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정현파 실효값 (RMS)

\[ V_{rms} = \frac{V_m}{\sqrt{2}} = \frac{141.4}{1.414} = \mathbf{100} \text{ [V]} \]
실효값은 같은 크기의 직류가 같은 열을 발생시킬 때의 값입니다.
일반 가정용 220V AC는 최대값이 \(220\sqrt{2} \approx 311\)V입니다.

정현파 반주기 평균값

\[ V_{avg} = \frac{2}{ \pi} V_m = \frac{2}{\pi} \times 100 \approx 0.637 \times 100 = \mathbf{63.7} \text{ [V]} \]
파형률: \(k_f = \dfrac{V_{rms}}{V_{avg}} = \dfrac{\pi}{2\sqrt{2}} \approx 1.11\)
파고율: \(k_a = \dfrac{V_m}{V_{rms}} = \sqrt{2} \approx 1.414\)

유도 리액턴스 \(X_L = \omega L = 2\pi f L\)

\[ X_L = 2\pi \times 60 \times 0.1 = 2 \times 3.14 \times 6 = \mathbf{37.68} \text{ [Ω]} \]
주파수가 높을수록 \(X_L\)이 커져 교류를 더 많이 저지합니다.
직류(f=0)에서는 \(X_L = 0\)으로 단락과 같습니다.

용량 리액턴스 \(X_C = \dfrac{1}{\omega C} = \dfrac{1}{2\pi f C}\)

\[ X_C = \frac{1}{2\pi \times 60 \times 100 \times 10^{-6}} = \frac{1}{2 \times 3.14 \times 60 \times 10^{-4}} = \frac{1}{0.03768} \approx \mathbf{26.5} \text{ [Ω]} \]
주파수가 높을수록 \(X_C\)가 작아집니다 (직류에서는 개방과 같음).

RL 직렬 임피던스

\[ |Z| = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = \mathbf{5} \text{ [Ω]} \]
위상각: \(\theta = \arctan\dfrac{X_L}{R} = \arctan\dfrac{4}{3} \approx 53.1°\)
전류가 전압보다 위상이 뒤집니다 (지상전류).

RLC 직렬 임피던스

\[ |Z| = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{4^2 + (8-5)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = \mathbf{5} \text{ [Ω]} \]
\(X_L \gt X_C\)이면 유도성 회로 (전류 지상), \(X_L \lt X_C\)이면 용량성 회로 (전류 진상).

직렬 공진 주파수

\[ f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{0.1 \times 100 \times 10^{-6}}} \]\[ = \frac{1}{2\pi\sqrt{10^{-5}}} = \frac{1}{2 \times 3.14 \times 3.162 \times 10^{-3}} \approx \mathbf{15.9 \approx 16} \text{ [Hz]} \]
공진 시 \(X_L = X_C\), 임피던스 최소(=R), 전류 최대

역률 (Power Factor)

\[ |Z| = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ [Ω]} \]\[ \cos\theta = \frac{R}{|Z|} = \frac{6}{10} = \mathbf{0.6} \]
역률 = 유효전력 / 피상전력 = R / |Z|
역률이 1에 가까울수록 전력이 효율적으로 사용됩니다.

회로이론 핵심
\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\), \(X_L=\omega L,\ X_C=\tfrac1{\omega C}\), 공진 \(f_0=\dfrac1{2\pi\sqrt{LC}}\), 실효값 \(\tfrac{V_m}{\sqrt2}\), 전력 \(P=VI\cos\theta\), 테브낭 등가.

풀이
\(X_L=2\pi fL=2\pi\times60\times0.1=37.7\,\Omega\). \(I=\dfrac{100}{37.7}\approx2.65\,\text{A}\).

파형별 실효·평균값
정현반파: 실효 \(V_m/2\), 평균 \(V_m/\pi\). 전파: 실효 \(V_m/\sqrt2\), 평균 \(2V_m/\pi\). 파형률=실효/평균.

풀이
반파정류 실효값 \(=\dfrac{V_m}{2}\) (전파는 \(V_m/\sqrt2\)).

\(X_C=\dfrac{1}{2\pi fC}=\dfrac{1}{2\pi\times60\times30\times10^{-6}}\approx88.4\Omega\), \(Z=\sqrt{100^2+88.4^2}\approx133.5\), \(I=\dfrac{100}{133.5}\approx0.75\,\text{A}\).

