회로이론
푸리에변환
스펙트럼
기출유사
폭이 \(\tau\), 높이가 A인 구형 펄스의 푸리에 변환 \(F(\omega)\)에서 첫 번째 영점(null)이 발생하는 주파수 \(\omega\)는?
- ① \(\dfrac{1}{\tau}\)
- ② \(\dfrac{2\pi}{\tau}\) 정답
- ③ \(\dfrac{\pi}{\tau}\)
- ④ \(\tau\)
📖 해설
구형 펄스의 푸리에 변환과 sinc 함수
구형 펄스의 푸리에 변환:
\[ F(\omega) = A\tau \cdot \text{sinc}\!\left(\frac{\omega\tau}{2}\right) = A\tau \cdot \frac{\sin(\omega\tau/2)}{\omega\tau/2} \]
첫 번째 영점: \(\sin(\omega\tau/2) = 0\)
\[ \frac{\omega\tau}{2} = \pi \quad \Rightarrow \quad \omega = \frac{2\pi}{\tau} \]
의미: 펄스 폭 τ가 좁을수록 스펙트럼이 넓어집니다 (불확정성 원리).
첫 번째 영점 주파수: \(f = 1/\tau\) [Hz]
구형 펄스의 푸리에 변환:
\[ F(\omega) = A\tau \cdot \text{sinc}\!\left(\frac{\omega\tau}{2}\right) = A\tau \cdot \frac{\sin(\omega\tau/2)}{\omega\tau/2} \]
첫 번째 영점: \(\sin(\omega\tau/2) = 0\)
\[ \frac{\omega\tau}{2} = \pi \quad \Rightarrow \quad \omega = \frac{2\pi}{\tau} \]
의미: 펄스 폭 τ가 좁을수록 스펙트럼이 넓어집니다 (불확정성 원리).
첫 번째 영점 주파수: \(f = 1/\tau\) [Hz]