회로이론
제어공학
감쇠진동
2020.9 기출
2차계 \(\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2}\)의 감쇠진동 주파수는?
- ① \(\omega_n\)
- ② \(\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}\) 정답
- ③ \(\omega_n\zeta\)
- ④ \(\omega_n\sqrt{1-2\zeta^2}\)
📖 해설
2차계 극점과 감쇠진동 주파수 \(\omega_d\) (그림)
표준 2차계 \(G=\dfrac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2}\)의 특성방정식
\[ s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2=0 \]의 근(극점)은 근의공식으로:
\[ s=-\zeta\omega_n\pm j\,\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}\quad(0<\zeta<1,\ 부족제동) \]• 실수부 \(-\zeta\omega_n\): 진폭이 줄어드는 감쇠 속도
• 허수부 \(\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}\): 실제로 진동하는 각주파수 = 감쇠진동 주파수 \(\omega_d\)
\[ \therefore\ \omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2} \]→ 정답 ②.
그림 관계: 극점은 원점에서 거리 \(\omega_n\)(고유주파수), 음의 실축과 이루는 각 \(\theta\)에서 \(\cos\theta=\zeta\). 허수부(높이)가 \(\omega_d\), 실수부(가로)가 \(\zeta\omega_n\).
감쇠비별: \(\zeta<1\) 부족제동(진동) · \(\zeta=1\) 임계제동(\(\omega_d=0\)) · \(\zeta>1\) 과제동(진동 없음).
※ 오답 ③ \(\omega_n\sqrt{1-2\zeta^2}\)는 공진주파수 \(\omega_r\)(주파수응답 이득이 최대인 곳)와 혼동한 것으로, 감쇠진동 주파수와 다릅니다.
표준 2차계 \(G=\dfrac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2}\)의 특성방정식
\[ s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2=0 \]의 근(극점)은 근의공식으로:
\[ s=-\zeta\omega_n\pm j\,\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}\quad(0<\zeta<1,\ 부족제동) \]• 실수부 \(-\zeta\omega_n\): 진폭이 줄어드는 감쇠 속도
• 허수부 \(\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}\): 실제로 진동하는 각주파수 = 감쇠진동 주파수 \(\omega_d\)
\[ \therefore\ \omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2} \]→ 정답 ②.
그림 관계: 극점은 원점에서 거리 \(\omega_n\)(고유주파수), 음의 실축과 이루는 각 \(\theta\)에서 \(\cos\theta=\zeta\). 허수부(높이)가 \(\omega_d\), 실수부(가로)가 \(\zeta\omega_n\).
감쇠비별: \(\zeta<1\) 부족제동(진동) · \(\zeta=1\) 임계제동(\(\omega_d=0\)) · \(\zeta>1\) 과제동(진동 없음).
※ 오답 ③ \(\omega_n\sqrt{1-2\zeta^2}\)는 공진주파수 \(\omega_r\)(주파수응답 이득이 최대인 곳)와 혼동한 것으로, 감쇠진동 주파수와 다릅니다.