회로이론
제어공학
z변환
2010.7 기출
\(X(s)=\frac{1}{s(s+1)}\)의 z변환은?
- ① \(\frac{(1-e^{-T})z}{(z-1)(z-e^{-T})}\) 정답
- ② \(\frac{z}{z-1}\)
- ③ \(\frac{z}{z-e^{-T}}\)
- ④ \(\frac{1}{z-1}\)
📖 해설
연속함수의 z변환 — 부분분수 후 변환쌍 적용
\(X(s)=\dfrac{1}{s(s+1)}\)를 부분분수로 나눈 뒤, 각 항을 z변환쌍으로 바꿉니다.
① 부분분수
\[ \frac{1}{s(s+1)}=\frac{1}{s}-\frac{1}{s+1} \]② z변환쌍
여기서 \(a=1\)이므로 \(\dfrac{1}{s+1}\to\dfrac{z}{z-e^{-T}}\).
③ 대입 후 통분
\[ X(z)=\frac{z}{z-1}-\frac{z}{z-e^{-T}}=\frac{z\,[(z-e^{-T})-(z-1)]}{(z-1)(z-e^{-T})}=\frac{(1-e^{-T})\,z}{(z-1)(z-e^{-T})} \]∴ 정답 ①.
오답 정리
• ② \(\dfrac{z}{z-1}\) — \(1/s\)만(단위계단)의 변환 · ③ \(\dfrac{z}{z-e^{-T}}\) — \(1/(s+1)\)만
• ④ \(\dfrac{1}{z-1}\) — 어느 변환쌍과도 맞지 않음
※ \(z=e^{sT}\)(T=샘플링 주기). 연속 \(X(s)\)를 부분분수로 쪼개 표준 변환쌍을 적용하는 것이 핵심입니다.
\(X(s)=\dfrac{1}{s(s+1)}\)를 부분분수로 나눈 뒤, 각 항을 z변환쌍으로 바꿉니다.
① 부분분수
\[ \frac{1}{s(s+1)}=\frac{1}{s}-\frac{1}{s+1} \]② z변환쌍
| \(F(s)\) | \(F(z)\) |
|---|---|
| \(\dfrac{1}{s}\) (단위계단) | \(\dfrac{z}{z-1}\) |
| \(\dfrac{1}{s+a}\) | \(\dfrac{z}{z-e^{-aT}}\) |
③ 대입 후 통분
\[ X(z)=\frac{z}{z-1}-\frac{z}{z-e^{-T}}=\frac{z\,[(z-e^{-T})-(z-1)]}{(z-1)(z-e^{-T})}=\frac{(1-e^{-T})\,z}{(z-1)(z-e^{-T})} \]∴ 정답 ①.
오답 정리
• ② \(\dfrac{z}{z-1}\) — \(1/s\)만(단위계단)의 변환 · ③ \(\dfrac{z}{z-e^{-T}}\) — \(1/(s+1)\)만
• ④ \(\dfrac{1}{z-1}\) — 어느 변환쌍과도 맞지 않음
※ \(z=e^{sT}\)(T=샘플링 주기). 연속 \(X(s)\)를 부분분수로 쪼개 표준 변환쌍을 적용하는 것이 핵심입니다.