극점})-\sum(\text{영점})}{n-m} \](분자·분모 모두 실수라 \(\sigma\)는 항상 실축 위의 점)
예시 — \(\sigma=-\dfrac74\)가 되는 배치
\(G(s)H(s)=\dfrac{K}{s(s+1)(s+3)^2}\) 라면
• 극점: \(0,\,-1,\,-3,\,-3\) → \(n=4\), 영점 없음 \(m=0\)
\[ \sigma=\frac{0+(-1)+(-3)+(-3)}{4-0}=\frac{-7}{4} \]점근선은 \(n-m=4\)개, 각도 \(=\dfrac{(2k+1)180^\circ}{n-m}=\pm45^\circ,\pm135^\circ\) (그림).
※ 이 \(\sigma\)는 극·영점이 아니라 점근선들이 모이는 실축상의 무게중심입니다. 문제는 그 교차점 값을 묻는 것이므로 답은 \(-\dfrac74\).
∴ 정답 ② \(-\dfrac74\).