회로이론
상태방정식
전달함수변환
기출유사
상태방정식 \(\dot{x}=Ax+Bu,\ y=Cx\) (단, \(D=0\))으로부터 전달함수 \(G(s)\)를 구하는 식은?
- ① \(G(s)=C(sI-A)^{-1}B\) 정답
- ② \(G(s)=(sI-A)^{-1}BC\)
- ③ \(G(s)=B(sI-A)^{-1}C\)
- ④ \(G(s)=C(sI-A)B^{-1}\)
📖 해설
상태방정식 → 전달함수 (핵심 공식 유도)
상태방정식과 출력방정식은 다음과 같습니다.
\[ \dot{x}=Ax+Bu,\qquad y=Cx\ (+Du) \]
① 라플라스 변환 (초기값 \(x(0)=0\)): \(\dot x\)는 \(sX\)가 됩니다.
\[ sX=AX+BU \]
② X로 정리: \(AX\)를 좌변으로 옮기면 \(sX-AX=BU\). 여기서 \(sX=sIX\)(단위행렬 \(I\)를 끼워야 행렬-행렬 뺄셈이 성립)이므로
\[ (sI-A)X=BU \;\Rightarrow\; X=(sI-A)^{-1}BU \]
③ 출력에 대입: \(Y=CX=C(sI-A)^{-1}BU\)
\[ \boxed{\,G(s)=\dfrac{Y}{U}=C(sI-A)^{-1}B\ (+D)\,} \]
순서를 외우는 법 — 출력 쪽 \(C\)가 맨 앞, 입력 쪽 \(B\)가 맨 뒤, 가운데에 \((sI-A)^{-1}\). 즉 신호가 흐르는 순서 입력→B→(시스템)→C→출력을 수식으로는 거꾸로(왼쪽부터 C) 적는다고 기억하면 헷갈리지 않습니다.
왜 \((sI-A)^{-1}\)인가? 스칼라 1차계 \(\dot x=ax+bu\)면 \(G=\dfrac{b}{s-a}\). 행렬에서는 나눗셈이 역행렬이므로 \(\dfrac{1}{s-a}\)가 \((sI-A)^{-1}\)로 바뀐 것입니다.
계산 예제 — \(A=\begin{bmatrix}0&1\\-2&-3\end{bmatrix},\ B=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix},\ C=[\,1\ \ 0\,]\)
1) \(sI-A=\begin{bmatrix}s&-1\\2&s+3\end{bmatrix}\)
2) \(|sI-A|=s(s+3)+2=s^2+3s+2\) ← 이 값이 분모=특성방정식
3) \((sI-A)^{-1}=\dfrac{1}{s^2+3s+2}\begin{bmatrix}s+3&1\\-2&s\end{bmatrix}\) (2×2 역행렬: 주대각 교환, 반대각 부호반전 후 행렬식으로 나눔)
4) \((sI-A)^{-1}B=\dfrac{1}{s^2+3s+2}\begin{bmatrix}1\\s\end{bmatrix}\), 앞에 \(C=[1\ 0]\)를 곱하면 위 성분만 남아
\[ G(s)=\dfrac{1}{s^2+3s+2} \]
분모 \(|sI-A|\)의 근 \(s=-1,-2\)가 곧 시스템의 극점(고유값)입니다.
상태방정식과 출력방정식은 다음과 같습니다.
\[ \dot{x}=Ax+Bu,\qquad y=Cx\ (+Du) \]
① 라플라스 변환 (초기값 \(x(0)=0\)): \(\dot x\)는 \(sX\)가 됩니다.
\[ sX=AX+BU \]
② X로 정리: \(AX\)를 좌변으로 옮기면 \(sX-AX=BU\). 여기서 \(sX=sIX\)(단위행렬 \(I\)를 끼워야 행렬-행렬 뺄셈이 성립)이므로
\[ (sI-A)X=BU \;\Rightarrow\; X=(sI-A)^{-1}BU \]
③ 출력에 대입: \(Y=CX=C(sI-A)^{-1}BU\)
\[ \boxed{\,G(s)=\dfrac{Y}{U}=C(sI-A)^{-1}B\ (+D)\,} \]
순서를 외우는 법 — 출력 쪽 \(C\)가 맨 앞, 입력 쪽 \(B\)가 맨 뒤, 가운데에 \((sI-A)^{-1}\). 즉 신호가 흐르는 순서 입력→B→(시스템)→C→출력을 수식으로는 거꾸로(왼쪽부터 C) 적는다고 기억하면 헷갈리지 않습니다.
왜 \((sI-A)^{-1}\)인가? 스칼라 1차계 \(\dot x=ax+bu\)면 \(G=\dfrac{b}{s-a}\). 행렬에서는 나눗셈이 역행렬이므로 \(\dfrac{1}{s-a}\)가 \((sI-A)^{-1}\)로 바뀐 것입니다.
계산 예제 — \(A=\begin{bmatrix}0&1\\-2&-3\end{bmatrix},\ B=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix},\ C=[\,1\ \ 0\,]\)
1) \(sI-A=\begin{bmatrix}s&-1\\2&s+3\end{bmatrix}\)
2) \(|sI-A|=s(s+3)+2=s^2+3s+2\) ← 이 값이 분모=특성방정식
3) \((sI-A)^{-1}=\dfrac{1}{s^2+3s+2}\begin{bmatrix}s+3&1\\-2&s\end{bmatrix}\) (2×2 역행렬: 주대각 교환, 반대각 부호반전 후 행렬식으로 나눔)
4) \((sI-A)^{-1}B=\dfrac{1}{s^2+3s+2}\begin{bmatrix}1\\s\end{bmatrix}\), 앞에 \(C=[1\ 0]\)를 곱하면 위 성분만 남아
\[ G(s)=\dfrac{1}{s^2+3s+2} \]
분모 \(|sI-A|\)의 근 \(s=-1,-2\)가 곧 시스템의 극점(고유값)입니다.