2012.8 기출문제

자계 속 자석·코일의 회전력(토크)
\[ T=m\times H=MH\sin\theta\ (자석),\qquad T=NBIA\cos\alpha\ (코일) \]자기모멘트와 자계의 벡터곱으로, 자계와 나란해지려는 방향으로 작용합니다.

풀이
코일 토크 \(T=NBIA\cos\theta\)(자속밀도·전류·면적).

정전계 핵심
쿨롱 \(F=9\times10^9\dfrac{Q_1Q_2}{r^2}\), 전계 \(E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\), 전위 \(V=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r}\), 용량 \(C=\dfrac{Q}{V}\), 에너지 \(W=\tfrac12CV^2\), 경계 \(E_{1t}=E_{2t},\ D_{1n}=D_{2n}\).

풀이
앙페르 법칙은 자계 계산용입니다.

인덕턴스
\[ L=\frac{N\phi}{I}=\frac{N^2}{R_m}\,[\text{H}] \]권수의 제곱에 비례, 자기저항에 반비례. 축적에너지 \(W=\tfrac12LI^2\).

풀이
C/V는 정전용량(F)의 단위입니다. \(H=Wb/A=\Omega\cdot s=V\cdot s/A\).

자성체·영구자석의 성질
영구자석 재료는 잔류자기 \(B_r\)와 보자력 \(H_c\)가 모두 큰(히스테리시스 면적 넓은) 경자성체. 전자석·철심은 보자력이 작은 연자성체를 씁니다.

풀이
자로 기자력 평형 \(H_m l=H_g\delta\)로 동작점을 정합니다.

운동하는 전하가 자계에서 받는 힘 (로런츠 힘)
\[ \vec F=Q(\vec v\times\vec B) \]
전하 \(Q\), 속도 \(\vec v\), 자속밀도 \(\vec B\)의 벡터곱(외적)으로 구합니다. 힘의 크기는 \(F=QvB\sin\theta\), 방향은 \(\vec v\)에서 \(\vec B\)로 오른손을 감을 때 엄지 방향.

이 문제 대입 — \(\vec v\times\vec B\)를 성분으로 계산하면
\[ \vec v\times\vec B=\begin{vmatrix}a_x&a_y&a_z\\4&-2&-3\\3&-5&-6\end{vmatrix}=a_x(12-15)-a_y(-24+9)+a_z(-20+6) \]
\[ =-3a_x+15a_y-14a_z \]
\[ \vec F=0.2(-3a_x+15a_y-14a_z)=-0.6a_x+3a_y-2.8a_z\,[\text{N}] \]
핵심 — 전계가 없으면 \(F=QE\)가 아니라 \(F=Q(v\times B)\), 반드시 외적으로 계산합니다.

격자점 전위 — 유한차분 반복법(완화법) (그림)

전하가 없는 영역의 전위는 라플라스 방정식 \(\nabla^2 V=0\)을 만족합니다. 이를 격자(그리드)로 이산화하면, 각 격자점 전위는 상·하·좌·우 이웃 4점의 평균이 됩니다:
\[ V_0=\tfrac14\,(V_1+V_2+V_3+V_4) \]유도: \(\nabla^2V=\dfrac{\partial^2V}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2V}{\partial y^2}=0\)을 간격 \(h\)로 중심차분하면
\[ \frac{V_1+V_2+V_3+V_4-4V_0}{h^2}=0\ \Rightarrow\ V_0=\tfrac14(V_1+V_2+V_3+V_4) \]절차: 경계(정방형관 벽) 전위를 고정한 뒤, 내부 격자점들을 위 식으로 반복 계산해 값이 수렴할 때까지 갱신합니다(가우스–자이델/완화법).

오답 정리
• ① 가우스 소거 — 연립방정식 직접 풀이(격자 규모가 크면 비효율, 이 문제의 표준 기법 아님)
• ③ 적분법 · ④ 미분법 — 이산 격자 전위 계산법이 아님
∴ 정답 ② 반복법(이웃 4점 평균).

자계의 세기 \(H\)
무한직선 \(H=\dfrac{I}{2\pi r}\), 원형코일 중심 \(H=\dfrac{I}{2a}\), 솔레노이드 \(H=nI\). 앙페르 법칙 \(\oint H\cdot dl=I\)로 구합니다.

풀이
\(H=\dfrac{E}{377}\)(자유공간 고유임피던스).

정전계 핵심
쿨롱 \(F=9\times10^9\dfrac{Q_1Q_2}{r^2}\), 전계 \(E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\), 전위 \(V=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r}\), 용량 \(C=\dfrac{Q}{V}\), 에너지 \(W=\tfrac12CV^2\), 경계 \(E_{1t}=E_{2t},\ D_{1n}=D_{2n}\).

