Q36
Z변환
기본 변환쌍
단위임펄스 \(\delta[n]\)의 Z변환 \(X(z)\)는?
💡 해설 보기
단위임펄스 Z변환
Z변환 정의: \(X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]z^{-n}\)
\(\delta[n]\)은 n=0에서만 1이므로:
\[ \mathcal{Z}\{\delta[n]\} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta[n]z^{-n} = z^0 = \mathbf{1} \]
비교:
• \(\delta[n]\) → Z변환 = 1 (라플라스의 δ(t) → 1과 동일)
• \(\delta[n-k]\) → Z변환 = z^(-k) (지연 성질)
수렴 영역(ROC): 모든 z (z≠0)
Z변환 정의: \(X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]z^{-n}\)
\(\delta[n]\)은 n=0에서만 1이므로:
\[ \mathcal{Z}\{\delta[n]\} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta[n]z^{-n} = z^0 = \mathbf{1} \]
비교:
• \(\delta[n]\) → Z변환 = 1 (라플라스의 δ(t) → 1과 동일)
• \(\delta[n-k]\) → Z변환 = z^(-k) (지연 성질)
수렴 영역(ROC): 모든 z (z≠0)
Q37
Z변환
기본 변환쌍
단위계단 \(u[n]\)의 Z변환 \(X(z)\)는?
💡 해설 보기
단위계단 Z변환
u[n]은 n≥0에서 모두 1이므로:
\[ \mathcal{Z}\{u[n]\} = \sum_{n=0}^{\infty} z^{-n} = \frac{1}{1-z^{-1}} = \frac{z}{z-1} \quad (|z|\gt 1) \]
등비급수 공식 적용: \(\sum_{n=0}^{\infty} r^n = \dfrac{1}{1-r}\) (|r|<1), 여기서 r = z⁻¹
⚠️ 시험에서 z/(z-1) 형태로 기억하세요.
극점 z=1 → ROC: |z| > 1 (인과 시스템)
u[n]은 n≥0에서 모두 1이므로:
\[ \mathcal{Z}\{u[n]\} = \sum_{n=0}^{\infty} z^{-n} = \frac{1}{1-z^{-1}} = \frac{z}{z-1} \quad (|z|\gt 1) \]
등비급수 공식 적용: \(\sum_{n=0}^{\infty} r^n = \dfrac{1}{1-r}\) (|r|<1), 여기서 r = z⁻¹
⚠️ 시험에서 z/(z-1) 형태로 기억하세요.
극점 z=1 → ROC: |z| > 1 (인과 시스템)
Q38
Z변환
지수수열 변환
\(x[n] = (0.5)^n u[n]\)의 Z변환 \(X(z)\)는?
💡 해설 보기
지수 수열 Z변환
일반 공식: \(\mathcal{Z}\{a^n u[n]\} = \dfrac{z}{z-a}\) (|z| > |a|)
a = 0.5 대입:
\[ X(z) = \frac{z}{z-0.5} \quad (|z| \gt 0.5) \]
확인: \(X(z) = \sum_{n=0}^{\infty}(0.5)^n z^{-n} = \sum_{n=0}^{\infty}(0.5/z)^n = \dfrac{1}{1-0.5z^{-1}} = \dfrac{z}{z-0.5}\)
극점 z=0.5는 단위원 내부 → 안정 시스템
일반 공식: \(\mathcal{Z}\{a^n u[n]\} = \dfrac{z}{z-a}\) (|z| > |a|)
a = 0.5 대입:
\[ X(z) = \frac{z}{z-0.5} \quad (|z| \gt 0.5) \]
확인: \(X(z) = \sum_{n=0}^{\infty}(0.5)^n z^{-n} = \sum_{n=0}^{\infty}(0.5/z)^n = \dfrac{1}{1-0.5z^{-1}} = \dfrac{z}{z-0.5}\)
극점 z=0.5는 단위원 내부 → 안정 시스템
Q39
Z변환
수렴 영역
인과(causal) 이산 시스템이 BIBO 안정(stable)하기 위한 Z변환의 수렴 영역(ROC) 및 극점 조건은?
💡 해설 보기
Z변환의 안정성 조건
인과 시스템의 ROC: |z| > r (단위원 포함 여부가 핵심)
BIBO 안정 조건: ROC가 단위원(|z|=1)을 포함해야 한다.
→ 이는 모든 극점이 단위원 내부(|p| < 1)에 있을 때 성립
비교 (라플라스 변환):
• 라플라스: 모든 극점이 좌반 평면(Re(s) < 0)
• Z변환: 모든 극점이 단위원 내부(|z| < 1)
대응 관계: \(z = e^{sT}\) → 좌반 평면(s) ↔ 단위원 내부(z)
인과 시스템의 ROC: |z| > r (단위원 포함 여부가 핵심)
BIBO 안정 조건: ROC가 단위원(|z|=1)을 포함해야 한다.
→ 이는 모든 극점이 단위원 내부(|p| < 1)에 있을 때 성립
비교 (라플라스 변환):
• 라플라스: 모든 극점이 좌반 평면(Re(s) < 0)
• Z변환: 모든 극점이 단위원 내부(|z| < 1)
대응 관계: \(z = e^{sT}\) → 좌반 평면(s) ↔ 단위원 내부(z)
Q40
Z변환
역 Z변환
\(X(z) = \dfrac{z}{z - 0.5}\)의 역 Z변환 \(x[n]\) (인과 신호, n≥0)은?
💡 해설 보기
역 Z변환 — 부분분수 분해법
기본 변환쌍 \(\dfrac{z}{z-a} \leftrightarrow a^n u[n]\)을 직접 적용:
\[ X(z) = \frac{z}{z-0.5} \xrightarrow{\mathcal{Z}^{-1}} x[n] = (0.5)^n u[n] \]
부분분수로 확인:
\[ \frac{X(z)}{z} = \frac{1}{z-0.5} \Rightarrow X(z) = \frac{z}{z-0.5} \]
→ 극점 z=0.5에 대한 유수: 1
→ \(x[n] = (0.5)^n u[n]\)
검증: n=0이면 x[0]=1, n=1이면 x[1]=0.5, n=2이면 x[2]=0.25 ✓
기본 변환쌍 \(\dfrac{z}{z-a} \leftrightarrow a^n u[n]\)을 직접 적용:
\[ X(z) = \frac{z}{z-0.5} \xrightarrow{\mathcal{Z}^{-1}} x[n] = (0.5)^n u[n] \]
부분분수로 확인:
\[ \frac{X(z)}{z} = \frac{1}{z-0.5} \Rightarrow X(z) = \frac{z}{z-0.5} \]
→ 극점 z=0.5에 대한 유수: 1
→ \(x[n] = (0.5)^n u[n]\)
검증: n=0이면 x[0]=1, n=1이면 x[1]=0.5, n=2이면 x[2]=0.25 ✓
🧮 공학계산기
0
계산 기록
SI ×10ⁿ