회로이론
제어공학
신호흐름선도
2015.8 기출
신호흐름선도의 가지 이득이 다음과 같다. 전향경로 R→x₁→x₂→x₃→C의 가지 이득은 각각 1, 2, 3, 1이고, 피드백 가지는 x₃→x₁ = −1, x₃→x₂ = −1이다. 이때 전달함수 C/R는?
- ① \(\frac{3}{5}\) 정답
- ② \(\frac{3}{10}\)
- ③ \(\frac{2}{5}\)
- ④ \(\frac{6}{7}\)
📖 해설
메이슨(Mason) 공식
\[ \frac{C}{R}=\frac{1}{\Delta}\sum_k P_k\,\Delta_k \]
· \(P_k\): k번째 전향경로 이득 (입력→출력, 같은 노드 두 번 안 지남)
· \(\Delta=1-\sum(\text{루프 이득})+\sum(\text{서로 안 닿는 두 루프 곱})-\cdots\)
· \(\Delta_k\): 전향경로 \(P_k\)에 닿지 않는 루프만 남긴 \(\Delta\)
① 전향경로
R→x₁→x₂→x₃→C 하나뿐: \(P_1=1\times2\times3\times1=6\)
② 폐루프(피드백)
· \(L_1\): x₁→x₂→x₃→x₁ \(=2\times3\times(-1)=-6\)
· \(L_2\): x₂→x₃→x₂ \(=3\times(-1)=-3\)
두 루프는 노드 x₂·x₃를 공유하므로 서로 닿음 → 안 닿는 루프 곱(항)은 없음
③ Δ 계산
\[ \Delta=1-(L_1+L_2)=1-(-6-3)=1+9=10 \]
④ Δ₁ 계산 — 전향경로가 두 루프에 모두 닿으므로 남는 루프 없음 → \(\Delta_1=1\)
⑤ 대입
\[ \frac{C}{R}=\frac{P_1\Delta_1}{\Delta}=\frac{6\times1}{10}=\frac{3}{5} \]
핵심 — 블록선도보다 복잡한 다중 루프·다중 경로도 메이슨 공식이면 그림을 직접 축약하지 않고 전향경로 이득과 루프 이득만 찾아 대입하면 됩니다.
\[ \frac{C}{R}=\frac{1}{\Delta}\sum_k P_k\,\Delta_k \]
· \(P_k\): k번째 전향경로 이득 (입력→출력, 같은 노드 두 번 안 지남)
· \(\Delta=1-\sum(\text{루프 이득})+\sum(\text{서로 안 닿는 두 루프 곱})-\cdots\)
· \(\Delta_k\): 전향경로 \(P_k\)에 닿지 않는 루프만 남긴 \(\Delta\)
① 전향경로
R→x₁→x₂→x₃→C 하나뿐: \(P_1=1\times2\times3\times1=6\)
② 폐루프(피드백)
· \(L_1\): x₁→x₂→x₃→x₁ \(=2\times3\times(-1)=-6\)
· \(L_2\): x₂→x₃→x₂ \(=3\times(-1)=-3\)
두 루프는 노드 x₂·x₃를 공유하므로 서로 닿음 → 안 닿는 루프 곱(항)은 없음
③ Δ 계산
\[ \Delta=1-(L_1+L_2)=1-(-6-3)=1+9=10 \]
④ Δ₁ 계산 — 전향경로가 두 루프에 모두 닿으므로 남는 루프 없음 → \(\Delta_1=1\)
⑤ 대입
\[ \frac{C}{R}=\frac{P_1\Delta_1}{\Delta}=\frac{6\times1}{10}=\frac{3}{5} \]
핵심 — 블록선도보다 복잡한 다중 루프·다중 경로도 메이슨 공식이면 그림을 직접 축약하지 않고 전향경로 이득과 루프 이득만 찾아 대입하면 됩니다.