회로이론
Z변환
역 Z변환
기출유사
\(X(z) = \dfrac{z}{z - 0.5}\)의 역 Z변환 \(x[n]\) (인과 신호, n≥0)은?
- ① \((0.5)^n u[n]\) 정답
- ② \((0.5)^{n-1} u[n]\)
- ③ \((-0.5)^n u[n]\)
- ④ \(2^n u[n]\)
📖 해설
역 Z변환 — 부분분수 분해법
기본 변환쌍 \(\dfrac{z}{z-a} \leftrightarrow a^n u[n]\)을 직접 적용:
\[ X(z) = \frac{z}{z-0.5} \xrightarrow{\mathcal{Z}^{-1}} x[n] = (0.5)^n u[n] \]
부분분수로 확인:
\[ \frac{X(z)}{z} = \frac{1}{z-0.5} \Rightarrow X(z) = \frac{z}{z-0.5} \]
→ 극점 z=0.5에 대한 유수: 1
→ \(x[n] = (0.5)^n u[n]\)
검증: n=0이면 x[0]=1, n=1이면 x[1]=0.5, n=2이면 x[2]=0.25 ✓
기본 변환쌍 \(\dfrac{z}{z-a} \leftrightarrow a^n u[n]\)을 직접 적용:
\[ X(z) = \frac{z}{z-0.5} \xrightarrow{\mathcal{Z}^{-1}} x[n] = (0.5)^n u[n] \]
부분분수로 확인:
\[ \frac{X(z)}{z} = \frac{1}{z-0.5} \Rightarrow X(z) = \frac{z}{z-0.5} \]
→ 극점 z=0.5에 대한 유수: 1
→ \(x[n] = (0.5)^n u[n]\)
검증: n=0이면 x[0]=1, n=1이면 x[1]=0.5, n=2이면 x[2]=0.25 ✓