Q72
나이퀴스트
판별식
나이퀴스트 안정도 판별에서 \(Z=P-N\) 의 각 기호 설명으로 옳은 것은?
💡 해설 보기
나이퀴스트 안정도 판별 — \(Z=P-N\)
개루프 전달함수 \(GH(j\omega)\)의 궤적(나이퀴스트 선도)을 그려 폐루프 안정성을 판정합니다(그림).
각 기호
• \(Z\) — 폐루프 극점 중 우반평면(불안정)에 있는 수 (특성방정식 \(1+GH=0\)의 불안정근 수).
• \(P\) — 개루프 \(GH\)의 극점 중 우반평면에 있는 수.
• \(N\) — \(GH(j\omega)\) 궤적이 임계점 (−1, j0)을 반시계 방향으로 감은 횟수.
관계·안정 조건
\[ Z=P-N \]폐루프가 안정하려면 우반면 폐루프극이 없어야 하므로 \(Z=0\), 즉 \(N=P\) 여야 합니다.
• 특히 개루프가 안정(\(P=0\))이면, 궤적이 (−1, j0)을 감싸지 않을 때(\(N=0\)) 폐루프도 안정합니다.
※ 부호 규약 — \(N\)을 반시계 감김(+)으로 잡으면 \(Z=P-N\), 시계 감김(+)으로 잡으면 \(Z=P+N\). 어느 규약이든 \(Z=0\)이면 안정이라는 결론은 같습니다.
개루프 전달함수 \(GH(j\omega)\)의 궤적(나이퀴스트 선도)을 그려 폐루프 안정성을 판정합니다(그림).
각 기호
• \(Z\) — 폐루프 극점 중 우반평면(불안정)에 있는 수 (특성방정식 \(1+GH=0\)의 불안정근 수).
• \(P\) — 개루프 \(GH\)의 극점 중 우반평면에 있는 수.
• \(N\) — \(GH(j\omega)\) 궤적이 임계점 (−1, j0)을 반시계 방향으로 감은 횟수.
관계·안정 조건
\[ Z=P-N \]폐루프가 안정하려면 우반면 폐루프극이 없어야 하므로 \(Z=0\), 즉 \(N=P\) 여야 합니다.
• 특히 개루프가 안정(\(P=0\))이면, 궤적이 (−1, j0)을 감싸지 않을 때(\(N=0\)) 폐루프도 안정합니다.
※ 부호 규약 — \(N\)을 반시계 감김(+)으로 잡으면 \(Z=P-N\), 시계 감김(+)으로 잡으면 \(Z=P+N\). 어느 규약이든 \(Z=0\)이면 안정이라는 결론은 같습니다.
Q73
나이퀴스트
임계점
나이퀴스트 선도에서 시스템의 안정성을 판단하는 기준이 되는 임계점은?
💡 해설 보기
정답: (−1, j0)
① 왜 하필 −1인가 (가장 중요)
단위 부귀환 폐루프의 특성방정식은 \(1+G(s)H(s)=0\), 즉 \(G(s)H(s)=-1\)입니다. 폐루프 극이 허수축(안정 경계)에 오는 순간, 개루프 전달함수 값이 정확히 −1이 됩니다. 그래서 복소평면의 −1+j0 점이 안정/불안정을 가르는 임계점이 됩니다.
② −1의 의미 (크기·위상)
\(-1=1\angle180°\)이므로 −1점은 크기(이득)=1(=0dB), 위상=−180°인 상태입니다. 개루프 이득이 위상 −180°에서 크기 1에 도달하면(−1점), 부귀환이 정귀환처럼 작용해 스스로 발진합니다.
③ 나이퀴스트 판정법
개루프 궤적 \(GH(j\omega)\)가 −1점을 몇 번 감싸는가(N)로 폐루프 안정을 판별합니다.
\[ Z=P-N \]Z: 우반면 폐루프극 수(0이어야 안정), P: 우반면 개루프극 수, N: −1점을 시계반대로 감싼 횟수. Z=0이면 안정입니다. (P=0일 때는 −1을 감싸지 않으면 안정)
④ 직관 — 안정 여유
궤적이 −1에서 멀리 떨어져 있을수록 안정합니다. 얼마나 떨어져 있는지가 이득여유(−1까지 크기 여유)·위상여유(−1까지 위상 여유)입니다. 즉 −1은 "발진 직전"의 지점이고, 여기서 멀수록 안정합니다.
암기: "1+GH=0 → GH=−1" → 임계점 (−1, j0). 오답 (0,j0)/(1,j0)/(0,j1)은 특성방정식과 무관.