파형별 실효·평균값
정현반파: 실효 \(V_m/2\), 평균 \(V_m/\pi\). 전파: 실효 \(V_m/\sqrt2\), 평균 \(2V_m/\pi\). 파형률=실효/평균.

풀이
반파정류 실효값 \(=\dfrac{I_m}{2}\)(평균값은 \(I_m/\pi\)).

회로이론 핵심
\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\), \(X_L=\omega L,\ X_C=\tfrac1{\omega C}\), 공진 \(f_0=\dfrac1{2\pi\sqrt{LC}}\), 실효값 \(\tfrac{V_m}{\sqrt2}\), 전력 \(P=VI\cos\theta\), 테브낭 등가.

풀이
공진(XL=Xc=100)에서 \(I=E/R=1\)A, \(V_L=I X_L=1\times100=100\,\text{V}\).

파형별 실효·평균값
정현반파: 실효 \(V_m/2\), 평균 \(V_m/\pi\). 전파: 실효 \(V_m/\sqrt2\), 평균 \(2V_m/\pi\). 파형률=실효/평균.

풀이
반파정류 실효값 \(=\dfrac{E_m}{2}\).

회로이론 핵심
\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\), \(X_L=\omega L,\ X_C=\tfrac1{\omega C}\), 공진 \(f_0=\dfrac1{2\pi\sqrt{LC}}\), 실효값 \(\tfrac{V_m}{\sqrt2}\), 전력 \(P=VI\cos\theta\), 테브낭 등가.

풀이
\(Z=\frac{100}{2}=50\), \(R=Z\cos45°=50\times0.707\approx35.4\,\Omega\).

대칭 n상 위상차
인접 상 위상차 \(=\dfrac{2\pi}{n}\), 성형 결선 기전력 \(=2\sin\dfrac{\pi}{n}\times\)상전압.

풀이
용량성(XC>XL)이면 전류가 전압보다 앞섭니다(진상).

회로이론 핵심
\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\), \(X_L=\omega L,\ X_C=\tfrac1{\omega C}\), 공진 \(f_0=\dfrac1{2\pi\sqrt{LC}}\), 실효값 \(\tfrac{V_m}{\sqrt2}\), 전력 \(P=VI\cos\theta\), 테브낭 등가.

풀이
병렬공진 어드미턴스(컨덕턴스) \(Y=\dfrac{RC}{L}\).

교류전력
순시 \(p=vi\), 평균(유효) \(P=VI\cos\theta\), 복소전력 \(S=VI^*=P+jQ\), \(|S|=VI\).

풀이
파형(정현파)의 순시값은 \(v=V_m\sin\omega t\) 형태로 표현합니다.

교류전력
순시 \(p=vi\), 평균(유효) \(P=VI\cos\theta\), 복소전력 \(S=VI^*=P+jQ\), \(|S|=VI\).

풀이
t=0에서 \(10\sin\phi=5\) → \(\phi=30°\), 증가 중이므로 \(v=10\sin(\omega t+30°)\).

순수 인덕터(코일)에 흐르는 전류
코일의 유도리액턴스
\[ X_L=2\pi f L=2\pi\times60\times0.02=7.54\,\Omega \]
전류(실효값)는 전압을 리액턴스로 나눈 값
\[ I=\frac{V}{X_L}=\frac{50}{7.54}\approx6.63\,\text{A} \]
· \(L=20\text{mH}=0.02\text{H}\), \(f=60\text{Hz}\), \(V=50\text{V}\)
핵심 — 코일에서는 주파수가 높을수록 \(X_L\)이 커져 전류가 줄어듭니다(전류는 전압보다 90° 뒤짐).

회로이론 핵심
\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\), \(X_L=\omega L,\ X_C=\tfrac1{\omega C}\), 공진 \(f_0=\dfrac1{2\pi\sqrt{LC}}\), 실효값 \(\tfrac{V_m}{\sqrt2}\), 전력 \(P=VI\cos\theta\), 테브낭 등가.

풀이
\(10\angle60°=10(\cos60°+j\sin60°)=5+j5\sqrt3\).

