회로이론
제어공학
라우스
2012.8 기출
라우스 판별에서 불안정한 특성방정식은?
- ① \(s^2+3s+2\)
- ② \(s^3+2s^2+3s+1\)
- ③ \(s^3+4s^2+5s+2\)
- ④ \(s^3+s^2+2s+8\) 정답
📖 해설
라우스(Routh) 안정도 판별
특성방정식 계수로 라우스 표를 만들어 제1열의 부호변화 횟수 = 우반평면(불안정) 근의 수입니다. 제1열 부호가 모두 같아야(변화 없음) 안정합니다.
3차식 \(s^3+b\,s^2+c\,s+d\)의 라우스 표
→ 안정 조건: 모든 계수가 양수이고 \(bc \gt d\) (\(s^1\)행 첫 항이 양수).
정답 ④ \(s^3+s^2+2s+8\) (\(b=1,\ c=2,\ d=8\)):
\(bc=1\times2=2\), \(d=8\) 이므로 \(bc \lt d\).
\(s^1\)행 첫 항 \(=\dfrac{bc-d}{b}=\dfrac{2-8}{1}=-6\ (\lt 0)\) → 제1열 부호 \(1\to1\to-6\to8\), 부호변화 2회 → 우반면 근 2개 → 불안정.
나머지 보기(안정) 확인
• ① \(s^2+3s+2\): 2차식이고 계수가 모두 양수 → 안정.
• ② \(s^3+2s^2+3s+1\): \(bc=2\times3=6 \gt d=1\) → 안정.
• ③ \(s^3+4s^2+5s+2\): \(bc=4\times5=20 \gt d=2\) → 안정.
※ 3차식 핵심 — 계수가 모두 양수여도 \(bc \gt d\)를 만족해야 안정. ④는 상수항 \(d=8\)이 너무 커서 이 조건이 깨집니다.
특성방정식 계수로 라우스 표를 만들어 제1열의 부호변화 횟수 = 우반평면(불안정) 근의 수입니다. 제1열 부호가 모두 같아야(변화 없음) 안정합니다.
3차식 \(s^3+b\,s^2+c\,s+d\)의 라우스 표
| 행 | 제1열 | 제2열 |
|---|---|---|
| \(s^3\) | 1 | \(c\) |
| \(s^2\) | \(b\) | \(d\) |
| \(s^1\) | \(\dfrac{bc-d}{b}\) | 0 |
| \(s^0\) | \(d\) |
정답 ④ \(s^3+s^2+2s+8\) (\(b=1,\ c=2,\ d=8\)):
\(bc=1\times2=2\), \(d=8\) 이므로 \(bc \lt d\).
\(s^1\)행 첫 항 \(=\dfrac{bc-d}{b}=\dfrac{2-8}{1}=-6\ (\lt 0)\) → 제1열 부호 \(1\to1\to-6\to8\), 부호변화 2회 → 우반면 근 2개 → 불안정.
나머지 보기(안정) 확인
• ① \(s^2+3s+2\): 2차식이고 계수가 모두 양수 → 안정.
• ② \(s^3+2s^2+3s+1\): \(bc=2\times3=6 \gt d=1\) → 안정.
• ③ \(s^3+4s^2+5s+2\): \(bc=4\times5=20 \gt d=2\) → 안정.
※ 3차식 핵심 — 계수가 모두 양수여도 \(bc \gt d\)를 만족해야 안정. ④는 상수항 \(d=8\)이 너무 커서 이 조건이 깨집니다.