① 왜 하필 −1인가 (가장 중요)
단위 부귀환 폐루프의 특성방정식은 \(1+G(s)H(s)=0\), 즉 \(G(s)H(s)=-1\)입니다. 폐루프 극이 허수축(안정 경계)에 오는 순간, 개루프 전달함수 값이 정확히 −1이 됩니다. 그래서 복소평면의 −1+j0 점이 안정/불안정을 가르는 임계점이 됩니다.
② −1의 의미 (크기·위상)
\(-1=1\angle180°\)이므로 −1점은 크기(이득)=1(=0dB), 위상=−180°인 상태입니다. 개루프 이득이 위상 −180°에서 크기 1에 도달하면(−1점), 부귀환이 정귀환처럼 작용해 스스로 발진합니다.
③ 나이퀴스트 판정법
개루프 궤적 \(GH(j\omega)\)가 −1점을 몇 번 감싸는가(N)로 폐루프 안정을 판별합니다.
\[ Z=P-N \]Z: 우반면 폐루프극 수(0이어야 안정), P: 우반면 개루프극 수, N: −1점을 시계반대로 감싼 횟수. Z=0이면 안정입니다. (P=0일 때는 −1을 감싸지 않으면 안정)
④ 직관 — 안정 여유
궤적이 −1에서 멀리 떨어져 있을수록 안정합니다. 얼마나 떨어져 있는지가 이득여유(−1까지 크기 여유)·위상여유(−1까지 위상 여유)입니다. 즉 −1은 "발진 직전"의 지점이고, 여기서 멀수록 안정합니다.
암기: "1+GH=0 → GH=−1" → 임계점 (−1, j0). 오답 (0,j0)/(1,j0)/(0,j1)은 특성방정식과 무관.
Q78
나이퀴스트
선도판독
그림은 어떤 시스템의 개루프 나이퀴스트 선도이다. 우반면 개루프극이 없고(P=0) 궤적이 (−1, j0)점을 감싸지 않을 때, 이 폐루프 시스템의 안정성은?
💡 해설 보기
나이퀴스트(Nyquist) 안정도 판별 (그림)
개루프 전달함수 \(G(s)H(s)\)의 나이퀴스트 선도로 폐루프 안정성을 판별합니다:
\[ Z=P-N \]• Z = 우반면(불안정) 폐루프 극의 수 — 0이어야 안정
• P = 우반면 개루프 극의 수
• N = \(GH\) 궤적이 (−1, j0)점을 반시계로 감싸는 횟수
이 문제
• 우반면 개루프극 없음 → \(P=0\)
• 궤적이 (−1, j0)을 감싸지 않음(그림에서 −1점이 곡선 바깥) → \(N=0\)
\[ Z=P-N=0-0=0 \]→ 우반면 폐루프극이 0개 → 안정. 정답 ①.
※ 만약 궤적이 (−1)점을 감쌌다면 \(N\ne0\)이 되어 \(P=0\)일 때 \(Z=-N>0\)(우반면 폐루프극 발생) → 불안정. 즉 ‘(−1)점을 감싸지 않는다’가 이 시스템 안정의 핵심 조건입니다.
개루프 전달함수 \(G(s)H(s)\)의 나이퀴스트 선도로 폐루프 안정성을 판별합니다:
\[ Z=P-N \]• Z = 우반면(불안정) 폐루프 극의 수 — 0이어야 안정
• P = 우반면 개루프 극의 수
• N = \(GH\) 궤적이 (−1, j0)점을 반시계로 감싸는 횟수
이 문제
• 우반면 개루프극 없음 → \(P=0\)
• 궤적이 (−1, j0)을 감싸지 않음(그림에서 −1점이 곡선 바깥) → \(N=0\)
\[ Z=P-N=0-0=0 \]→ 우반면 폐루프극이 0개 → 안정. 정답 ①.
※ 만약 궤적이 (−1)점을 감쌌다면 \(N\ne0\)이 되어 \(P=0\)일 때 \(Z=-N>0\)(우반면 폐루프극 발생) → 불안정. 즉 ‘(−1)점을 감싸지 않는다’가 이 시스템 안정의 핵심 조건입니다.
Q250
나이퀴스트
안정 조건
우반면 개루프극이 없는(P=0) 시스템에서 나이퀴스트 안정 조건은?
💡 해설 보기
안정도(라우스)
특성근 실수부가 모두 음(좌반면)이면 안정. 라우스 1열 부호변화 없어야 안정, 경계값이 임계안정.
풀이
P=0이면 \(Z=P-N=-N\). 안정(Z=0)이려면 N=0, 즉 궤적이 (−1,j0)을 감싸지 않아야 합니다.
특성근 실수부가 모두 음(좌반면)이면 안정. 라우스 1열 부호변화 없어야 안정, 경계값이 임계안정.
