회로이론
제어공학
이득여유
2012.3 기출
\(G(s)H(s)=\dfrac{K}{(s+1)^3}\)인 단위 부궤환계의 이득여유가 20dB일 때 K는?
- ① 1
- ② 0.8 정답
- ③ 10
- ④ 0.1
📖 해설
이득여유(Gain Margin)의 정의
이득여유는 위상이 −180°가 되는 주파수(위상교차주파수 \(\omega_{pc}\))에서 \(|GH|\)의 역수입니다.
\[ GM=\frac{1}{|G(j\omega_{pc})H(j\omega_{pc})|},\qquad GM[\text{dB}]=-20\log|GH(j\omega_{pc})| \]
※ 이득여유는 ω=0이 아니라 위상 −180° 지점에서 봅니다.
① 위상교차주파수 \(\omega_{pc}\) 찾기 (위상 = −180°)
\(G(j\omega)H(j\omega)=\dfrac{K}{(1+j\omega)^3}\)의 위상은
\[ \angle GH=-3\tan^{-1}\omega=-180°\ \Rightarrow\ \tan^{-1}\omega=60°\ \Rightarrow\ \omega_{pc}=\tan60°=\sqrt3 \]
② 그 주파수에서 크기 \(|GH|\)
\(|1+j\omega|=\sqrt{1+\omega^2}=\sqrt{1+3}=2\)이므로
\[ |GH(j\sqrt3)|=\frac{K}{|1+j\omega|^3}=\frac{K}{2^3}=\frac{K}{8} \]
③ 이득여유 20dB 조건 적용
20dB는 10배(\(10^{20/20}=10\))이므로
\[ GM=\frac{1}{|GH|}=\frac{8}{K}=10\ \Rightarrow\ K=\frac{8}{10}=\mathbf{0.8} \]
정리 — ⑴ 위상 −180° 주파수를 먼저 찾고 ⑵ 그 점의 \(|GH|\)를 구한 뒤 ⑶ \(GM=1/|GH|\)이 20dB(=10배)가 되도록 K를 맞춥니다. 만약 K가 커지면 \(|GH|\)가 커져 이득여유가 줄고, K가 이 값을 넘으면 계가 불안정해집니다.
이득여유는 위상이 −180°가 되는 주파수(위상교차주파수 \(\omega_{pc}\))에서 \(|GH|\)의 역수입니다.
\[ GM=\frac{1}{|G(j\omega_{pc})H(j\omega_{pc})|},\qquad GM[\text{dB}]=-20\log|GH(j\omega_{pc})| \]
※ 이득여유는 ω=0이 아니라 위상 −180° 지점에서 봅니다.
① 위상교차주파수 \(\omega_{pc}\) 찾기 (위상 = −180°)
\(G(j\omega)H(j\omega)=\dfrac{K}{(1+j\omega)^3}\)의 위상은
\[ \angle GH=-3\tan^{-1}\omega=-180°\ \Rightarrow\ \tan^{-1}\omega=60°\ \Rightarrow\ \omega_{pc}=\tan60°=\sqrt3 \]
② 그 주파수에서 크기 \(|GH|\)
\(|1+j\omega|=\sqrt{1+\omega^2}=\sqrt{1+3}=2\)이므로
\[ |GH(j\sqrt3)|=\frac{K}{|1+j\omega|^3}=\frac{K}{2^3}=\frac{K}{8} \]
③ 이득여유 20dB 조건 적용
20dB는 10배(\(10^{20/20}=10\))이므로
\[ GM=\frac{1}{|GH|}=\frac{8}{K}=10\ \Rightarrow\ K=\frac{8}{10}=\mathbf{0.8} \]
정리 — ⑴ 위상 −180° 주파수를 먼저 찾고 ⑵ 그 점의 \(|GH|\)를 구한 뒤 ⑶ \(GM=1/|GH|\)이 20dB(=10배)가 되도록 K를 맞춥니다. 만약 K가 커지면 \(|GH|\)가 커져 이득여유가 줄고, K가 이 값을 넘으면 계가 불안정해집니다.