회로이론
제어공학
절점 이득
2009.3 기출
1차 지연요소 \(G(s)=\dfrac{1}{1+Ts}\)의 보드선도에서 절점(코너)주파수 \(\omega=\dfrac{1}{T}\)일 때 이득은 약 몇 dB인가?
- ① 0
- ② −3 정답
- ③ −6
- ④ −20
📖 해설
이 문제가 묻는 것
\(G(s)=\dfrac{1}{1+Ts}\)는 1차 지연요소(저역통과 필터)입니다. 보드 이득선도는 저주파에서 평탄(0dB)하다가 어떤 주파수부터 \(-20\)dB/dec로 꺾여 내려가는데, 그 꺾이는 지점의 주파수가 절점(코너)주파수 \(\omega=\dfrac{1}{T}\)입니다. 그 지점에서의 실제 이득[dB]을 구하는 문제입니다.
① 주파수응답의 크기
\(s=j\omega\)를 대입하면
\[ |G(j\omega)|=\frac{1}{\sqrt{1+(\omega T)^2}} \]
② 절점주파수 대입 (\(\omega=\dfrac{1}{T}\Rightarrow \omega T=1\))
\[ |G|=\frac{1}{\sqrt{1+1^2}}=\frac{1}{\sqrt2}\approx0.707 \]
③ dB 환산
\[ G[\text{dB}]=20\log_{10}\frac{1}{\sqrt2}=20\times(-0.15)\approx-3\,\text{dB} \]
−3dB의 의미
· 진폭이 \(\dfrac{1}{\sqrt2}\)(약 70.7%)로 떨어지는 점 → 출력전력이 입력의 절반이 되는 반전력점
· 이 주파수가 곧 차단주파수(대역폭의 경계)입니다.
· 이후 주파수가 높아지면 −20dB/dec 기울기로 계속 감소하고, 위상은 절점에서 \(-45°\)(최종 \(-90°\))가 됩니다.
정리 — 1차 지연요소는 절점주파수에서 −3dB, 위상 −45°가 되는 것을 반드시 기억하세요.
\(G(s)=\dfrac{1}{1+Ts}\)는 1차 지연요소(저역통과 필터)입니다. 보드 이득선도는 저주파에서 평탄(0dB)하다가 어떤 주파수부터 \(-20\)dB/dec로 꺾여 내려가는데, 그 꺾이는 지점의 주파수가 절점(코너)주파수 \(\omega=\dfrac{1}{T}\)입니다. 그 지점에서의 실제 이득[dB]을 구하는 문제입니다.
① 주파수응답의 크기
\(s=j\omega\)를 대입하면
\[ |G(j\omega)|=\frac{1}{\sqrt{1+(\omega T)^2}} \]
② 절점주파수 대입 (\(\omega=\dfrac{1}{T}\Rightarrow \omega T=1\))
\[ |G|=\frac{1}{\sqrt{1+1^2}}=\frac{1}{\sqrt2}\approx0.707 \]
③ dB 환산
\[ G[\text{dB}]=20\log_{10}\frac{1}{\sqrt2}=20\times(-0.15)\approx-3\,\text{dB} \]
−3dB의 의미
· 진폭이 \(\dfrac{1}{\sqrt2}\)(약 70.7%)로 떨어지는 점 → 출력전력이 입력의 절반이 되는 반전력점
· 이 주파수가 곧 차단주파수(대역폭의 경계)입니다.
· 이후 주파수가 높아지면 −20dB/dec 기울기로 계속 감소하고, 위상은 절점에서 \(-45°\)(최종 \(-90°\))가 됩니다.
정리 — 1차 지연요소는 절점주파수에서 −3dB, 위상 −45°가 되는 것을 반드시 기억하세요.