Q26
라플라스변환
기본 변환쌍
단위계단 함수 \(u(t)\)의 라플라스 변환 \(\mathcal{L}\{u(t)\}\)은?
💡 해설 보기
단위계단 함수 라플라스 변환
\[ \mathcal{L}\{u(t)\} = \int_0^{\infty} e^{-st}\,dt = \left[-\frac{e^{-st}}{s}\right]_0^{\infty} = \frac{1}{s} \]
t≥0에서 1인 함수의 라플라스 변환은 1/s입니다.
s→∞이면 e^(-st)→0이므로 상한은 0, 하한은 -1/s → 결과 1/s.
\[ \mathcal{L}\{u(t)\} = \int_0^{\infty} e^{-st}\,dt = \left[-\frac{e^{-st}}{s}\right]_0^{\infty} = \frac{1}{s} \]
t≥0에서 1인 함수의 라플라스 변환은 1/s입니다.
s→∞이면 e^(-st)→0이므로 상한은 0, 하한은 -1/s → 결과 1/s.
Q27
라플라스변환
기본 변환쌍
단위임펄스 함수 \(\delta(t)\)의 라플라스 변환 \(\mathcal{L}\{\delta(t)\}\)은?
💡 해설 보기
단위임펄스 함수 라플라스 변환
임펄스 함수의 체거름 성질(sifting property)에 의해:
\[ \mathcal{L}\{\delta(t)\} = \int_0^{\infty} \delta(t)e^{-st}\,dt = e^{-s \cdot 0} = \mathbf{1} \]
δ(t)는 t=0에서만 값을 가지므로 e^(-st)의 t=0 값인 e⁰=1이 그대로 나옵니다.
모든 주파수 성분을 균일하게 포함하는 '이상적인 신호'입니다.
임펄스 함수의 체거름 성질(sifting property)에 의해:
\[ \mathcal{L}\{\delta(t)\} = \int_0^{\infty} \delta(t)e^{-st}\,dt = e^{-s \cdot 0} = \mathbf{1} \]
δ(t)는 t=0에서만 값을 가지므로 e^(-st)의 t=0 값인 e⁰=1이 그대로 나옵니다.
모든 주파수 성분을 균일하게 포함하는 '이상적인 신호'입니다.
Q28
라플라스변환
지수함수 변환
\(f(t) = e^{-3t}u(t)\)의 라플라스 변환 \(F(s)\)는?
💡 해설 보기
지수함수 라플라스 변환
일반 공식: \(\mathcal{L}\{e^{-at}u(t)\} = \dfrac{1}{s+a}\)
a=3을 대입하면:
\[ F(s) = \int_0^{\infty} e^{-3t} e^{-st}\,dt = \int_0^{\infty} e^{-(s+3)t}\,dt = \frac{1}{s+3} \]
수렴 조건: Re(s) > -3
극점이 s = -3 (좌반 평면 → 인과·안정 시스템)
일반 공식: \(\mathcal{L}\{e^{-at}u(t)\} = \dfrac{1}{s+a}\)
a=3을 대입하면:
\[ F(s) = \int_0^{\infty} e^{-3t} e^{-st}\,dt = \int_0^{\infty} e^{-(s+3)t}\,dt = \frac{1}{s+3} \]
수렴 조건: Re(s) > -3
극점이 s = -3 (좌반 평면 → 인과·안정 시스템)
Q29
라플라스변환
초기값 정리
\(F(s) = \dfrac{s+2}{s^2+3s+2}\)일 때, 초기값 정리를 이용한 \(f(0^+)\)는?
💡 해설 보기
초기값 정리 (Initial Value Theorem)
\[ f(0^+) = \lim_{s \to \infty} s F(s) \]
\[ sF(s) = \frac{s(s+2)}{s^2+3s+2} = \frac{s^2+2s}{s^2+3s+2} \]
분자·분모를 s²으로 나누면:
\[ \lim_{s \to \infty} \frac{1 + 2/s}{1 + 3/s + 2/s^2} = \frac{1+0}{1+0+0} = \mathbf{1} \]
⚠️ 초기값 정리: s→∞, 최종값 정리: s→0
\[ f(0^+) = \lim_{s \to \infty} s F(s) \]
\[ sF(s) = \frac{s(s+2)}{s^2+3s+2} = \frac{s^2+2s}{s^2+3s+2} \]
분자·분모를 s²으로 나누면:
\[ \lim_{s \to \infty} \frac{1 + 2/s}{1 + 3/s + 2/s^2} = \frac{1+0}{1+0+0} = \mathbf{1} \]
⚠️ 초기값 정리: s→∞, 최종값 정리: s→0
Q30
라플라스변환
회로 해석
R=1 [Ω], C=1 [F]인 직렬 RC 회로에 t=0에 직류 전원 V=10 [V]를 인가할 때, 콘덴서 전압 \(V_C(s)\)를 s 영역에서 나타내면?
💡 해설 보기
RC 회로의 라플라스 해석
s 영역의 KVL:
\[ \frac{V}{s} = I(s) \cdot R + \frac{I(s)}{sC} \]
R=1, C=1 대입 → \(I(s) = \dfrac{V/s}{R + 1/(sC)} = \dfrac{10/s}{1 + 1/s} = \dfrac{10}{s+1}\)
콘덴서 전압:
\[ V_C(s) = \frac{I(s)}{sC} = \frac{10/(s+1)}{s} = \frac{10}{s(s+1)} \]
역변환하면 \(v_C(t) = 10(1-e^{-t})\) — 시정수 τ=RC=1 [s]
s 영역의 KVL:
\[ \frac{V}{s} = I(s) \cdot R + \frac{I(s)}{sC} \]
R=1, C=1 대입 → \(I(s) = \dfrac{V/s}{R + 1/(sC)} = \dfrac{10/s}{1 + 1/s} = \dfrac{10}{s+1}\)
콘덴서 전압:
\[ V_C(s) = \frac{I(s)}{sC} = \frac{10/(s+1)}{s} = \frac{10}{s(s+1)} \]
역변환하면 \(v_C(t) = 10(1-e^{-t})\) — 시정수 τ=RC=1 [s]
🧮 공학계산기
0
계산 기록
SI ×10ⁿ