회로이론 핵심
\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\), \(X_L=\omega L,\ X_C=\tfrac1{\omega C}\), 공진 \(f_0=\dfrac1{2\pi\sqrt{LC}}\), 실효값 \(\tfrac{V_m}{\sqrt2}\), 전력 \(P=VI\cos\theta\), 테브낭 등가.

풀이
직병렬 임피던스 변환 계산 → 31.25, j107.15.

회로이론 핵심
\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\), \(X_L=\omega L,\ X_C=\tfrac1{\omega C}\), 공진 \(f_0=\dfrac1{2\pi\sqrt{LC}}\), 실효값 \(\tfrac{V_m}{\sqrt2}\), 전력 \(P=VI\cos\theta\), 테브낭 등가.

풀이
임피던스로 전류·전력 계산 → 약 1.59kW.

회로이론 핵심
\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\), \(X_L=\omega L,\ X_C=\tfrac1{\omega C}\), 공진 \(f_0=\dfrac1{2\pi\sqrt{LC}}\), 실효값 \(\tfrac{V_m}{\sqrt2}\), 전력 \(P=VI\cos\theta\), 테브낭 등가.

풀이
\(I_m=\omega C V_m=2\pi\times1000\times0.1\times10^{-6}\times2000\approx1.256\)A, 90° 앞섬.

대칭 n상 위상차
인접 상 위상차 \(=\dfrac{2\pi}{n}\), 성형 결선 기전력 \(=2\sin\dfrac{\pi}{n}\times\)상전압.

풀이
두 정현파의 위상차는 θ입니다.

회로이론 핵심
\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\), \(X_L=\omega L,\ X_C=\tfrac1{\omega C}\), 공진 \(f_0=\dfrac1{2\pi\sqrt{LC}}\), 실효값 \(\tfrac{V_m}{\sqrt2}\), 전력 \(P=VI\cos\theta\), 테브낭 등가.

풀이
\(n^2=\frac{1000}{10}=100,\ n=10\).

회로이론 핵심
\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\), \(X_L=\omega L,\ X_C=\tfrac1{\omega C}\), 공진 \(f_0=\dfrac1{2\pi\sqrt{LC}}\), 실효값 \(\tfrac{V_m}{\sqrt2}\), 전력 \(P=VI\cos\theta\), 테브낭 등가.

풀이
\(\frac{평균}{실효}=\frac{(2/\pi)V_m}{V_m/\sqrt2}=0.9\).

회로이론 핵심
\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\), \(X_L=\omega L,\ X_C=\tfrac1{\omega C}\), 공진 \(f_0=\dfrac1{2\pi\sqrt{LC}}\), 실효값 \(\tfrac{V_m}{\sqrt2}\), 전력 \(P=VI\cos\theta\), 테브낭 등가.

풀이
전압원→전류원: \(I=E/Z\), 임피던스는 그대로 병렬로 붙입니다.

대칭 n상 — 선전류와 상전류의 관계 (그림)
대칭 n상 환상(Δ형) 결선에서 선전류는 이웃한 두 상전류의 벡터차로 구해집니다.

크기가 같고 위상이 \(\dfrac{2\pi}{n}\)만큼 벌어진 두 상전류의 차를 계산하면:
• 크기: \(I_l = 2\sin\dfrac{\pi}{n}\,I_p\)
• 위상차: 선전류는 상전류보다 \(\dfrac{\pi}{2}\!\left(1-\dfrac{2}{n}\right)=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{n}\) 만큼 뒤진다

유도(요점)
두 상전류 \(I_p\angle0°\)와 \(I_p\angle(-\tfrac{2\pi}{n})\)의 차의 위상은 \(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{n}\), 크기는 \(2I_p\sin\dfrac{\pi}{n}\).

검산 — 3상(n=3)
위상차 \(=\dfrac{\pi}{2}\!\left(1-\dfrac{2}{3}\right)=\dfrac{\pi}{6}=30°\), 크기 \(=2\sin\dfrac{\pi}{3}I_p=\sqrt3\,I_p\) — 우리가 아는 \(\Delta\)결선 결과와 일치.
∴ 정답 ③ (\(\tfrac{\pi}{2}(1-\tfrac{2}{n})\)).

교류전력
순시 \(p=vi\), 평균(유효) \(P=VI\cos\theta\), 복소전력 \(S=VI^*=P+jQ\), \(|S|=VI\).

풀이
\(v=3\sin(3t+90°)\), \(i=2\sin(3t+190°)\) → 위상차 100°.

