회로이론
Z변환
지수수열 변환
기출유사
\(x[n] = (0.5)^n u[n]\)의 Z변환 \(X(z)\)는?
- ① \(\dfrac{z}{z-0.5}\) 정답
- ② \(\dfrac{z}{z+0.5}\)
- ③ \(\dfrac{0.5}{z-0.5}\)
- ④ \(\dfrac{z}{z-2}\)
📖 해설
지수 수열 Z변환
일반 공식: \(\mathcal{Z}\{a^n u[n]\} = \dfrac{z}{z-a}\) (|z| > |a|)
a = 0.5 대입:
\[ X(z) = \frac{z}{z-0.5} \quad (|z| \gt 0.5) \]
확인: \(X(z) = \sum_{n=0}^{\infty}(0.5)^n z^{-n} = \sum_{n=0}^{\infty}(0.5/z)^n = \dfrac{1}{1-0.5z^{-1}} = \dfrac{z}{z-0.5}\)
극점 z=0.5는 단위원 내부 → 안정 시스템
일반 공식: \(\mathcal{Z}\{a^n u[n]\} = \dfrac{z}{z-a}\) (|z| > |a|)
a = 0.5 대입:
\[ X(z) = \frac{z}{z-0.5} \quad (|z| \gt 0.5) \]
확인: \(X(z) = \sum_{n=0}^{\infty}(0.5)^n z^{-n} = \sum_{n=0}^{\infty}(0.5/z)^n = \dfrac{1}{1-0.5z^{-1}} = \dfrac{z}{z-0.5}\)
극점 z=0.5는 단위원 내부 → 안정 시스템