풀이
접촉 시 전하는 반경에 비례 분배: \(Q_{small}=0.15\times\dfrac{0.5}{1.5}=0.05\,\text{C}\).

접지저항
반구전극 \(R=\dfrac{\rho}{2\pi a}\), 구전극 \(R=\dfrac{\rho}{4\pi a}\). 대지저항률 \(\rho\)에 비례, 전극 크기에 반비례합니다.

풀이
\(R=\dfrac{1}{4\pi k}\left(\dfrac1a+\dfrac1b\right)\)(간격 r이 크면).

정현파의 위상·주파수
\(v=V_m\sin(\omega t+\phi)\), \(\omega=2\pi f\). 위상차는 전압·전류의 시간차, 앞서면 진상·뒤지면 지상.

풀이
\(e=\omega N\phi\propto f\)이므로 3배.

유전체 경계조건
· 전계의 접선성분 연속: \(E_{1t}=E_{2t}\)
· 전속밀도의 법선성분 연속: \(D_{1n}=D_{2n}\)
굴절 법칙: \(\dfrac{\tan\theta_1}{\tan\theta_2}=\dfrac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2}\) (유전율 큰 쪽으로 더 벌어짐).

풀이
굴절의 법칙 \(\dfrac{\tan\theta_1}{\tan\theta_2}=\dfrac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2}\).

솔레노이드 자계·자속·에너지
내부 \(H=nI\), \(B=\mu nI\), 자속 \(\phi=BS\), 저장에너지 \(W=\tfrac12LI^2=\tfrac12\mu H^2\cdot(부피)\). 무한 솔레노이드 외부 자계는 0.

풀이
무한 솔레노이드는 내부 자계 균일, 외부 0.

정자계 핵심
직선 \(H=\dfrac{I}{2\pi r}\), 원형중심 \(H=\dfrac{I}{2a}\), 솔레노이드 \(H=nI\), \(B=\mu H\), 힘 \(F=BIl\sin\theta\), 자기저항 \(R_m=\dfrac{l}{\mu S}=\dfrac{NI}{\phi}\), 인덕턴스 \(L=\dfrac{N^2}{R_m}\).

풀이
자화는 전자의 스핀·궤도 운동에 기인합니다.

전자유도·전자파 핵심
\(e=-N\dfrac{d\phi}{dt}=Blv\), 상호유도 \(V_2=M\dfrac{di_1}{dt}\), \(M=k\sqrt{L_1L_2}\), 변위전류 \(i_d=\dfrac{\partial D}{\partial t}\), 전파속도 \(v=\dfrac1{\sqrt{\mu\varepsilon}}\), 포인팅 \(P=E\times H\).

풀이
상호 인덕턴스는 노이만의 식으로 구합니다.

정전계 핵심
쿨롱 \(F=9\times10^9\dfrac{Q_1Q_2}{r^2}\), 전계 \(E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\), 전위 \(V=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r}\), 용량 \(C=\dfrac{Q}{V}\), 에너지 \(W=\tfrac12CV^2\), 경계 \(E_{1t}=E_{2t},\ D_{1n}=D_{2n}\).

풀이
\(\varepsilon_s=\dfrac{F_{공기}}{F_{유전체}}=\dfrac{5}{2}=2.5\).

직렬 콘덴서 최대전하
각 콘덴서 \(Q_{max}=C\cdot V_{내압}\) 중 최솟값에서 먼저 절연파괴됩니다(직렬은 전하 공통).

풀이
\(Q=4\pi\varepsilon_0 a^2 E=\dfrac{0.5^2\times3\times10^6}{9\times10^9}\approx8.33\times10^{-5}\,\text{C}\).

변위전류
\[ i_d=\frac{\partial D}{\partial t}=\varepsilon\frac{\partial E}{\partial t} \]콘덴서처럼 전류가 흐르지 않는 유전체에서 전속밀도 \(D\)의 시간변화가 만드는 전류로, 맥스웰이 도입해 전자파 전파를 설명합니다.

풀이
변위전류 \(J_d=\dfrac{\partial D}{\partial t}\).

도체 표면 전계·전하밀도
\[ E=\frac{\sigma}{\varepsilon_0},\qquad 면전하 무한평판:\ E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \]도체 표면 전계는 표면전하밀도에 비례하고 표면에 수직입니다.

풀이
도체 표면 전계 \(E=\dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}\).

정자계 핵심
직선 \(H=\dfrac{I}{2\pi r}\), 원형중심 \(H=\dfrac{I}{2a}\), 솔레노이드 \(H=nI\), \(B=\mu H\), 힘 \(F=BIl\sin\theta\), 자기저항 \(R_m=\dfrac{l}{\mu S}=\dfrac{NI}{\phi}\), 인덕턴스 \(L=\dfrac{N^2}{R_m}\).