회로이론 핵심
\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\), \(X_L=\omega L,\ X_C=\tfrac1{\omega C}\), 공진 \(f_0=\dfrac1{2\pi\sqrt{LC}}\), 실효값 \(\tfrac{V_m}{\sqrt2}\), 전력 \(P=VI\cos\theta\), 테브낭 등가.

풀이
\(I=\dfrac{V}{\omega L}=\dfrac{100}{377\times0.1}\approx2.65\,\text{A}\).

대칭 n상 위상차
인접 상 위상차 \(=\dfrac{2\pi}{n}\), 성형 결선 기전력 \(=2\sin\dfrac{\pi}{n}\times\)상전압.

풀이
\(v_2=150\sin(120\pi t+60°)\), 위상차 \(=60-(-30)=90°\).

RC 저역통과 여파기(1차)
직렬 \(R\), 병렬 \(C\)에서 출력을 \(C\) 양단에서 취하면 전달함수는 전압 분배로
\[ G(j\omega)=\frac{V_o}{V_i}=\frac{\frac{1}{j\omega C}}{R+\frac{1}{j\omega C}}=\frac{1}{1+j\omega RC} \]① 이득(크기)
\[ |G(j\omega)|=\frac{1}{\sqrt{1+(\omega RC)^2}} \]② 차단주파수 \(\omega=\dfrac{1}{RC}\) 대입
\(\omega RC=1\) 이므로
\[ |G|=\frac{1}{\sqrt{1+1^2}}=\frac{1}{\sqrt2}\approx0.707 \]③ 의미 — 왜 이 주파수가 ‘차단’인가
이 값은 통과대역 이득(\(=1\))의 \(\dfrac{1}{\sqrt2}\)배, 즉 전력이 절반으로 떨어지는 점이라 −3dB 차단주파수라 부릅니다. \(\big(20\log_{10}\frac{1}{\sqrt2}=-3.01\,\text{dB}\big)\)
※ 참고 — \(\omega\ll\frac{1}{RC}\)이면 \(|G|\to1\)(통과), \(\omega\gg\frac{1}{RC}\)이면 \(|G|\to0\)(차단). 위상은 차단주파수에서 \(-45^\circ\).

역률
\[ \cos\theta=\frac{R}{Z}=\frac{P}{S}=\frac{유효전력}{피상전력} \]전압·전류 위상차의 코사인. 1에 가까울수록 유효전력 비중이 큽니다.

풀이
역률 \(\cos\theta=\dfrac{R}{|Z|}=\dfrac{P}{VI}\).

회로이론 핵심
\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\), \(X_L=\omega L,\ X_C=\tfrac1{\omega C}\), 공진 \(f_0=\dfrac1{2\pi\sqrt{LC}}\), 실효값 \(\tfrac{V_m}{\sqrt2}\), 전력 \(P=VI\cos\theta\), 테브낭 등가.

풀이
제3고조파(3ω)가 공진하려면 기본 공진주파수가 \(\dfrac{f_0}{3}\)이어야 합니다.

교류전력
\[ P=VI\cos\theta,\ Q=VI\sin\theta,\ S=VI=\sqrt{P^2+Q^2} \]유효·무효·피상전력. 3상은 \(\sqrt3\) 배.

풀이
소비전력 \(P=I^2 R\)로 저항 성분에서만 소비됩니다.

교류전력
\[ P=VI\cos\theta,\ Q=VI\sin\theta,\ S=VI=\sqrt{P^2+Q^2} \]유효·무효·피상전력. 3상은 \(\sqrt3\) 배.

풀이
\(P=\text{Re}(E\bar I)=\text{Re}((100+j50)(3-j4))=300+200=500\,\text{W}\).

공진·선택도
공진 \(f_0=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\), 선택도 \(Q=\dfrac{\omega_0L}{R}=\dfrac{f_0}{대역폭}\). Q 높을수록 선택적.

풀이
직렬공진 선택도 \(Q=\dfrac{V_L}{V}=\dfrac{V_C}{V}=\dfrac{1}{R}\sqrt{\dfrac{L}{C}}\).

