전력공학
전력공학
수차 출력
2005.5 기출
유효낙차가 30% 저하되고 효율이 10% 저하되면 수차 출력은 원래의 약 몇 %가 되는가?
- ① 약 53 정답
- ② 약 58
- ③ 약 63
- ④ 약 70
📖 해설
수차 출력과 낙차의 관계
수차(수력) 출력은 \(P=9.8\,Q\,H\,\eta\)[kW]로, 유량 \(Q\)·유효낙차 \(H\)·효율 \(\eta\)의 곱에 비례한다.
① 핵심: 유량 Q도 낙차에 따라 변한다
같은 수차에서 물의 분출(유입) 속도는 토리첼리 정리에 의해 \(v=\sqrt{2gH}\), 즉 \(v\propto\sqrt{H}\)이다. 유량은 \(Q=Av\)이므로 낙차가 낮아지면 유량도 함께 줄어 \(Q\propto\sqrt{H}\)가 된다. 따라서 출력은 낙차에 대해 다음과 같이 1.5제곱으로 변한다.\[ P\propto Q\,H\,\eta\propto \sqrt{H}\cdot H\cdot\eta = H^{1.5}\,\eta \]
② 저하 조건 적용
유효낙차 30% 저하 → \(H'=0.7H\), 효율 10% 저하 → \(\eta'=0.9\eta\)\[ \dfrac{P'}{P}=\left(\dfrac{H'}{H}\right)^{1.5}\!\!\times\dfrac{\eta'}{\eta}=0.7^{1.5}\times 0.9 \]
③ 계산\[ 0.7^{1.5}=0.7\sqrt{0.7}=0.7\times0.8367\approx0.586 \]\[ \dfrac{P'}{P}\approx0.586\times0.9\approx0.527 \]
즉 약 53%가 된다.
정답은 ① 약 53%.
⚠ 흔한 오답(63%) 주의
유량을 고정으로 보고 \(P\propto H\eta\)로 계산하면 \(0.7\times0.9=0.63\)(약 63%)이 나오지만, 수차에서는 낙차가 유량까지 좌우하므로 \(H^{1.5}\) 관계를 써야 한다. 이 문제의 핵심이 바로 이 점이다.
수차(수력) 출력은 \(P=9.8\,Q\,H\,\eta\)[kW]로, 유량 \(Q\)·유효낙차 \(H\)·효율 \(\eta\)의 곱에 비례한다.
① 핵심: 유량 Q도 낙차에 따라 변한다
같은 수차에서 물의 분출(유입) 속도는 토리첼리 정리에 의해 \(v=\sqrt{2gH}\), 즉 \(v\propto\sqrt{H}\)이다. 유량은 \(Q=Av\)이므로 낙차가 낮아지면 유량도 함께 줄어 \(Q\propto\sqrt{H}\)가 된다. 따라서 출력은 낙차에 대해 다음과 같이 1.5제곱으로 변한다.\[ P\propto Q\,H\,\eta\propto \sqrt{H}\cdot H\cdot\eta = H^{1.5}\,\eta \]
② 저하 조건 적용
유효낙차 30% 저하 → \(H'=0.7H\), 효율 10% 저하 → \(\eta'=0.9\eta\)\[ \dfrac{P'}{P}=\left(\dfrac{H'}{H}\right)^{1.5}\!\!\times\dfrac{\eta'}{\eta}=0.7^{1.5}\times 0.9 \]
③ 계산\[ 0.7^{1.5}=0.7\sqrt{0.7}=0.7\times0.8367\approx0.586 \]\[ \dfrac{P'}{P}\approx0.586\times0.9\approx0.527 \]
즉 약 53%가 된다.
정답은 ① 약 53%.
⚠ 흔한 오답(63%) 주의
유량을 고정으로 보고 \(P\propto H\eta\)로 계산하면 \(0.7\times0.9=0.63\)(약 63%)이 나오지만, 수차에서는 낙차가 유량까지 좌우하므로 \(H^{1.5}\) 관계를 써야 한다. 이 문제의 핵심이 바로 이 점이다.