회로이론
제어공학
안정 K
2016.8 기출
특성방정식이 \(s^3+2s^2+4s+K=0\)일 때, 이 제어계가 안정하기 위한 \(K\)의 범위는?
- ① 0<K<8 정답
- ② −8<K<0
- ③ 1<K<8
- ④ K>8
📖 해설
라우스(Routh) 안정도 판별
특성방정식 \(s^3+2s^2+4s+K=0\)의 계수로 라우스 표를 만듭니다.
· \(s^3,s^2\)행: 계수를 큰 차수부터 한 칸씩 건너 배열
· \(s^1\)행 = \(\dfrac{(s^2\text{행 1열})(s^3\text{행 2열})-(s^3\text{행 1열})(s^2\text{행 2열})}{s^2\text{행 1열}}\)
안정 조건 — 1열 부호변화가 없어야(모두 (+)) 함
\[ \frac{8-K}{2}\gt 0\ \Rightarrow\ K\lt 8 \]\[ K\gt 0 \]두 조건을 합치면
\[ \boxed{0\lt K\lt 8} \]이 범위에서 특성근의 실수부가 모두 음(좌반면)이 되어 안정합니다.
경계값의 의미
· \(K=8\): \(s^1\)행 1열이 0 → 임계안정(지속진동). 보조방정식 \(2s^2+8=0\Rightarrow s=\pm j2\)이므로 \(\omega=2\,\text{rad/s}\)로 진동합니다.
· \(K\gt 8\): 1열에 부호변화 2회 → 우반면 근 2개 → 불안정.
· \(K\le0\): \(s^0\)행이 (−)/0 → 불안정.
핵심 — 3차계는 모든 계수가 양수이고 \((s^2\text{계수})\times(s^1\text{계수})\gt (s^3\text{계수})\times(s^0\text{계수})\), 즉 \(2\times4\gt 1\times K\)를 만족해야 안정합니다.
특성방정식 \(s^3+2s^2+4s+K=0\)의 계수로 라우스 표를 만듭니다.
| 차수 | 1열 | 2열 |
|---|---|---|
| \(s^3\) | 1 | 4 |
| \(s^2\) | 2 | \(K\) |
| \(s^1\) | \(\dfrac{2\times4-1\times K}{2}=\dfrac{8-K}{2}\) | 0 |
| \(s^0\) | \(K\) |
· \(s^1\)행 = \(\dfrac{(s^2\text{행 1열})(s^3\text{행 2열})-(s^3\text{행 1열})(s^2\text{행 2열})}{s^2\text{행 1열}}\)
안정 조건 — 1열 부호변화가 없어야(모두 (+)) 함
\[ \frac{8-K}{2}\gt 0\ \Rightarrow\ K\lt 8 \]\[ K\gt 0 \]두 조건을 합치면
\[ \boxed{0\lt K\lt 8} \]이 범위에서 특성근의 실수부가 모두 음(좌반면)이 되어 안정합니다.
경계값의 의미
· \(K=8\): \(s^1\)행 1열이 0 → 임계안정(지속진동). 보조방정식 \(2s^2+8=0\Rightarrow s=\pm j2\)이므로 \(\omega=2\,\text{rad/s}\)로 진동합니다.
· \(K\gt 8\): 1열에 부호변화 2회 → 우반면 근 2개 → 불안정.
· \(K\le0\): \(s^0\)행이 (−)/0 → 불안정.
핵심 — 3차계는 모든 계수가 양수이고 \((s^2\text{계수})\times(s^1\text{계수})\gt (s^3\text{계수})\times(s^0\text{계수})\), 즉 \(2\times4\gt 1\times K\)를 만족해야 안정합니다.