최대전력 전달
부하저항이 전원 내부저항(테브낭 저항)과 같을 때 부하에 최대전력이 전달됩니다.
\[ R_L=R_{th},\qquad P_{max}=\frac{V_{th}^2}{4R_{th}} \]

풀이
순저항 부하 최대전력 조건 \(R_L=|Z|=\sqrt{R^2+X^2}\).

톱니파(sawtooth)의 파형률
\[ 파형률=\frac{실효값}{평균값} \]0~\(V_m\)까지 선형으로 증가하는 톱니파는
실효값 \(=\dfrac{V_m}{\sqrt3}\), 평균값 \(=\dfrac{V_m}{2}\)이므로
\[ 파형률=\frac{V_m/\sqrt3}{V_m/2}=\frac{2}{\sqrt3}\approx1.155 \]참고로 파고율(=최대/실효)\(=\dfrac{V_m}{V_m/\sqrt3}=\sqrt3\approx1.732\).

회로이론 핵심
\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\), \(X_L=\omega L,\ X_C=\tfrac1{\omega C}\), 공진 \(f_0=\dfrac1{2\pi\sqrt{LC}}\), 실효값 \(\tfrac{V_m}{\sqrt2}\), 전력 \(P=VI\cos\theta\), 테브낭 등가.

풀이
병렬 회로 역률 \(\cos\theta=\dfrac{X}{\sqrt{R^2+X^2}}\)(어드미턴스 기준).

교류전력
순시 \(p=vi\), 평균(유효) \(P=VI\cos\theta\), 복소전력 \(S=VI^*=P+jQ\), \(|S|=VI\).

풀이
순시값 \(v=V_m\sin(\omega t+\theta)\).

최대전력 전달
부하저항이 전원 내부저항(테브낭 저항)과 같을 때 부하에 최대전력이 전달됩니다.
\[ R_L=R_{th},\qquad P_{max}=\frac{V_{th}^2}{4R_{th}} \]

풀이
전원측 총 임피던스 \(2+j5\)의 공액 \(2-j5\,\Omega\)일 때 최대전력.

정현 전파정류 파형의 파고율
\[ 파고율=\frac{최대값}{실효값} \]전파정류: 최대값 \(V_m\), 실효값 \(\dfrac{V_m}{\sqrt2}\)이므로
\[ 파고율=\frac{V_m}{V_m/\sqrt2}=\sqrt2\approx1.414 \](정현파·전파정류 모두 파고율 √2, 반파정류는 2)

역률
\[ \cos\theta=\frac{R}{Z}=\frac{P}{S}=\frac{유효전력}{피상전력} \]전압·전류 위상차의 코사인. 1에 가까울수록 유효전력 비중이 큽니다.

풀이
\(\cos\theta=\dfrac{P}{\sqrt{P^2+Q^2}}=\dfrac{80}{100}=0.8\).

임피던스·분배
\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\), 전류분배 \(I_1=I\dfrac{Z_2}{Z_1+Z_2}\), 직렬은 전압분배.

풀이
\(Z=\dfrac{100+j20}{4+j3}=\dfrac{(100+j20)(4-j3)}{25}\approx18.4-j8.8\,\Omega\).

교류회로의 전류
\[ I=\frac{V}{Z},\quad Z=\sqrt{R^2+(X_L-X_C)^2},\quad X_L=\omega L,\ X_C=\frac1{\omega C} \]전류는 임피던스 크기로 나눠 구하고, 위상은 \(\theta=\tan^{-1}\frac{X}{R}\)만큼 전압과 차이납니다.

풀이
\(X_L=377\times0.07958=30\), \(Z=\sqrt{40^2+30^2}=50\), \(I_m=311/50\approx6.22\,\text{A}\).

회로이론 핵심
\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\), \(X_L=\omega L,\ X_C=\tfrac1{\omega C}\), 공진 \(f_0=\dfrac1{2\pi\sqrt{LC}}\), 실효값 \(\tfrac{V_m}{\sqrt2}\), 전력 \(P=VI\cos\theta\), 테브낭 등가.

풀이
\(X_L=37.7\), \(Z=\sqrt{20^2+37.7^2}=42.7\), \(I=2.69\)A, \(V_L=IX_L\approx101\,\text{V}\).

교류전력
\[ P=VI\cos\theta,\ Q=VI\sin\theta,\ S=VI=\sqrt{P^2+Q^2} \]유효·무효·피상전력. 3상은 \(\sqrt3\) 배.

