Q31
푸리에변환
급수 기초
주기 T=2 [s]인 구형파 신호의 기본 주파수 \(f_0\) [Hz]는?
💡 해설 보기
기본 주파수와 주기의 관계
\[ f_0 = \frac{1}{T} = \frac{1}{2} = \mathbf{0.5} \text{ [Hz]} \]
각주파수(기본 각주파수):
\[ \omega_0 = 2\pi f_0 = 2\pi \times 0.5 = \pi \text{ [rad/s]} \]
푸리에 급수에서 n차 고조파 주파수 = n × f₀
예: 3차 고조파 = 3 × 0.5 = 1.5 Hz
\[ f_0 = \frac{1}{T} = \frac{1}{2} = \mathbf{0.5} \text{ [Hz]} \]
각주파수(기본 각주파수):
\[ \omega_0 = 2\pi f_0 = 2\pi \times 0.5 = \pi \text{ [rad/s]} \]
푸리에 급수에서 n차 고조파 주파수 = n × f₀
예: 3차 고조파 = 3 × 0.5 = 1.5 Hz
Q32
푸리에변환
대칭성
우함수(even function)인 \(f(-t) = f(t)\) 조건을 만족하는 신호의 푸리에 급수에서 사인 성분 계수 \(b_n\)의 값은?
💡 해설 보기
우함수(Even Function)의 푸리에 급수 대칭성
푸리에 급수: \(f(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}[a_n\cos(n\omega_0 t) + b_n\sin(n\omega_0 t)]\)
사인 계수: \[ b_n = \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(t)\sin(n\omega_0 t)\,dt \]
우함수 × 홀함수(sin) = 홀함수 → 대칭 구간 적분 = 0
정리:
• 우함수 → \(b_n = 0\) (코사인 성분만)
• 홀함수 → \(a_n = 0\) (사인 성분만)
푸리에 급수: \(f(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}[a_n\cos(n\omega_0 t) + b_n\sin(n\omega_0 t)]\)
사인 계수: \[ b_n = \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(t)\sin(n\omega_0 t)\,dt \]
우함수 × 홀함수(sin) = 홀함수 → 대칭 구간 적분 = 0
정리:
• 우함수 → \(b_n = 0\) (코사인 성분만)
• 홀함수 → \(a_n = 0\) (사인 성분만)
Q33
푸리에변환
변환 성질
푸리에 변환의 시간 이동 성질에서 \(f(t - t_0)\)의 푸리에 변환은? (단, \(F(\omega) = \mathcal{F}\{f(t)\}\))
💡 해설 보기
푸리에 변환 시간 이동 성질
\[ \mathcal{F}\{f(t-t_0)\} = e^{-j\omega t_0}F(\omega) \]
증명: \(\tau = t - t_0\)으로 치환하면
\[ \int_{-\infty}^{\infty} f(t-t_0)e^{-j\omega t}dt = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)e^{-j\omega(\tau+t_0)}d\tau = e^{-j\omega t_0}F(\omega) \]
의미: 시간 지연 t₀ → 주파수 영역에서 위상 회전 e^(-jωt₀)
⚠️ 크기 스펙트럼 |F(ω)|는 변하지 않고 위상만 변합니다.
\[ \mathcal{F}\{f(t-t_0)\} = e^{-j\omega t_0}F(\omega) \]
증명: \(\tau = t - t_0\)으로 치환하면
\[ \int_{-\infty}^{\infty} f(t-t_0)e^{-j\omega t}dt = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)e^{-j\omega(\tau+t_0)}d\tau = e^{-j\omega t_0}F(\omega) \]
의미: 시간 지연 t₀ → 주파수 영역에서 위상 회전 e^(-jωt₀)
⚠️ 크기 스펙트럼 |F(ω)|는 변하지 않고 위상만 변합니다.
Q34
푸리에변환
파세발 정리
파세발(Parseval) 정리를 올바르게 설명한 것은?
💡 해설 보기
파세발 정리 (Parseval's Theorem)
\[ \int_{-\infty}^{\infty} |f(t)|^2\,dt = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} |F(\omega)|^2\,d\omega \]
의미: 시간 영역에서 계산한 에너지 = 주파수 영역에서 계산한 에너지
푸리에 변환은 에너지를 보존합니다 (유니타리 변환).
|F(ω)|²: 에너지 스펙트럼 밀도(Energy Spectral Density)
이를 이용해 주파수별 에너지 분포를 분석할 수 있습니다.
\[ \int_{-\infty}^{\infty} |f(t)|^2\,dt = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} |F(\omega)|^2\,d\omega \]
의미: 시간 영역에서 계산한 에너지 = 주파수 영역에서 계산한 에너지
푸리에 변환은 에너지를 보존합니다 (유니타리 변환).
|F(ω)|²: 에너지 스펙트럼 밀도(Energy Spectral Density)
이를 이용해 주파수별 에너지 분포를 분석할 수 있습니다.
Q35
푸리에변환
스펙트럼
폭이 \(\tau\), 높이가 A인 구형 펄스의 푸리에 변환 \(F(\omega)\)에서 첫 번째 영점(null)이 발생하는 주파수 \(\omega\)는?
💡 해설 보기
구형 펄스의 푸리에 변환과 sinc 함수
구형 펄스의 푸리에 변환:
\[ F(\omega) = A\tau \cdot \text{sinc}\!\left(\frac{\omega\tau}{2}\right) = A\tau \cdot \frac{\sin(\omega\tau/2)}{\omega\tau/2} \]
첫 번째 영점: \(\sin(\omega\tau/2) = 0\)
\[ \frac{\omega\tau}{2} = \pi \quad \Rightarrow \quad \omega = \frac{2\pi}{\tau} \]
의미: 펄스 폭 τ가 좁을수록 스펙트럼이 넓어집니다 (불확정성 원리).
첫 번째 영점 주파수: \(f = 1/\tau\) [Hz]
구형 펄스의 푸리에 변환:
\[ F(\omega) = A\tau \cdot \text{sinc}\!\left(\frac{\omega\tau}{2}\right) = A\tau \cdot \frac{\sin(\omega\tau/2)}{\omega\tau/2} \]
첫 번째 영점: \(\sin(\omega\tau/2) = 0\)
\[ \frac{\omega\tau}{2} = \pi \quad \Rightarrow \quad \omega = \frac{2\pi}{\tau} \]
의미: 펄스 폭 τ가 좁을수록 스펙트럼이 넓어집니다 (불확정성 원리).
첫 번째 영점 주파수: \(f = 1/\tau\) [Hz]
🧮 공학계산기
0
계산 기록
SI ×10ⁿ