풀이
복원토크 \(MH\sin\theta\), 진동주기 \(T=2\pi\sqrt{\dfrac{I}{MH}}\).

정자계 핵심
직선 \(H=\dfrac{I}{2\pi r}\), 원형중심 \(H=\dfrac{I}{2a}\), 솔레노이드 \(H=nI\), \(B=\mu H\), 힘 \(F=BIl\sin\theta\), 자기저항 \(R_m=\dfrac{l}{\mu S}=\dfrac{NI}{\phi}\), 인덕턴스 \(L=\dfrac{N^2}{R_m}\).

풀이
\(H=\dfrac{NI}{2a}\): \(H_A=\dfrac{I}{2}\), \(H_B=\dfrac{2I}{4}=\dfrac{I}{2}\) → 같다.

단계별 추적
위 AND: \(A\cdot B\), 아래 AND: \(C\cdot D\). 두 출력이 OR로 합쳐집니다.
\[ X=AB+CD \]

라우스(Routh) 안정도 판별
특성방정식 계수로 라우스 표를 만들어 제1열의 부호변화 횟수 = 우반평면(불안정) 근의 수입니다. 제1열 부호가 모두 같아야(변화 없음) 안정합니다.

3차식 \(s^3+b\,s^2+c\,s+d\)의 라우스 표

행	제1열	제2열
\(s^3\)	1	\(c\)
\(s^2\)	\(b\)	\(d\)
\(s^1\)	\(\dfrac{bc-d}{b}\)	0
\(s^0\)	\(d\)

→ 안정 조건: 모든 계수가 양수이고 \(bc \gt d\) (\(s^1\)행 첫 항이 양수).

정답 ④ \(s^3+s^2+2s+8\) (\(b=1,\ c=2,\ d=8\)):
\(bc=1\times2=2\), \(d=8\) 이므로 \(bc \lt d\).
\(s^1\)행 첫 항 \(=\dfrac{bc-d}{b}=\dfrac{2-8}{1}=-6\ (\lt 0)\) → 제1열 부호 \(1\to1\to-6\to8\), 부호변화 2회 → 우반면 근 2개 → 불안정.

나머지 보기(안정) 확인
• ① \(s^2+3s+2\): 2차식이고 계수가 모두 양수 → 안정.
• ② \(s^3+2s^2+3s+1\): \(bc=2\times3=6 \gt d=1\) → 안정.
• ③ \(s^3+4s^2+5s+2\): \(bc=4\times5=20 \gt d=2\) → 안정.
※ 3차식 핵심 — 계수가 모두 양수여도 \(bc \gt d\)를 만족해야 안정. ④는 상수항 \(d=8\)이 너무 커서 이 조건이 깨집니다.

메이슨 이득공식(신호흐름선도·블록선도)
\[ \frac{C}{R}=\frac{\sum_k P_k\Delta_k}{\Delta},\quad \Delta=1-\sum L_i+\sum L_iL_j-\cdots \]· \(P_k\): k번째 전향경로 이득, \(L\): 루프이득, \(\Delta_k\): 그 경로와 접하지 않는 루프만 남긴 값
단일 루프면 \(\dfrac{C}{R}=\dfrac{P}{1-L}\).

풀이
신호흐름선도는 메이슨 공식으로 전달함수를 구합니다.

z 변환
\(z=e^{sT}\)로 s평면 좌반면 → z평면 단위원 내부에 사상. 단위원 안이면 안정. 역변환은 부분분수·나눗셈으로.

풀이
s평면 좌반면(안정) → z평면 단위원 내부.

라플라스 변환
\[ F(s)=\int_0^\infty f(t)e^{-st}dt \]주요쌍: \(1\!\to\!\tfrac1s\), \(t\!\to\!\tfrac1{s^2}\), \(e^{-at}\!\to\!\tfrac1{s+a}\), \(\sin\omega t\!\to\!\tfrac{\omega}{s^2+\omega^2}\), \(\cos\omega t\!\to\!\tfrac{s}{s^2+\omega^2}\). 미분방정식을 대수식으로 바꿔 회로·제어 해석에 씁니다.

풀이
\(L[\cosh at]=\dfrac{s}{s^2-a^2}\).

안정도(라우스)
특성근 실수부가 모두 음(좌반면)이면 안정. 라우스 1열 부호변화 없어야 안정, 경계값이 임계안정.

풀이
라우스 조건 \(34.5\times7500\gt 7500k\Rightarrow k\lt 34.5\), k>0 → 0.