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상태공간 표준형

\[ \dot{x}=Ax+Bu,\qquad y=Cx+Du \]
\(A\): 시스템(계)행렬, \(B\): 입력행렬, \(C\): 출력행렬, \(D\): 직접전달항. 상태변수 \(x\)의 1차 미분으로 표현하는 것이 핵심입니다.

제어공학 핵심
전달함수 \(G=\dfrac{C}{R}\), 부궤환 \(\dfrac{G}{1+GH}\), 메이슨 \(\dfrac{\sum P_k\Delta_k}{\Delta}\), 라우스(1열 부호변화=우반면근), 정상편차 \(e_{ss}=\lim_{s\to0}\dfrac{sR}{1+GH}\), 2차계 감쇠비 \(\zeta\).

풀이
상태변수 선택

상태변수는 에너지 저장소자의 독립적인 변수를 택합니다. 즉 인덕터 전류 \(i_L\)(자기에너지)와 커패시터 전압 \(v_C\)(전기에너지)입니다. 이들은 초기조건을 결정하는 양이기도 합니다.

상태방정식·특성방정식
\[ \dot x=Ax+Bu,\quad y=Cx \Rightarrow G(s)=C(sI-A)^{-1}B \]특성방정식은 \(|sI-A|=0\)(또는 전달함수 분모=0)이며, 그 근(극점)이 시스템 응답·안정도를 결정합니다.

풀이
특성방정식

특성방정식은 \(|sI-A|=0\)이며, 그 근(고유값)이 곧 전달함수의 극점입니다. 모든 근의 실수부가 음(좌반면)이면 시스템은 안정합니다.

상태방정식 → 전달함수 (핵심 공식 유도)

상태방정식과 출력방정식은 다음과 같습니다.
\[ \dot{x}=Ax+Bu,\qquad y=Cx\ (+Du) \]
① 라플라스 변환 (초기값 \(x(0)=0\)): \(\dot x\)는 \(sX\)가 됩니다.
\[ sX=AX+BU \]
② X로 정리: \(AX\)를 좌변으로 옮기면 \(sX-AX=BU\). 여기서 \(sX=sIX\)(단위행렬 \(I\)를 끼워야 행렬-행렬 뺄셈이 성립)이므로
\[ (sI-A)X=BU \;\Rightarrow\; X=(sI-A)^{-1}BU \]
③ 출력에 대입: \(Y=CX=C(sI-A)^{-1}BU\)
\[ \boxed{\,G(s)=\dfrac{Y}{U}=C(sI-A)^{-1}B\ (+D)\,} \]

순서를 외우는 법 — 출력 쪽 \(C\)가 맨 앞, 입력 쪽 \(B\)가 맨 뒤, 가운데에 \((sI-A)^{-1}\). 즉 신호가 흐르는 순서 입력→B→(시스템)→C→출력을 수식으로는 거꾸로(왼쪽부터 C) 적는다고 기억하면 헷갈리지 않습니다.

왜 \((sI-A)^{-1}\)인가? 스칼라 1차계 \(\dot x=ax+bu\)면 \(G=\dfrac{b}{s-a}\). 행렬에서는 나눗셈이 역행렬이므로 \(\dfrac{1}{s-a}\)가 \((sI-A)^{-1}\)로 바뀐 것입니다.

계산 예제 — \(A=\begin{bmatrix}0&1\\-2&-3\end{bmatrix},\ B=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix},\ C=[\,1\ \ 0\,]\)
1) \(sI-A=\begin{bmatrix}s&-1\\2&s+3\end{bmatrix}\)
2) \(|sI-A|=s(s+3)+2=s^2+3s+2\) ← 이 값이 분모=특성방정식
3) \((sI-A)^{-1}=\dfrac{1}{s^2+3s+2}\begin{bmatrix}s+3&1\\-2&s\end{bmatrix}\) (2×2 역행렬: 주대각 교환, 반대각 부호반전 후 행렬식으로 나눔)
4) \((sI-A)^{-1}B=\dfrac{1}{s^2+3s+2}\begin{bmatrix}1\\s\end{bmatrix}\), 앞에 \(C=[1\ 0]\)를 곱하면 위 성분만 남아
\[ G(s)=\dfrac{1}{s^2+3s+2} \]
분모 \(|sI-A|\)의 근 \(s=-1,-2\)가 곧 시스템의 극점(고유값)입니다.

상태천이행렬 성질

\(\phi(0)=e^{A\cdot0}=I\) (단위행렬)이며 0이 아닙니다. 따라서 '\(\phi(0)=0\)'은 틀린 설명입니다.
나머지: \(\phi(t)=\mathcal{L}^{-1}[(sI-A)^{-1}]\), \(\phi^{-1}(t)=\phi(-t)\), \(\phi(t_1+t_2)=\phi(t_1)\phi(t_2)\)는 모두 성립합니다.

자유응답(영입력응답)

\(u=0\)이면 \(\dot{x}=Ax\)이고 해는 \[ x(t)=e^{At}x(0)=\phi(t)\,x(0) \]
입력이 있으면 합성곱 항 \(\int_0^t \phi(t-\tau)Bu(\tau)d\tau\)이 추가됩니다.

고유값 계산

\[ |sI-A|=\begin{vmatrix}s&-1\\2&s+3\end{vmatrix}=s(s+3)+2=s^2+3s+2=0 \]
\((s+1)(s+2)=0 \Rightarrow s=-1,\,-2\). 두 근 모두 음의 실수부이므로 시스템은 안정합니다.

제어표준형(동반행렬)

분모 \(s^2+3s+2\)에서 \(a_0=2,\ a_1=3\). 위상변수 \(x_1=y,\ x_2=\dot y\)로 두면
\[ A=\begin{bmatrix}0&1\\-a_0&-a_1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&1\\-2&-3\end{bmatrix} \]
최하단 행에 분모계수를 부호 반전해 배치합니다.

