회로이론
제어공학
라우스
2021.3 기출
특성방정식 \(2s^4+10s^3+11s^2+5s+K=0\)이 안정하기 위한 K의 범위는?
- ① \(K \gt 0\)
- ② \(0 \lt K \lt 5\) 정답
- ③ \(K \lt 0\)
- ④ \(K \gt 5\)
📖 해설
라우스(Routh) 안정도 판별
특성방정식 \(2s^4+10s^3+11s^2+5s+K=0\)의 계수로 라우스 표를 만들어, 제1열이 모두 양수여야 안정합니다.
라우스 표
계산: \(s^2\) 1열 \(=\dfrac{10\cdot11-2\cdot5}{10}=10\), \(s^2\) 2열 \(=\dfrac{10K-0}{10}=K\); \(s^1\) \(=\dfrac{10\cdot5-10\cdot K}{10}=5-K\).
안정 조건 (1열 모두 양수)
• \(2,\ 10,\ 10 \gt 0\) (항상 만족)
• \(s^1\)행: \(5-K \gt 0 \Rightarrow K \lt 5\)
• \(s^0\)행(상수항): \(K \gt 0\)
∴ \(0 \lt K \lt 5\).
※ \(K \gt 5\)이면 \(s^1\)행이 음수가 되어 제1열 부호변화 2회 → 우반면 근 2개(불안정). \(K\le0\)이면 상수항 조건 위배. 그래서 상·하한이 모두 있는 \(0 \lt K \lt 5\).
특성방정식 \(2s^4+10s^3+11s^2+5s+K=0\)의 계수로 라우스 표를 만들어, 제1열이 모두 양수여야 안정합니다.
라우스 표
| 행 | 1열 | 2열 | 3열 |
|---|---|---|---|
| \(s^4\) | 2 | 11 | \(K\) |
| \(s^3\) | 10 | 5 | 0 |
| \(s^2\) | 10 | \(K\) | |
| \(s^1\) | \(5-K\) | ||
| \(s^0\) | \(K\) |
안정 조건 (1열 모두 양수)
• \(2,\ 10,\ 10 \gt 0\) (항상 만족)
• \(s^1\)행: \(5-K \gt 0 \Rightarrow K \lt 5\)
• \(s^0\)행(상수항): \(K \gt 0\)
∴ \(0 \lt K \lt 5\).
※ \(K \gt 5\)이면 \(s^1\)행이 음수가 되어 제1열 부호변화 2회 → 우반면 근 2개(불안정). \(K\le0\)이면 상수항 조건 위배. 그래서 상·하한이 모두 있는 \(0 \lt K \lt 5\).