풀이
\(Q=\frac12 E_m I_m\sin\theta=\frac12\times50\times4\times\sin30°=50\,\text{Var}\).

교류회로의 전류
\[ I=\frac{V}{Z},\quad Z=\sqrt{R^2+(X_L-X_C)^2},\quad X_L=\omega L,\ X_C=\frac1{\omega C} \]전류는 임피던스 크기로 나눠 구하고, 위상은 \(\theta=\tan^{-1}\frac{X}{R}\)만큼 전압과 차이납니다.

풀이
\(X_L=100\pi\times0.127\approx39.9\), \(Z=\sqrt{30^2+39.9^2}\approx50\), \(I=100/50=2\,\text{A}\).

회로이론 핵심
\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\), \(X_L=\omega L,\ X_C=\tfrac1{\omega C}\), 공진 \(f_0=\dfrac1{2\pi\sqrt{LC}}\), 실효값 \(\tfrac{V_m}{\sqrt2}\), 전력 \(P=VI\cos\theta\), 테브낭 등가.

풀이
삼각파 실효값 \(=\frac{1}{\sqrt3}\approx0.577\), 평균값 \(=0.5\).

공진·선택도
공진 \(f_0=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\), 선택도 \(Q=\dfrac{\omega_0L}{R}=\dfrac{f_0}{대역폭}\). Q 높을수록 선택적.

풀이
\(Q=\dfrac{\omega L}{R}\Rightarrow R=\dfrac{2\pi\times2\times10^6\times0.02\times10^{-3}}{60}\approx4.19\,\Omega\).

공진·선택도
공진 \(f_0=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\), 선택도 \(Q=\dfrac{\omega_0L}{R}=\dfrac{f_0}{대역폭}\). Q 높을수록 선택적.

풀이
\(C=\dfrac{1}{\omega^2 L}=\dfrac{1}{(2\pi\times1000)^2\times0.02}\approx1.27\,\mu F\).

정현파의 평균값 ↔ 최대값
정현파의 (전파정류)평균값은
\[ V_{avg}=\frac{2}{\pi}V_m=0.637\,V_m \]\[ V_m=\frac{\pi}{2}V_{avg}=\frac{\pi}{2}\times150\approx235.6\,\text{V} \]실효값이라면 \(V=\dfrac{V_m}{\sqrt2}\)로 다시 환산합니다.

교류전력
\[ P=VI\cos\theta,\ Q=VI\sin\theta,\ S=VI=\sqrt{P^2+Q^2} \]유효·무효·피상전력. 3상은 \(\sqrt3\) 배.

풀이
\(P=\text{Re}(V\bar I)=\text{Re}((100+j20)(8-j6))=800+120=920\,\text{W}\).

임피던스·분배
\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\), 전류분배 \(I_1=I\dfrac{Z_2}{Z_1+Z_2}\), 직렬은 전압분배.

풀이
\(Z=\dfrac{100+j20}{4+j3}\approx18.4-j8.8\,\Omega\).

파형별 실효·평균값
정현반파: 실효 \(V_m/2\), 평균 \(V_m/\pi\). 전파: 실효 \(V_m/\sqrt2\), 평균 \(2V_m/\pi\). 파형률=실효/평균.

풀이
파형률 \(=\dfrac{실효값}{평균값}=\dfrac{E_m/\sqrt2}{2E_m/\pi}\approx1.11\).

회로이론 핵심
\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\), \(X_L=\omega L,\ X_C=\tfrac1{\omega C}\), 공진 \(f_0=\dfrac1{2\pi\sqrt{LC}}\), 실효값 \(\tfrac{V_m}{\sqrt2}\), 전력 \(P=VI\cos\theta\), 테브낭 등가.

풀이
전류 \(I=\dfrac{V}{Z}\), \(Z=\sqrt{R^2+(X_L-X_C)^2}\)(R이 지배적).

최대전력 전달
부하저항이 전원 내부저항(테브낭 저항)과 같을 때 부하에 최대전력이 전달됩니다.
\[ R_L=R_{th},\qquad P_{max}=\frac{V_{th}^2}{4R_{th}} \]

풀이
총 임피던스 \(2+j5\)의 공액 \(2-j5\,\Omega\)일 때 최대전력.