풀이
P=0이면 \(Z=P-N=-N\). 안정(Z=0)이려면 N=0, 즉 궤적이 (−1,j0)을 감싸지 않아야 합니다.
Q251
나이퀴스트
임계안정
개루프 나이퀴스트 궤적이 (−1, j0)점을 정확히 통과할 때 폐루프 시스템은?
💡 해설 보기
안정도(라우스)
특성근 실수부가 모두 음(좌반면)이면 안정. 라우스 1열 부호변화 없어야 안정, 경계값이 임계안정.
풀이
궤적이 −1을 통과하면 폐루프 극이 허수축 위에 있어 임계안정(지속진동)입니다. 이득여유·위상여유가 모두 0입니다.
특성근 실수부가 모두 음(좌반면)이면 안정. 라우스 1열 부호변화 없어야 안정, 경계값이 임계안정.
풀이
궤적이 −1을 통과하면 폐루프 극이 허수축 위에 있어 임계안정(지속진동)입니다. 이득여유·위상여유가 모두 0입니다.
Q252
나이퀴스트
안정 판정
개루프 전달함수의 위상이 −180°가 되는 주파수에서 이득이 1보다 작으면(|GH|<1) 폐루프 시스템은?
💡 해설 보기
제어공학 핵심
전달함수 \(G=\dfrac{C}{R}\), 부궤환 \(\dfrac{G}{1+GH}\), 메이슨 \(\dfrac{\sum P_k\Delta_k}{\Delta}\), 라우스(1열 부호변화=우반면근), 정상편차 \(e_{ss}=\lim_{s\to0}\dfrac{sR}{1+GH}\), 2차계 감쇠비 \(\zeta\).
풀이
위상 −180°에서 |GH|<1이면 궤적이 −1점을 감싸지 못하므로 안정합니다(이득여유 GM>0).
전달함수 \(G=\dfrac{C}{R}\), 부궤환 \(\dfrac{G}{1+GH}\), 메이슨 \(\dfrac{\sum P_k\Delta_k}{\Delta}\), 라우스(1열 부호변화=우반면근), 정상편차 \(e_{ss}=\lim_{s\to0}\dfrac{sR}{1+GH}\), 2차계 감쇠비 \(\zeta\).
풀이
위상 −180°에서 |GH|<1이면 궤적이 −1점을 감싸지 못하므로 안정합니다(이득여유 GM>0).
Q255
나이퀴스트
특징
라우스-후르비츠 판별법과 비교한 나이퀴스트 판별법의 특징으로 옳은 것은?
💡 해설 보기
회로이론 핵심
\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\), \(X_L=\omega L,\ X_C=\tfrac1{\omega C}\), 공진 \(f_0=\dfrac1{2\pi\sqrt{LC}}\), 실효값 \(\tfrac{V_m}{\sqrt2}\), 전력 \(P=VI\cos\theta\), 테브낭 등가.
풀이
나이퀴스트는 개루프 주파수응답 궤적으로 폐루프 안정을 판별하며, 이득·위상 여유(상대안정도)까지 알 수 있습니다.
\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\), \(X_L=\omega L,\ X_C=\tfrac1{\omega C}\), 공진 \(f_0=\dfrac1{2\pi\sqrt{LC}}\), 실효값 \(\tfrac{V_m}{\sqrt2}\), 전력 \(P=VI\cos\theta\), 테브낭 등가.
풀이
나이퀴스트는 개루프 주파수응답 궤적으로 폐루프 안정을 판별하며, 이득·위상 여유(상대안정도)까지 알 수 있습니다.
Q256
나이퀴스트
이득여유
이득여유(GM)가 클수록 시스템은 어떻게 되는가?
💡 해설 보기
이득여유(Gain Margin)
위상이 −180°가 되는 주파수에서 \(|GH|\)의 역수입니다.
\[ GM[\text{dB}]=-20\log|G(j\omega_{pc})H(j\omega_{pc})| \]클수록 상대안정도가 높습니다(양수면 안정 여유 존재).
풀이
이득여유는 위상 −180°에서 −1점까지의 크기 여유. GM이 클수록 −1에서 멀어 더 안정합니다(단 과도하면 응답은 느려질 수 있음).
위상이 −180°가 되는 주파수에서 \(|GH|\)의 역수입니다.
\[ GM[\text{dB}]=-20\log|G(j\omega_{pc})H(j\omega_{pc})| \]클수록 상대안정도가 높습니다(양수면 안정 여유 존재).
풀이
이득여유는 위상 −180°에서 −1점까지의 크기 여유. GM이 클수록 −1에서 멀어 더 안정합니다(단 과도하면 응답은 느려질 수 있음).
🧮 공학계산기
0
계산 기록
SI ×10ⁿ