제어계 안정도
특성방정식의 모든 근이 s평면 좌반면에 있어야 안정합니다. 라우스·훌비츠(대수적), 나이퀴스트·보드(도식적)로 판별하며, 우반면 근이 있으면 불안정.

풀이
안정 조건

시스템 안정성은 A의 고유값(=특성근=극점)으로 판별합니다. 모든 고유값의 실수부가 음수(s평면 좌반면)이면 자유응답이 시간에 따라 0으로 수렴하므로 안정합니다.

상태선도 → 상태방정식

적분기 출력을 \(x_1=y,\ x_2\)로 두면 \(\dot{x}_1=x_2\), 합산점에서 \(\dot{x}_2=u-2x_1-3x_2\) (귀환이득 −2, −3).
\[ A=\begin{bmatrix}0&1\\-2&-3\end{bmatrix} \]
이는 전달함수 \(G(s)=\dfrac{1}{s^2+3s+2}\)에 해당합니다.

가제어성

n차 시스템이 가제어하려면 가제어 행렬 \(M_c=[\,B\ \ AB\ \ A^2B\ \cdots\ A^{n-1}B\,]\)의 계수(rank)가 n(가득 차야) 합니다. 유사하게 가관측성은 \([\,C;\ CA;\cdots]\)의 계수가 n일 것입니다.

천이행렬 계산

\(sI-A=\begin{bmatrix}s&-1\\0&s\end{bmatrix}\), \((sI-A)^{-1}=\dfrac{1}{s^2}\begin{bmatrix}s&1\\0&s\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1/s&1/s^2\\0&1/s\end{bmatrix}\)
역라플라스 → \(\phi(t)=\begin{bmatrix}1&t\\0&1\end{bmatrix}\).

천이행렬과 라플라스

\(\dot{x}=Ax\)를 라플라스하면 \(sX-x(0)=AX\) → \(X=(sI-A)^{-1}x(0)\). 시간영역으로 역변환하면 \(x(t)=\mathcal{L}^{-1}[(sI-A)^{-1}]\,x(0)\)이므로 \(\phi(t)=\mathcal{L}^{-1}[(sI-A)^{-1}]\)입니다.

라플라스·과도 핵심
\(1\to\tfrac1s,\ e^{-at}\to\tfrac1{s+a},\ \sin\omega t\to\tfrac{\omega}{s^2+\omega^2}\), 시정수 \(\tau=L/R\) 또는 \(RC\)(최종값 63.2%), 초기값 \(\lim_{s\to\infty}sF\)·최종값 \(\lim_{s\to0}sF\).

풀이
완전응답

완전응답 = 자유응답(영입력) + 강제응답(영상태, 합성곱):
\[ x(t)=\phi(t)x(0)+\int_0^t \phi(t-\tau)Bu(\tau)\,d\tau \]
출력은 \(y=Cx+Du\).

회로이론 핵심
\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\), \(X_L=\omega L,\ X_C=\tfrac1{\omega C}\), 공진 \(f_0=\dfrac1{2\pi\sqrt{LC}}\), 실효값 \(\tfrac{V_m}{\sqrt2}\), 전력 \(P=VI\cos\theta\), 테브낭 등가.

풀이
가관측성

n차 시스템이 가관측하려면 가관측 행렬 \(M_o=[\,C;\ CA;\ \cdots;\ CA^{n-1}\,]\)의 계수(rank)가 n이어야 합니다. 출력만 보고 모든 상태를 추정할 수 있다는 의미입니다.

회로이론 핵심
\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\), \(X_L=\omega L,\ X_C=\tfrac1{\omega C}\), 공진 \(f_0=\dfrac1{2\pi\sqrt{LC}}\), 실효값 \(\tfrac{V_m}{\sqrt2}\), 전력 \(P=VI\cos\theta\), 테브낭 등가.

풀이
쌍대성

가제어성과 가관측성은 쌍대(dual) 관계입니다. \((A,B)\)가 가제어이면 전치 시스템 \((A^T,B^T)\)는 가관측이고, \((A,C)\)가 가관측이면 \((A^T,C^T)\)는 가제어입니다.

회로이론 핵심
\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\), \(X_L=\omega L,\ X_C=\tfrac1{\omega C}\), 공진 \(f_0=\dfrac1{2\pi\sqrt{LC}}\), 실효값 \(\tfrac{V_m}{\sqrt2}\), 전력 \(P=VI\cos\theta\), 테브낭 등가.

풀이
출력방정식

\(y=Cx+Du\)에서 \(D\)는 입력 \(u\)가 상태를 거치지 않고 출력에 직접 전달되는 항(직접전달항, feedthrough)입니다. 대부분의 물리계에서 \(D=0\)인 경우가 많습니다.

대각정준형

고유벡터로 구성한 \(P\)로 \(\Lambda=P^{-1}AP=\text{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)\)를 만들면 각 상태가 \(e^{\lambda_i t}\) 모드로 분리(비연성)됩니다. 상사변환이므로 고유값(극점)은 변하지 않습니다.

RLC 상태변수

상태변수는 에너지 저장소자의 독립 변수인 인덕터 전류 \(i_L\)(자기에너지)와 커패시터 전압 \(v_C\)(전기에너지)를 택합니다.
\[ L\frac{di_L}{dt}=u-Ri_L-v_C,\quad C\frac{dv_C}{dt}=i_L \]
\(A=\begin{bmatrix}-R/L&-1/L\\1/C&0\end{bmatrix},\ B=\begin{bmatrix}1/L\\0\end{bmatrix}\)