공진·선택도
공진 \(f_0=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\), 선택도 \(Q=\dfrac{\omega_0L}{R}=\dfrac{f_0}{대역폭}\). Q 높을수록 선택적.

풀이
직렬공진 \(\omega L_{총}=\dfrac{1}{\omega C}\).

교류전력
\[ P=VI\cos\theta,\ Q=VI\sin\theta,\ S=VI=\sqrt{P^2+Q^2} \]유효·무효·피상전력. 3상은 \(\sqrt3\) 배.

풀이
\(Q=S\sin\theta=22000\times0.6=13200\,\text{Var}\).

공진·선택도
공진 \(f_0=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\), 선택도 \(Q=\dfrac{\omega_0L}{R}=\dfrac{f_0}{대역폭}\). Q 높을수록 선택적.

풀이
\(Q=\dfrac{1}{R}\sqrt{\dfrac{L}{C}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{10\times10^{-3}}{4\times10^{-6}}}=25\).

비정현파 실효값
\[ V=\sqrt{V_0^2+V_1^2+V_2^2+\cdots} \]직류분과 각 고조파 실효값(=최대값/√2)의 제곱합의 제곱근. 위상은 무관합니다.

풀이
실효값 \(=\sqrt{\sum V_n^2}\)(각 성분 실효값 제곱합의 제곱근).

\(L=\frac{X_L}{\omega}=\frac{3}{377}\approx7.96\text{mH}\), \(C=\frac{1}{\omega X_C}=\frac{1}{377\times3}\approx884\,\mu F\).

공진·선택도
공진 \(f_0=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\), 선택도 \(Q=\dfrac{\omega_0L}{R}=\dfrac{f_0}{대역폭}\). Q 높을수록 선택적.

풀이
직렬공진 \(\omega L_{총}=\dfrac{1}{\omega C}\).

2차계 과도응답
\[ G=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2} \]감쇠비 \(\zeta\)<1 부족제동(진동), =1 임계, >1 과제동. \(\omega_n\):고유주파수.

풀이
차단주파수에서 \(|G|=\dfrac{1}{\sqrt2}\)(−3dB).

회로이론 핵심
\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\), \(X_L=\omega L,\ X_C=\tfrac1{\omega C}\), 공진 \(f_0=\dfrac1{2\pi\sqrt{LC}}\), 실효값 \(\tfrac{V_m}{\sqrt2}\), 전력 \(P=VI\cos\theta\), 테브낭 등가.

풀이
\(B=\dfrac{1}{\omega L}=\dfrac{1}{377\times0.003}\approx0.884\,\text{℧}\).

회로이론 핵심
\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\), \(X_L=\omega L,\ X_C=\tfrac1{\omega C}\), 공진 \(f_0=\dfrac1{2\pi\sqrt{LC}}\), 실효값 \(\tfrac{V_m}{\sqrt2}\), 전력 \(P=VI\cos\theta\), 테브낭 등가.

풀이
\(P=VI\cos\theta\), 역률 \(=\dfrac{P}{VI}\).

톱니파(sawtooth)의 파형률
\[ 파형률=\frac{실효값}{평균값} \]0~\(V_m\)까지 선형으로 증가하는 톱니파는
실효값 \(=\dfrac{V_m}{\sqrt3}\), 평균값 \(=\dfrac{V_m}{2}\)이므로
\[ 파형률=\frac{V_m/\sqrt3}{V_m/2}=\frac{2}{\sqrt3}\approx1.155 \]참고로 파고율(=최대/실효)\(=\dfrac{V_m}{V_m/\sqrt3}=\sqrt3\approx1.732\).

최대전력 전달
부하저항이 전원 내부저항(테브낭 저항)과 같을 때 부하에 최대전력이 전달됩니다.
\[ R_L=R_{th},\qquad P_{max}=\frac{V_{th}^2}{4R_{th}} \]

풀이
총 임피던스 \(1.4+j5\)의 공액 \(1.4-j5\,\Omega\)에서 최대전력.

정현파 \(i=I_m\sin(\omega t+\theta)\)의 파고율
\[ 파고율=\frac{최대값}{실효값}=\frac{I_m}{I_m/\sqrt2}=\sqrt2\approx1.414 \]파형률(실효/평균)\(=\dfrac{I_m/\sqrt2}{2I_m/\pi}=\dfrac{\pi}{2\sqrt2}\approx1.11\).