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발산(가우스) 정리

폐곡면의 면적분을 체적의 발산 적분으로 변환합니다.
\[ \oint_S \mathbf{E}\cdot d\mathbf{S}=\int_V (\nabla\cdot\mathbf{E})\,dV \]
가우스 법칙 \(\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho\)의 적분형 유도에 사용됩니다.

전위 경도

전계는 전위의 기울기에 음(−)을 붙인 것입니다.
\[ \mathbf{E}=-\nabla V=-\left(\frac{\partial V}{\partial x}\hat x+\frac{\partial V}{\partial y}\hat y+\frac{\partial V}{\partial z}\hat z\right) \]
전계는 전위가 높은 곳에서 낮은 곳으로 향합니다.

원통좌표 curl의 \(a_\phi\)성분 \(=-\dfrac{\partial A_z}{\partial r}=-5\sin\phi\), \(a_r\)성분 \(=\dfrac1r\dfrac{\partial A_z}{\partial\phi}=5\cos\phi\). \(\phi=90°\)면 \(-5a_\phi\).

정전계 핵심
쿨롱 \(F=9\times10^9\dfrac{Q_1Q_2}{r^2}\), 전계 \(E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\), 전위 \(V=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r}\), 용량 \(C=\dfrac{Q}{V}\), 에너지 \(W=\tfrac12CV^2\), 경계 \(E_{1t}=E_{2t},\ D_{1n}=D_{2n}\).

풀이
스토크스 정리: 폐곡선 선적분 = 그 면의 회전(rot) 면적분. \(\oint_c A\cdot dl=\int_s(\nabla\times A)\cdot dS\).

발산 \(\nabla\cdot E=\dfrac{\partial E_x}{\partial x}+\dfrac{\partial E_y}{\partial y}+\dfrac{\partial E_z}{\partial z}\) (스칼라).

원통좌표계의 curl 공식
\[ \nabla\times\vec A=\Big(\tfrac1r\tfrac{\partial A_z}{\partial\phi}-\tfrac{\partial A_\phi}{\partial z}\Big)\hat a_r+\Big(\tfrac{\partial A_r}{\partial z}-\tfrac{\partial A_z}{\partial r}\Big)\hat a_\phi+\tfrac1r\Big(\tfrac{\partial(rA_\phi)}{\partial r}-\tfrac{\partial A_r}{\partial\phi}\Big)\hat a_z \]
① 성분 확인
\(A_r=2r,\quad A_\phi=r^2,\quad A_z=\sin\phi\)
② \(r\)성분(\(\hat a_r\)) 계산
\[ (\nabla\times\vec A)_r=\frac1r\frac{\partial A_z}{\partial\phi}-\frac{\partial A_\phi}{\partial z} \]
\(\dfrac{\partial A_z}{\partial\phi}=\dfrac{\partial(\sin\phi)}{\partial\phi}=\cos\phi\), \(\quad\dfrac{\partial A_\phi}{\partial z}=\dfrac{\partial(r^2)}{\partial z}=0\)
\[ (\nabla\times\vec A)_r=\frac{\cos\phi}{r} \]
③ 점 \((r=3,\ \phi=180°)\) 대입
\[ (\nabla\times\vec A)_r=\frac{\cos180°}{3}=\frac{-1}{3}\approx-0.33 \]
핵심 — 원통좌표 curl은 직교좌표와 달리 \(\tfrac1r\) 인자와 \(r A_\phi\) 형태가 들어갑니다. 각 성분이 어떤 편미분의 조합인지 공식을 정확히 적용하는 것이 관건입니다.