회로이론
제어공학
전달함수변환
기출유사
전달함수 \(G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D\)에서 직결항 D가 0이 아니면 G(s)는?
- ① 항상 진분수
- ② 분자·분모 차수가 같은 형태를 포함(직접 전달) 정답
- ③ 극점이 없음
- ④ 항상 1
📖 해설
상태공간 → 전달함수
상태방정식 \(\dot{x}=Ax+Bu,\ y=Cx+Du\)의 전달함수는
\[ G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D \]여기서 \(D\)는 직달항(feedthrough) — 입력이 상태(적분기)를 거치지 않고 출력으로 곧바로 전달되는 성분입니다.
① 각 항의 차수부터
\((sI-A)^{-1}=\dfrac{\text{adj}(sI-A)}{\det(sI-A)}\) 에서 분모 \(\det(sI-A)\)는 차수 \(n\)(특성방정식), 분자 \(\text{adj}\) 성분은 차수 \(\le n-1\)입니다.
→ 따라서 \(C(sI-A)^{-1}B\) 항은 분자 차수 \(\lt\) 분모 차수인 진분수(strictly proper)이고, \(s\to\infty\)일 때 \(0\)으로 갑니다.
② \(D\neq0\)이면 어떻게 되나
상수 \(D\)를 같은 분모로 통분하면
\[ G(s)=\frac{C\,\text{adj}(sI-A)\,B+D\cdot\det(sI-A)}{\det(sI-A)} \]분자에 차수 \(n\)짜리 \(D\cdot\det(sI-A)\)가 더해집니다. 그 결과 분자 차수 \(=\) 분모 차수(\(n\))가 되어 진분수가 아니게 됩니다(직달항 포함). 이때 \(s\to\infty\)이면 \(G(s)\to D\).
③ 숫자 예시(1차 시스템) \(A=-2,\ B=1,\ C=1,\ D=3\):
\[ G(s)=\frac{1}{s+2}+3=\frac{3s+7}{s+2} \]분자·분모 모두 차수 1로 같고, \(s\to\infty\)에서 \(G\to 3=D\).
만약 \(D=0\)이면 \(G=\dfrac{1}{s+2}\)로 분자 차수(0)가 분모 차수(1)보다 작은 진분수가 됩니다.
∴ 정답: \(D\neq0\) → 분자·분모 차수가 같은 형태(직접 전달 성분 포함).
※ 오답 정리 — ‘항상 진분수’는 \(D=0\)일 때만 성립. 극점은 \(\det(sI-A)=0\)에서 나오므로 \(D\)와 무관하게 존재(‘극점이 없음’은 틀림).
상태방정식 \(\dot{x}=Ax+Bu,\ y=Cx+Du\)의 전달함수는
\[ G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D \]여기서 \(D\)는 직달항(feedthrough) — 입력이 상태(적분기)를 거치지 않고 출력으로 곧바로 전달되는 성분입니다.
① 각 항의 차수부터
\((sI-A)^{-1}=\dfrac{\text{adj}(sI-A)}{\det(sI-A)}\) 에서 분모 \(\det(sI-A)\)는 차수 \(n\)(특성방정식), 분자 \(\text{adj}\) 성분은 차수 \(\le n-1\)입니다.
→ 따라서 \(C(sI-A)^{-1}B\) 항은 분자 차수 \(\lt\) 분모 차수인 진분수(strictly proper)이고, \(s\to\infty\)일 때 \(0\)으로 갑니다.
② \(D\neq0\)이면 어떻게 되나
상수 \(D\)를 같은 분모로 통분하면
\[ G(s)=\frac{C\,\text{adj}(sI-A)\,B+D\cdot\det(sI-A)}{\det(sI-A)} \]분자에 차수 \(n\)짜리 \(D\cdot\det(sI-A)\)가 더해집니다. 그 결과 분자 차수 \(=\) 분모 차수(\(n\))가 되어 진분수가 아니게 됩니다(직달항 포함). 이때 \(s\to\infty\)이면 \(G(s)\to D\).
③ 숫자 예시(1차 시스템) \(A=-2,\ B=1,\ C=1,\ D=3\):
\[ G(s)=\frac{1}{s+2}+3=\frac{3s+7}{s+2} \]분자·분모 모두 차수 1로 같고, \(s\to\infty\)에서 \(G\to 3=D\).
만약 \(D=0\)이면 \(G=\dfrac{1}{s+2}\)로 분자 차수(0)가 분모 차수(1)보다 작은 진분수가 됩니다.
∴ 정답: \(D\neq0\) → 분자·분모 차수가 같은 형태(직접 전달 성분 포함).
※ 오답 정리 — ‘항상 진분수’는 \(D=0\)일 때만 성립. 극점은 \(\det(sI-A)=0\)에서 나오므로 \(D\)와 무관하게 존재(‘극점이 없음’은 틀림).