회로이론
제어공학
상태공간
2014.5 기출
\(\ddot y+3\dot y+2y=u\)의 상태방정식 계수행렬 A는?
- ① \(\begin{bmatrix}0&1\\-2&-3\end{bmatrix}\) 정답
- ② \(\begin{bmatrix}0&1\\2&3\end{bmatrix}\)
- ③ \(\begin{bmatrix}-2&-3\\0&1\end{bmatrix}\)
- ④ \(\begin{bmatrix}1&0\\-3&-2\end{bmatrix}\)
📖 해설
미분방정식 → 상태방정식 (위상변수형)
2계 미분방정식 \(\ddot y+3\dot y+2y=u\)를 1계 연립방정식으로 바꾼다. 출력과 그 미분을 상태변수로 잡는다.\[ x_1=y,\qquad x_2=\dot y \]
① 각 상태변수의 미분\[ \dot x_1=\dot y=x_2 \]원식을 최고차 항에 대해 풀면 \(\ddot y=-2y-3\dot y+u\)이므로,\[ \dot x_2=\ddot y=-2x_1-3x_2+u \]
② 행렬 형태 \(\dot{\mathbf{x}}=A\mathbf{x}+B u\)\[ \begin{bmatrix}\dot x_1\\ \dot x_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&1\\ -2&-3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\ x_2\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\\ 1\end{bmatrix}u \]따라서 \(A=\begin{bmatrix}0&1\\ -2&-3\end{bmatrix}\), 정답은 ①.
패턴(외우기) — \(\ddot y+a_1\dot y+a_0 y=u\)의 위상변수형은\[ A=\begin{bmatrix}0&1\\ -a_0&-a_1\end{bmatrix} \]윗줄은 \([0\ 1]\), 아랫줄은 상수항 계수의 부호를 바꿔 \([-a_0\ -a_1]=[-2\ -3]\)로 넣는다.
보기 검토
• ② \(\begin{bmatrix}0&1\\ 2&3\end{bmatrix}\): 아랫줄 부호를 바꾸지 않음(−를 빠뜨림)
• ③ \(\begin{bmatrix}-2&-3\\ 0&1\end{bmatrix}\): 두 행의 순서가 뒤바뀜
• ④ \(\begin{bmatrix}1&0\\ -3&-2\end{bmatrix}\): 위상변수형 구조가 아님
2계 미분방정식 \(\ddot y+3\dot y+2y=u\)를 1계 연립방정식으로 바꾼다. 출력과 그 미분을 상태변수로 잡는다.\[ x_1=y,\qquad x_2=\dot y \]
① 각 상태변수의 미분\[ \dot x_1=\dot y=x_2 \]원식을 최고차 항에 대해 풀면 \(\ddot y=-2y-3\dot y+u\)이므로,\[ \dot x_2=\ddot y=-2x_1-3x_2+u \]
② 행렬 형태 \(\dot{\mathbf{x}}=A\mathbf{x}+B u\)\[ \begin{bmatrix}\dot x_1\\ \dot x_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&1\\ -2&-3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\ x_2\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\\ 1\end{bmatrix}u \]따라서 \(A=\begin{bmatrix}0&1\\ -2&-3\end{bmatrix}\), 정답은 ①.
패턴(외우기) — \(\ddot y+a_1\dot y+a_0 y=u\)의 위상변수형은\[ A=\begin{bmatrix}0&1\\ -a_0&-a_1\end{bmatrix} \]윗줄은 \([0\ 1]\), 아랫줄은 상수항 계수의 부호를 바꿔 \([-a_0\ -a_1]=[-2\ -3]\)로 넣는다.
보기 검토
• ② \(\begin{bmatrix}0&1\\ 2&3\end{bmatrix}\): 아랫줄 부호를 바꾸지 않음(−를 빠뜨림)
• ③ \(\begin{bmatrix}-2&-3\\ 0&1\end{bmatrix}\): 두 행의 순서가 뒤바뀜
• ④ \(\begin{bmatrix}1&0\\ -3&-2\end{bmatrix}\): 위상변수형 구조가 아님